Теперь мы сделаем предположение, которому, очевидно, удовлетворяют примеры, приведенные в $\S 1.1$, о том, что $\mathbf{U}=0$ не является решением эволюционной задачи, связанной с (1.1). Функция $\mathbf{U}=0$ не является решением этой задачи в силу того, что правая часть уравнения отлична от нуля при $\mathbf{U}=0$. В примерах, упоминаемых в $§ \mathrm{I} .1$, правая часть при $\mathbf{U}=0$ есть $a_{1}(\mu) a_{2}(\mu) \ldots a_{n}(\mu)
eq 0$ в $(\mathrm{I} .2), h_{\alpha}(\mathbf{x}, t, \mu)
eq 0, P_{\alpha}(\mathbf{x}, t, \mu)
eq 0$ в $(\mathrm{I} .3-6)$ и $\mathbf{p}(x, t, \mu)
eq 0$, $\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}, t, \mu)
eq 0$ в $(\mathrm{I} .7,8)$. Если не учитывать граничные условия в задачах, связанных с дифференциальными уравнениями в частных производных, то правая часть при $\mathbf{U}=0$ дается выражением $\mathbf{F}(t$, $\mu, 0)
eq 0$.

Ограничимся задачами, в которых правая часть при $\mathrm{U}=0$ удовлетворяет условию ${ }^{1}$ )
\[
\mathbf{F}(t, \mu, 0) \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{F}(\mu, 0)
eq 0 \text { и } \mathbf{F}(\mu, \mathbf{U}) \text { не зависит от } t
\]
1) Символ def над знаком равенства означает, что это равенство принимается по определению.- Прим. перев.

или
\[
\mathbf{F}(t, \mu, 0)=\mathbf{F}(t+T, \mu, 0)
eq 0 \text { и } \mathbf{F}(t, \mu, \mathbf{U}) T \text {-периодична }
\]

Если $\mathbf{F}(\mu, \mathbf{U})$ не зависит от $t$, то задача
\[
\frac{d \mathbf{U}}{d t}=\mathbf{F}(\mu, \mathbf{U})
\]

называется автономной. Если $\mathbf{F}(t, \mu, \mathbf{U})$ — периодическая по $t$ с периодом $T$, то задача
\[
\frac{d \mathbf{U}}{d t}=\mathbf{F}(t, \mu, \mathbf{U})=\mathbf{F}(t+T, \mu, \mathbf{U})
\]

называется неавтономной $T$-перисдической. Қак правило, мы будем опускать слова «T-периодическая» при описании неавтономных задач, поскольку лишь $T$-периодические задачи будут рассматриваться в этой книге.