Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Можно показать, что все полученные до сих пор результаты приложимы к задачам, которые описываются дифференциальными уравнениями с частными производными, вроде уравнений НавьеСтокса, при условии бифуркации в простом собственном значении
Рис. II.8. Иэменение $F$, удовлетворяющей хорошим условиям на прямой $\mu=$ const. Непосредственно видно, что знак тангенса углов наклона чередуется.
(объяснение этого условия будет дано в гл. IV). Теорема 2 применима к этим более общим задачам, так как все ветви связаны; на самом деле эти ветви принадлежат пространству высокой размерности, а их проекциями служат плоские кривые.
Здесь необходимо подчеркнуть, что равновесные решения эволюционных уравнений не обязательно должны иметь ветвления. Существуют изолированные решения, столь же обычные, как дождь, которые не связанны с другими решениями посредством ветвления. Такие изолированные решения уравнения $F(\mu, \varepsilon)$ существуют даже в одномерных задачах (см. рис. II.7, где приведен типичный пример). В одномерном случае можно доказать, что устойчивые и неустойчивые решения, пересекающие прямую $\mu$ =const, чередуются, как показано на рис. II.7. Этот результат, однако, строго одномерен и неприменим к одномерным проекциям задач высших размерностей, для которых кривые решений, выглядящие пересекающимися после их проектирования на плоскость бифуркациснной диаграммы, на самом деле не пересекаются в пространстве высшей размерности. Строго одномерный результат, на который мы только что сослались, дает полное описание областей начальных значений, притягиваемых равновесным решением.
Чтобы получить сильный результат в $\mathbb{R}^{1}$ о чередовании устойчивых и неустойчивых решений, необходимо потребовать от $F$ некоторых разумных условий гладкости. Например, если для фиксированного $\mu$ решения $\varepsilon$ уравнения $F(\mu, \varepsilon)=0$ изолированы, то они счетны и мы можем обозначить их $\varepsilon_{l}$, где $\varepsilon_{l-1}<\varepsilon_{l}<\varepsilon_{l+1}$ и $l \in Z$ (множеству положительных или отрицательных целых чисел). Теперь потребуем, чтобы линия $\mu=$ const не проходила ни через одну особую точку функции $F$ и чтобы $F_{\varepsilon}\left(\mu, \varepsilon_{l}\right)
eq 0$ для всех $l$. Эта ситуация изображена на рис. II.8.
Важность этого результата подчеркивает схема области притяжения равновесных решений уравнения (II.58), показанная на рис. II.7.
