Для анализа устойчивости решения $\mathbf{u}=0$ рассмотрим линеаризованную эволюционную задачу
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{f}_{u}(t, \mu, 0 \mid \mathbf{v})=\mathrm{f}_{u}(t+T, \mu, 0 \mid \mathbf{v})
\]

с начальным условием
\[
\mathbf{v}(0)=\mathrm{v}_{0} .
\]

Решения уравнения (IX.10) можно выразить через специальное матричное решение $\Phi(t, \mu)$ с начальным условием $\Phi(0, \mu)=1$, где I-единичная матрица, следующим образом:
\[
\mathbf{v}(t, \mu)=\Phi(t, \mu) \cdot \mathbf{v}_{0} .
\]

Собственными значениями матрицы монодромии $\boldsymbol{\Phi}(T, \mu)$ служат множители Флоке
\[
\lambda(\mu)=e^{\sigma(\mu) T},
\]

где комплексные числа $\sigma(\mu)=\xi(\mu)+i \eta(\mu)$ суть экспоненты Флоке. Эти экспоненты являются собственными значениями задачи (IX.8). Назовем $\sigma(\mu)$ собственным значением оператора
\[
J(\mu)=-\frac{d}{d t}+\mathrm{f}_{u}(t, \mu, 0 \mid \cdot) ;
\]

тогда задачу (IX.8) можно записать в форме
\[
\sigma \xi=J(\mu) \zeta, \quad \zeta \in \mathbb{P}_{T} .
\]

Отметим, что если $\sigma$ есть собственное значение оператора $J(\mu)$, то $\sigma+(2 \pi k i / T)$ также является его собственным значением для любого $k$ из $Z$ (ассоциированным собственным вектором служит $\hat{\zeta}(t)=$ $=\zeta(t) \exp (-2 \pi k i / T))$.
Теперь сопряженную задачу на собственные значения
\[
\bar{\sigma} \zeta^{*}=J^{*}(\mu) \zeta^{*}, \zeta^{*} \in \mathbb{P}_{T},
\]

где
\[
J^{*}(\mu)=\frac{d}{d t}+\mathrm{f}_{u}^{*}(t, \mu \mid \cdot),
\]

определим следующим образом. Линейный оператор $\mathrm{f}_{u}^{*}(t, \mu \mid \cdot)$ является сопряженным по отношению к оператору $\mathrm{f}_{u}(t, \mu, 0 \mid \cdot)$; это означает, что
\[
\left\langle\mathbf{a}, \mathrm{f}_{u}^{*}(t, \mu \mid \mathbf{b})\right\rangle=\left\langle\mathrm{f}_{n}(t, \mu, 0 \mid \mathbf{a}), \mathbf{b}\right\rangle .
\]
$\mathrm{B} \mathbb{R}^{n}$ оператором $\mathrm{f}_{u}(t, \mu, 0 \mid \cdot)$ служит матрица $\mathbf{A}(t, \mu)$, а оператором $\mathrm{f}_{u}^{*}(t, \mu \mid \cdot)$-матрица $\left.\mathbf{A}^{T}(t, \mu)^{1}\right)$. Второе скалярное произведение, удобное для $n T$-периодических функций, определим равенством
\[
[\mathbf{a}, \mathbf{b}]_{n T} \stackrel{\text { def }}{=} \frac{1}{n T} \int_{0}^{n T}\langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle d t,
\]

где $\langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle=\overline{\langle\mathbf{b}, \mathbf{a}\rangle}$. Линейный оператор $J^{*}(\mu)$ определим соотношением
\[
[\mathbf{a}, J(\mu) \mathbf{b}]_{T}=\left[J^{*}(\mu) \mathbf{a}, \mathbf{b}\right]_{T} .
\]

Проверим, что
\[
\left[\xi, \bar{\sigma} \xi^{*}\right]_{T}=\sigma\left[\zeta, \zeta^{*}\right]_{T}=\left[J(\mu) \xi, \zeta^{*}\right]_{T}=\left[\xi, J^{*}(\mu) \zeta^{*}\right]_{T}
\]