Все должно быть сделано настолько
просто, насколько ято возможно,
но не проще.
Альберт Эйнитейн

В своей наиболее общей форме теория бифуркаций представляет собой теорию равновесных решений нелинейных уравнений. Под равновесными решениями понимаются, например, стационарные решения, решения периодические по времени и квазипериодические решения. Цель этой книги – научить читателей теории бифуркаций равновесных решений эволюционных задач, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Мы написали ее для самой широкой аудитории заинтересованных лиц: инженеров, биологов, химиков, физиков, математиков, экономистов и всех, кто встречается в своей работе с ранновесными решениями нелинейных дифференциальных уравнений.

Мы считаем, что для достижения нашей цели нужно сделать из ложение, во-первых, достаточно общим – с тем, чтобы его можно было применить к огромному разнообразию задач, возникающих в науке и технике, и, во-вторых, достаточно простым, чтобы оно было понятно читателям, математическая подготовка которых не выходит за рамки классического анализа, распространенного в прошлом столетии.

Естественно, полной гармонии между общностью и простотой достичь нельзя, но, на самом деле, общая теория проще, чем детализированная, нужная для конкретных приложений. В общей теории от конкретных задач берутся лишь существенные свойства и строится основа, на которую должны опираться детали приложений.

Принято считать, что для овладения математической теорией бифуркаций необходимо знание основ функционального анализа и некоторых методов топологии и динамики. Это убеждение несомненно справедливо, но его полезно расшифровать, чтобы обосновать принятый в книге подход.

Использование функционального анализа в задачах бифуркации главным образом связано с обоснованием возможности сведения задач высокой и даже бесконечной размерности к одномерным или двумерным задачам. Такие задачи низкой размерности связаны с проекциями на пространство собственных фуккций, ав некоторых частных случаях (подобных тем, которые возникают в вырожденных задачах, приводящих к разрушению симметрии бифуркации стационарных решений) требуется анализ задач с размерностью больше двух. Однако нанболее важны одно- и двумерные проекции. Они относятся к классу математических задач, называемых бифуркацией в простом собственном значении.

Существование и структура бифуркации и устойчивости бифуркационных решений полностью определяются при анализе нелинейных обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений, к которым приводят методы редукции с использованием проекций. Поэтому наиболее простой способ обучения – начать с описания задач низкой размерности и лишь затем показать, как эти задачи получаются при проектировании задач высокой размерности. Для первой части исследования нужны только классические методы теории дифференциальных уравнений и теории функций. Во второй части, составляющей содержание гл. VI и VII, анализ можно проводить формально, не прибегая к более сложному математическому аппарату, необходимому для полного обоснования теории. Само собой разумеется, что все сделанные утверждения строго обоснованы в опубликованных работах; мы на них ссылаемся и оставляем для дальнейшего изучения любознательным читателям.

Быть может, полезно подчеркнуть, что мы сосредотачиваем внимание на задачах, которые можно привести к одномерным или двумерным. В этих рамках можно исследовать следующие типы бифуркаций: бифуркацию стационарных решений в одномерном случае (гл. II) и для общих задач, которые можно привести к одномерным (гл. VI); бифуркацию изолированных решений, которые нарушают бифуркацию в одномерных задачах (гл. III), и бифуркацию для общих задач, которые проектированием приводятся к одномерным (гл. VI); бифуркацию стационарных решений из стационарных решений двумерных задач (гл. IV и V) и для общих задач, которые проектированием приводятся қ двумерным (гл. VIII); бифуркацию субгармонических решений из $T$-периодических решений в случае $T$-периодических правых частей уравнений (гл. IX); бифуркационный тор «асимптотически квазипериодических» решений, ответвляющихся от $T$-периодических решений в случае $T$-периодических правых частей уравнений (гл. X), бифуркацию субгармонических решений и торов самовозбуждаемых периодических решений (автономный случай, гл. XI). От элементарной книги нельзя требовать большего, потому что даже в случае достаточно простых систем трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений возможна очень сложная динамика с турбулентноподобными притягивающими множествами, которая не поддается описанию простыми способами. В одномерных задачах все решения лежат на вещественной прямой, в двумерных задачах все решения с заданными начальными условиями лежат на плоскости, а их траектории не могут пересекаться в силу единственности решений. Это строгое ограничение на решения двумерных задач не имеет силы для пространственных задач, в которых пересекающиеся траектории могут в конечном счете генерировать притягивающие множества значительной сложности (см., например, Lorenz N.E., Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci., 20, 130 (1963)).

Мы рассматриваем эту книгу как пособие по изучению основ бифуркации. Наша цель состояла в изложении общей теории задач, которые посредством проектирования можно привести к двумерным. При выполнении этой работы мы получили большое число новых научных результатов – они содержатся во всех главах книги, особенно в задаче о бифуркации периодичєских решений, которая излагается в гл. X и XI. Студенты, желающие углубить свои знания после овладения элементарной теорией, могут ознакомиться с литературой, указанной в конце гл. I.

Среди нескольких тысяч статей, опубликованных начиная с 1963 г., имеется много хороших и важных. Мы отказались от намерения сделать систематический обзор этих работ, поскольку хотели сосредоточить внимание лишь на элементарной части теории. Тем не менее полезно отметить, что в некоторых работах используется метод Ляпунова -Шмидта для разложения пространства решений и уравнений на конечномерную и бесконечномерную части. Уравнения для бесконечномерной части можно решить, и полученная в итоге конечномерная задача содержит всю информацию о бифуркации. В других работах для сведения к задачам конечной размерности используется центральное многообразие. Этот метод использует то обстоятельство, что в задачах, подобных рассматриваемым в этой книге, решения притягиваются к центральному многообразию конечной размерности. Оба метода хороши для доказательства теорем существования. Их можно также использовать для построения решений, но в действительности они приводят к громоздким вычислениям. В своей книге мы систематически избегаем этих методов. Вместо них мы применяем теорему о неявной функции для обоснования прямого последовательного вычисления решений в виде степенных рядов по степеням амплитуды, используя альтернативу Фредгольма как наиболее экономный способ определения качественных основ свойств бифуркационных решений и их вычисления.

Благодарности

Работа над этой книгой была начата во время посещения Дж. Иоссом Миннесоттского университета в 1978 г. в соответствии с контрактом фирмы Army Research Office in Durham. Большой благодарности заслуживает также постоянная поддержка научных исследований Д. Джозефа из фонда Fluid Mechanics program of N.S.F.