Приведем эту задачу к задаче бифуркации -периодических решений в случае -периодической правой части эволюционного уравнения. Эта задача была изучена в § IX.12. Задача для , также исследованная в § IX. 12 , имеет некоторые новые особенности, которые будут рассмотрены в § XI. 13 и § XI.14. Субгармонические решения автономной задачи являются строго субгармоническими относительно приведенной переменной (см. § XI.8). Вычисление периода этого субгармонического решения
относительно реального времени связано с дополнительным вычислением новой частоты . дует, что можно найти в форме разложения
при этом выполняется условие (XI.48)
Тогда из (XI.51) и (XI.45) следует, что
а из (XI.57), что
Для разрешимости уравнения (XI.59) необходимо, чтобы
(XI.62)
Применяя (XI.62) к (XI.59) и полагая
находим с учетом (XI.16), что
где оператор определен формулой (XI.17) . Используя (XI.20), находим, что
Так как , то из (XI.64) определяется значение . В самом деле, второй член в уравнении (XI.64) имеет вид
так что
Для последующего удобно выразить уравнения для рассматриваемого здесь случая через , а не через . Tе же самые уравнения имеют место и для , однако тогда является линейной комбинацией и .
Уравнение (XI.59) можно упрсстить с учетом (XI.65) и (XI.66):
Уравнение (XI.67), разрешимо при выполнении условия (XI.62)
Для вычисления и отметим, что с учетом упрощений, связанных с (XI.65) и (XI.66), уравнение (XI.52)s можно записать в виде
а уравнение (XI.53) — в виде
Далее отметим, что
и разность между (XI.68) и (XI.69) принимает вид
Применяя условие (XI.62), находим, полагая, , что
Вообще говоря, . Наконец, отметим, что функция , определяемая уравнением (XI.67), является не только -периодической, но и -периодической; это следует из того обстоятельdef ства, что. и . Поэтому при выполнении равенства (XI.72) уравнение (XI.71) разрешимо, если удовлетворяется условие (XI.62) . В (XI.71) все неоднородные члены имеют вид
и -скалярные произведения этих членов обращаются в нуль. Таким образом,
Вычисление членов высокого порядка проводится таким же способом. На каждом шаге используется условие строгого пересечения , и поэтому получаемое уравнение разрешимо относительно .