Приведем эту задачу к задаче бифуркации $2 T$-периодических решений в случае $T$-периодической правой части эволюционного уравнения. Эта задача была изучена в § IX.12. Задача для $n=1$, также исследованная в § IX. 12 , имеет некоторые новые особенности, которые будут рассмотрены в § XI. 13 и § XI.14. Субгармонические решения автономной задачи являются строго субгармоническими относительно приведенной переменной $s$ (см. § XI.8). Вычисление периода этого субгармонического решения
\[
\psi(s, \alpha)=\psi(s+2 \pi n, \alpha), \quad s=\Omega(\alpha) t
\]

относительно реального времени $t$ связано с дополнительным вычислением новой частоты $\Omega(\alpha)$. дует, что $\mathbf{Y}(s, \alpha)$ можно найти в форме разложения
\[
\mathbf{Y}(s, \alpha)=\alpha \mathbf{Z}_{1}(s)+\chi(s, \alpha),
\]

при этом выполняется условие (XI.48)
\[
\begin{array}{l}
{\left[\chi(\cdot, \alpha), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{4 \pi}=0,} \\
{\left[\mathrm{Y}(\cdot, \alpha), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{4 \pi}=\alpha .}
\end{array}
\]

Тогда из (XI.51) и (XI.45) $)_{2}$ следует, что
\[
\left[\mathbf{Y}^{(1)}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{4 \pi}=1,
\]

а из (XI.57), что
\[
\mathbf{Y}^{(\mathbf{1})}=\mathrm{Z}_{\mathbf{i}} .
\]

Для разрешимости уравнения (XI.59) необходимо, чтобы
\[
\begin{array}{l}
{\left[J \mathbf{Y}^{(2)}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{4 \pi}=0,} \\
{\left[J \mathbf{Y}^{(2)}, \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{4 \pi}=0 .}
\end{array}
\]
(XI.62)

Применяя (XI.62) к (XI.59) и полагая
\[
U^{(1)}=\mu^{(1)} \hat{\mathbf{U}}_{1} \text { и } \omega^{(1)}=\mu^{(1)} \hat{\omega}_{i},
\]

находим с учетом (XI.16), что
\[
2 \mu^{(1)}\left[\left(\mathcal{Y} \mathbf{Z}_{1}-\hat{\omega}_{1} \dot{\mathbf{Z}}_{1}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{4 \pi}-\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \mathbf{Z}_{1}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{4 \pi}=\underset{(X I .64)_{i}}{0,}
\]

где оператор $y$ определен формулой (XI.17) . Используя (XI.20), находим, что
\[
2 \mu^{(1)} \xi_{1}-\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|Z_{1}\right| Z_{1}\right), Z_{1}^{*}\right]_{4 \pi}=0 .
\]

Так как $\xi_{1}>0$, то из (XI.64) определяется значение $\mu^{(1)}$. В самом деле, второй член в уравнении (XI.64) $)_{2}$ имеет вид
\[
\left[e^{i s / 2} F_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\Gamma}_{0}\right| \boldsymbol{\Gamma}_{0}\right), \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{*}\right]_{4 \pi}=0,
\]

так что
\[
\begin{array}{c}
\mu^{(1)}=0, \quad \mathbf{U}^{(1)}(s)=\mu^{(1)} \hat{\mathbf{U}}_{1}(s)=0, \\
\Omega^{(1)}=\omega^{(1)}=\mu^{(1)} \hat{\omega}_{1}=0, \quad \omega^{(2)}=\mu^{(2)} \hat{\omega}_{i}, \\
\boldsymbol{\psi}^{(1)}=-\mathbf{Y}^{(1)}=-\mathbf{Z}_{\mathbf{i}} .
\end{array}
\]

Для последующего удобно выразить уравнения для рассматриваемого здесь случая $n=2$ через $\mathbf{Y}^{(1)}$, а не через $\mathbf{Z}_{i}$. Tе же самые уравнения имеют место и для $n>2$, однако тогда $Y^{(1)}$ является линейной комбинацией $\mathbf{Z}_{1}$ и $\overline{\mathbf{Z}}_{\mathbf{i}}$.
Уравнение (XI.59) можно упрсстить с учетом (XI.65) и (XI.66):
\[
\left(\mu^{(2)} \hat{\omega}_{1}-\Omega^{(2)}\right) Z_{0}=\sqrt{ } \mathbf{Y}^{(2)}-F_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(1)}\right) . \quad(\mathrm{XI} .67)_{i}
\]

Уравнение (XI.67), разрешимо при выполнении условия (XI.62)
\[
\Omega^{(2)}=\mu^{(2)} \hat{\omega}_{1}+\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(1)}\right), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{4 \pi} .
\]

Для вычисления $\mu^{(2)}$ и $\Omega^{(3)}$ отметим, что с учетом упрощений, связанных с (XI.65) и (XI.66), уравнение (XI.52)s можно записать в виде
\[
\omega^{(3)} \mathbf{Z}_{0}=\sqrt{ } \mathbf{U}^{(3)}+\mu^{(3)} \mathbf{F}_{\mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\right),
\]

а уравнение (XI.53) $)_{s}$ — в виде
\[
\begin{array}{c}
\Omega^{(3)} \mathbf{Z}_{0}-3 \Omega^{(2)} \mathbf{Y}_{1}=s \mathbf{\Psi}^{(3)}-3 \mu^{(2)} \mathbf{F}_{v \mu}\left(\mu_{0}, \dot{\mathbf{U}}_{0} \mid \mathbf{Y}^{(1)}\right)- \\
-3 F_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \mathbf{U}^{(2)}-\mathbf{Y}^{(2)}\right)-\mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(1)} \mid \mathbf{Y}^{(1)}\right)+ \\
+\mu^{(3)} \mathbf{F}_{\mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\right) .
\end{array}
\]

Далее отметим, что
\[
\mathbf{U}^{(2)}=\mu^{(2)} \hat{\mathbf{U}}_{\mathbf{i}}(s)
\]

и разность между (XI.68) и (XI.69) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
\left(\omega^{(3)}-\Omega^{(3)}\right) \mathbf{Z}_{0}+3\left[F_{v v}\left(\mu_{0}, U_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(1)}\right), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{4 \pi} \mathbf{Y}^{(1)}= \\
=\sqrt{ } \mathbf{Y}^{(3)}+3 \mu^{(2)}\left\{z \mathbf{Y}^{(1)}-\hat{\omega}_{1} \mathbf{Y}^{(1)}\right\}- \\
-3 F_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(2)}\right)+\mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(1)} \mid \mathbf{Y}^{(1)}\right) .
\end{array}
\]

Применяя условие (XI.62), находим, полагая, $\mathrm{Z}_{1}=\mathrm{Y}^{(1)}$, что
\[
\begin{aligned}
\mu^{(2)} \xi_{1}=\left[\mathbf { F } _ { v v } \left(\mu_{0},\right.\right. & \left.\left.\mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \mathbf{Y}^{(2)}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{4 \pi}+ \\
+ & {\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{\mathbf{i}}\right| \mathbf{Z}_{1}\right), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]\left[\dot{\mathbf{Z}}_{\mathbf{1}}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{4 \pi}-} \\
& -\frac{1}{3}\left[\mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \mathbf{Z}_{1} \mid \mathbf{Z}_{1}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{4 \pi}
\end{aligned}
\]

Вообще говоря, $\mu^{(2)}
eq 0$. Наконец, отметим, что функция $\mathbf{Y}^{(2)}(s)$, определяемая уравнением (XI.67), является не только $4 \pi$-периодической, но и $2 \pi$-периодической; это следует из того обстоятельdef ства, что. $\mathbf{Z}_{0}(s)=\mathbf{Z}_{0}(s+2 \pi)$ и $\mathbf{f}(s)=\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}(s)\left|\mathbf{Z}_{\mathbf{1}}(s)\right| \mathbf{Z}_{1}(s)\right)=$ $=e^{i s} \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}(s)\left|\boldsymbol{\Gamma}_{0}(s)\right| \boldsymbol{\Gamma}_{0}(s)\right)=\mathrm{f}(s+2 \pi)$. Поэтому при выполнении равенства (XI.72) уравнение (XI.71) разрешимо, если удовлетворяется условие (XI.62) . $^{2}$ В (XI.71) все неоднородные члены имеют вид
\[
e^{i s / 2} \zeta(s)=e^{-i s / 2} \bar{\zeta}(s), \zeta(s)=\zeta(s+2 \pi),
\]

и $4 \pi$-скалярные произведения этих членов обращаются в нуль. Таким образом,
\[
\left[\int \mathbf{Y}^{(3)}, \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{4 л}=\omega^{(3)}-\Omega^{(3)}=0 .
\]

Вычисление членов высокого порядка проводится таким же способом. На каждом шаге используется условие строгого пересечения $\xi_{1}
eq 0$, и поэтому получаемое уравнение разрешимо относительно $\mu^{(k)}$.