Приведем эту задачу к задаче бифуркации $2T$-периодических решений в случае $T$-периодической правой части эволюционного уравнения. Эта задача была изучена в § IX.12. Задача для $n=1$, также исследованная в § IX. 12 , имеет некоторые новые особенности, которые будут рассмотрены в § XI. 13 и § XI.14. Субгармонические решения автономной задачи являются строго субгармоническими относительно приведенной переменной $s$ (см. § XI.8). Вычисление периода этого субгармонического решения
$$\psi (s,\alpha )=\psi (s+2\pi n,\alpha ),s=\mathrm{\Omega }(\alpha )t$$

относительно реального времени $t$ связано с дополнительным вычислением новой частоты $\mathrm{\Omega }(\alpha )$. дует, что $\mathbf{Y}(s,\alpha )$ можно найти в форме разложения
$$\mathbf{Y}(s,\alpha )=\alpha {\mathbf{Z}}_1(s)+\chi (s,\alpha ),$$

при этом выполняется условие (XI.48)
$$\begin{array}{l}{[\chi (\cdot ,\alpha ),{\mathbf{Z}}_1^{\ast }]}_{4\pi }=0,\\ {[\mathrm{Y}(\cdot ,\alpha ),{\mathbf{Z}}_1^{\ast }]}_{4\pi }=\alpha .\end{array}$$

Тогда из (XI.51) и (XI.45) ${)}_2$ следует, что
$${[{\mathbf{Y}}^{(1)},{\mathbf{Z}}_1^{\ast }]}_{4\pi }=1,$$

а из (XI.57), что
$${\mathbf{Y}}^{(\mathbf{1})}={\mathrm{Z}}_{\mathbf{i}}.$$

Для разрешимости уравнения (XI.59) необходимо, чтобы
$$\begin{array}{l}{[J{\mathbf{Y}}^{(2)},{\mathbf{Z}}_1^{\ast }]}_{4\pi }=0,\\ {[J{\mathbf{Y}}^{(2)},{\mathbf{Z}}_0^{\ast }]}_{4\pi }=0.\end{array}$$
(XI.62)

Применяя (XI.62) к (XI.59) и полагая
$$U^{(1)}={\mu }^{(1)}{\hat{\mathbf{U}}}_1\text{ и }{\omega }^{(1)}={\mu }^{(1)}{\hat{\omega }}_i,$$

находим с учетом (XI.16), что
$$2{\mu }^{(1)}{[(\mathcal{Y}{\mathbf{Z}}_1-{\hat{\omega }}_1{\dot{\mathbf{Z}}}_1),{\mathbf{Z}}_1^{\ast }]}_{4\pi }-{[{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{Z}}_1\right|{\mathbf{Z}}_1),{\mathbf{Z}}_1^{\ast }]}_{4\pi }=\underset{(XI.64{)}_i}{0,}$$

где оператор $y$ определен формулой (XI.17) . Используя (XI.20), находим, что
$$2{\mu }^{(1)}{\xi }_1-{[{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|Z_1\right|Z_1),Z_1^{\ast }]}_{4\pi }=0.$$

Так как ${\xi }_1>0$, то из (XI.64) определяется значение ${\mu }^{(1)}$. В самом деле, второй член в уравнении (XI.64) ${)}_2$ имеет вид
$${[e^{is/2}{F}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{\Gamma }}_0\right|{\mathbf{\Gamma }}_0),{\mathbf{\Gamma }}_0^{\ast }]}_{4\pi }=0,$$

так что
$$\begin{array}{c}{\mu }^{(1)}=0,{\mathbf{U}}^{(1)}(s)={\mu }^{(1)}{\hat{\mathbf{U}}}_1(s)=0,\\ {\mathrm{\Omega }}^{(1)}={\omega }^{(1)}={\mu }^{(1)}{\hat{\omega }}_1=0,{\omega }^{(2)}={\mu }^{(2)}{\hat{\omega }}_i,\\ {\mathit{\psi }}^{(1)}=-{\mathbf{Y}}^{(1)}=-{\mathbf{Z}}_{\mathbf{i}}.\end{array}$$

Для последующего удобно выразить уравнения для рассматриваемого здесь случая $n=2$ через ${\mathbf{Y}}^{(1)}$, а не через ${\mathbf{Z}}_i$. Tе же самые уравнения имеют место и для $n>2$, однако тогда $Y^{(1)}$ является линейной комбинацией ${\mathbf{Z}}_1$ и ${\bar{\mathbf{Z}}}_{\mathbf{i}}$.
Уравнение (XI.59) можно упрсстить с учетом (XI.65) и (XI.66):
$$({\mu }^{(2)}{\hat{\omega }}_1-{\mathrm{\Omega }}^{(2)})Z_0=\sqrt{}{\mathbf{Y}}^{(2)}-F_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{Y}}^{(1)}\right|{\mathbf{Y}}^{(1)}).(\mathrm{XI}.67{)}_i$$

Уравнение (XI.67), разрешимо при выполнении условия (XI.62)
$${\mathrm{\Omega }}^{(2)}={\mu }^{(2)}{\hat{\omega }}_1+{[{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{Y}}^{(1)}\right|{\mathbf{Y}}^{(1)}),{\mathbf{Z}}_0^{\ast }]}_{4\pi }.$$

Для вычисления ${\mu }^{(2)}$ и ${\mathrm{\Omega }}^{(3)}$ отметим, что с учетом упрощений, связанных с (XI.65) и (XI.66), уравнение (XI.52)s можно записать в виде
$${\omega }^{(3)}{\mathbf{Z}}_0=\sqrt{}{\mathbf{U}}^{(3)}+{\mu }^{(3)}{\mathbf{F}}_{\mu }({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0),$$

а уравнение (XI.53) ${)}_s$ — в виде
$$\begin{array}{c}{\mathrm{\Omega }}^{(3)}{\mathbf{Z}}_0-3{\mathrm{\Omega }}^{(2)}{\mathbf{Y}}_1=s{\mathbf{\Psi }}^{(3)}-3{\mu }^{(2)}{\mathbf{F}}_{v\mu }({\mu }_0,{\dot{\mathbf{U}}}_0\mid {\mathbf{Y}}^{(1)})-\\ -3F_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{Y}}^{(1)}\right|{\mathbf{U}}^{(2)}-{\mathbf{Y}}^{(2)})-{\mathbf{F}}_{vvv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{Y}}^{(1)}\right|{\mathbf{Y}}^{(1)}\mid {\mathbf{Y}}^{(1)})+\\ +{\mu }^{(3)}{\mathbf{F}}_{\mu }({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0).\end{array}$$

Далее отметим, что
$${\mathbf{U}}^{(2)}={\mu }^{(2)}{\hat{\mathbf{U}}}_{\mathbf{i}}(s)$$

и разность между (XI.68) и (XI.69) принимает вид
$$\begin{array}{c}({\omega }^{(3)}-{\mathrm{\Omega }}^{(3)}){\mathbf{Z}}_0+3{[F_{vv}({\mu }_0,U_0\left|{\mathbf{Y}}^{(1)}\right|{\mathbf{Y}}^{(1)}),{\mathbf{Z}}_0^{\ast }]}_{4\pi }{\mathbf{Y}}^{(1)}=\\ =\sqrt{}{\mathbf{Y}}^{(3)}+3{\mu }^{(2)}\{z{\mathbf{Y}}^{(1)}-{\hat{\omega }}_1{\mathbf{Y}}^{(1)}\}-\\ -3F_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{Y}}^{(1)}\right|{\mathbf{Y}}^{(2)})+{\mathbf{F}}_{vvv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{Y}}^{(1)}\right|{\mathbf{Y}}^{(1)}\mid {\mathbf{Y}}^{(1)}).\end{array}$$

Применяя условие (XI.62), находим, полагая, ${\mathrm{Z}}_1={\mathrm{Y}}^{(1)}$, что
$$\begin{array}{rl}{\mu }^{(2)}{\xi }_1=[{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,& {{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{Z}}_1\right|{\mathbf{Y}}^{(2)}),{\mathbf{Z}}_1^{\ast }]}_{4\pi }+\\ +& [{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{Z}}_{\mathbf{i}}\right|{\mathbf{Z}}_1),{\mathbf{Z}}_0^{\ast }]{[{\dot{\mathbf{Z}}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{Z}}_1^{\ast }]}_{4\pi }-\\ & -\frac{1}{3}{[{\mathbf{F}}_{vvv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{Z}}_1\right|{\mathbf{Z}}_1\mid {\mathbf{Z}}_1),{\mathbf{Z}}_1^{\ast }]}_{4\pi }\end{array}$$

Вообще говоря, ${\mu }^{(2)}eq0$. Наконец, отметим, что функция ${\mathbf{Y}}^{(2)}(s)$, определяемая уравнением (XI.67), является не только $4\pi$-периодической, но и $2\pi$-периодической; это следует из того обстоятельdef ства, что. ${\mathbf{Z}}_0(s)={\mathbf{Z}}_0(s+2\pi )$ и $\mathbf{f}(s)={\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0(s)|{\mathbf{Z}}_{\mathbf{1}}(s)|{\mathbf{Z}}_1(s))=$ $=e^{is}{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0(s)|{\mathbf{\Gamma }}_0(s)|{\mathbf{\Gamma }}_0(s))=\mathrm{f}(s+2\pi )$. Поэтому при выполнении равенства (XI.72) уравнение (XI.71) разрешимо, если удовлетворяется условие (XI.62) . ${}^2$ В (XI.71) все неоднородные члены имеют вид
$$e^{is/2}\zeta (s)=e^{-is/2}\overline{\zeta }(s),\zeta (s)=\zeta (s+2\pi ),$$

и $4\pi$-скалярные произведения этих членов обращаются в нуль. Таким образом,
$${[\int {\mathbf{Y}}^{(3)},{\mathbf{Z}}_0^{\ast }]}_{4л}={\omega }^{(3)}-{\mathrm{\Omega }}^{(3)}=0.$$

Вычисление членов высокого порядка проводится таким же способом. На каждом шаге используется условие строгого пересечения ${\xi }_{1}eq0$, и поэтому получаемое уравнение разрешимо относительно ${\mu }^{(k)}$.