§ 2. Несобственные интегралы второго рода

В этом параграфе будет дано обобщение понятия определенного интеграла на случай неограниченных функций.

Пусть на полусегменте задана функция Точку b мы будем называть особой, если функция не ограничена на полусегменте но ограничена на любом сегменте заключенном в полусегменте Будем также предполагать, что на любом таком сегменте функция интегрируема. При наших предположениях на полусегменте задана функция аргумента а

Исследуем вопрос о правом пределе функции в точке

Определение. Правый предел (9.1.14) в случае, если он существует, называется несобственным интегралом второго рода От функции по сегменту и обозначается символом

При этом говорят, что несобственный интеграл (9.1.15) сходится и пишут равенство

Символ (9.1.15) употребляют и в случае, если указанного выше предела (9.1.14) не существует, но в этом случае говорят, что несобственный интеграл (9.1.15) расходится.

Замечание. Понятие несобственного интеграла второго рода легко переносится на случай, когда функция имеет конечное число особых точек.

Пример. Рассмотрим на полусегменте функцию Ясно, что точка Ь является особой точкой для этой функции. Кроме того, очевидно, что функция интегрируема на любом сегменте причем

Очевидно, предел существует и равен при и не существует при Следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл сходится при и расходится при

Сформулируем критерий Коши сходимости несобственного интеграла второго рода. При этом мы будем предполагать, что функция задана на полусегменте и Ь — особая точка этой функции.

Утверждение 5 (критерий Коши). Для сходимости несобственного интеграла второго рода (9.1.15) необходимо и достаточно, чтобы для любого можно было указать такое что для любых удовлетворяющих условию справедливо неравенство

Справедливость этой теоремы вытекает из того, что понятие сходимости интеграла по определению эквивалентно понятию существования предельного значения функции введенной в: начале этого пункта. Мы не будем подробно развивать теорию несобственных интегралов второго рода. Это объясняется тем, что основные выводы и теоремы предыдущего параграфа без труда, могут быть перенесены на случай интегралов второго рода. Поэтому мы ограничимся некоторыми замечаниями.

Г. При некоторых ограничениях на подынтегральные функции интегралы второго рода сводятся к интегралам первого рода. Именно: пусть функция непрерывна на полусегменте и b — особая точка этой функции. При этих условиях в интеграле мы можем произвести следующую замену переменных:

В результате этой замены переменных мы получим равенство

Пусть интеграл сходится. Это означает, что существует предел Обращаясь к равенству (9.1.16), мы видим, что существует также и предел при выражения в правой части (9.1.16). Тем самым доказана сходимость несобственного интеграла первого рода

равенство этого интеграла интегралу Очевидно, сходимость только что указанного несобственного интеграла первого рода влечет сходимость интеграла и равенство этих интегралов. Итак, из сходимости одного из интегралов

следует сходимость другого и равенство этих интегралов.

2°. Для несобственных интегралов второго рода легко доказываются утверждения, аналогичные утверждениям п. 2 предыдущего параграфа, которые можно объединить общим наименованием «признаки сравнения». Отметим, что во всех формулировках функция рассматривается на полусегменте где Ь — особая точка функции.

Частный признак сравнения будет иметь следующий вид.

Если где то несобственный интеграл (9.1.15) сходится. Если же где то несобственный интеграл (9.1.15) расходится. Доказательство вытекает из общего признака сравнения и примера, рассмотренного выше.

В полной аналогии с предыдущего параграфа для несобственных интегралов второго рода формулируются правила интегрирования путем замены переменной и интегрирования по частям.