Проблема бифуркации упрощается для большого числа физических задач, описываемых уравнениями вида (VIII.1) и обладающих свойством инвариантности по отношению к некоторым группам преобразований. Такие упрощения возможны в задачах описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными, в которых инвариантность по отношению к группе преобразований, включающих пространство и время, приводит к бифуркации Хопфа в волноподобные решения. Чтобы изучить ответвление волноподобного решения, удобно и возможно свести задачу строго, а не только асимптотически, к автономной задаче. Тогда стационарным решениям автономной задачи соответствуют периодические решения исходной задачи. Однако если в автономной задаче, описывающей ответвление волноподобного $\qquad$
1) Поводом для написания этого параграфа послужили недавние результаты по бифуркации вращающихся волн (cм. Rand, David. Dynamics and symmetry: predictions for modulated waves in rotating fluids, Arch. Rational Mech. Anal, Michael Renardy, Bifurcation of Rotating Waves, Arch. Rational Mech. Anal.
решения, снова имеет место бифуркация Хопфа, то бифуркацконные решения будут строго дважды периодическими, причем обе частоты и число вращения будут выражаться аналитическими функциями относительно \&. Пусть, например, имеется дифференциальное уравнение с частными производными для бифуркационного скалярного поля $v(r, \theta, z, t)$, которое в цилиндрических координатах $(r, \theta, z)$ инвариантно по отношению к вращениям вокруг оси $z$. Предположим далее, что решение $v=0$ обладает бифуркацией Хопфа во вращающуюся волну $v=\tilde{v}(r, \theta-\omega t, z)$. Задача, описывающая бифуркацию решения $\tilde{v}(r, \varphi, z), \varphi=\theta-\omega t$, является автономной, и если для нее имеет место другая бифуркация Хопфа, то новое решение описывается функцией вида $u(r, \varphi, z, t)$, являющейся $T$-периодической по $t$. Бифуркационное решение $u(r, \varphi, z, t)=\tilde{u}(r, \theta-\omega t, z, t)$ будет находиться на двумерном торе дважды периодических потоков, две частоты $(2 \pi / T, \omega)$ и число вращения которых аналитичны по $\varepsilon$.
Инвариантность систем дифференциальных уравнений в $\mathbb{R}^{n}$ по отношению к группам вращений фазового пространства также приводит к большим упрощениям.
Пример. Рассмотрим эволюцию трехмерного вектора $x=(x, y, z)$, $x \in \mathbb{R}^{3}$, где
\[
\frac{d \mathbf{x}}{d t}=\mathbf{f}(\mu, \mathbf{x}),
\]
а функция $\mathbf{f}\left(\mu, \mathbf{R}_{\theta} \mathbf{x}\right)=\mathbf{R}_{\theta} \mathbf{f}(\mu, \mathbf{x})$ инвариантна по отношению к поворотам пространства на угол $\theta$ вокруг оси $z$,
\[
\left[\mathbf{R}_{\theta}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] .
\]
Чтобы упростить исследование бифуркации, введем генератор $\mathbf{S}_{\omega}$ аруппы $\mathbf{R}_{\omega t}(t \in \mathbb{R})$, определяемый линейной эволюционной задачей
\[
\frac{d \mathbf{Z}}{d t}=\omega \mathbf{k} \wedge \mathbf{Z} \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{S}_{\omega} \mathbf{Z}, \quad \mathbf{Z} \in \mathbb{R}^{\mathbf{3}},
\]
где $\omega$-вещественная постоянная, a $\mathbf{k}$-единичный вектор оси $z$. Общее решение уравнения (XI.145) есть
\[
\mathbf{Z}(t)=e^{\mathbf{S}_{\omega} t} \mathbf{Z}(0)=R_{\omega t} \mathbf{Z}(0) \in \mathbb{P}_{2 \pi / \omega} .
\]
Возвращаясь теперь к уравненню (XI.144), положим
\[
\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{s}_{\omega} t} \mathbf{y}(t)=\mathbf{R}_{\omega t} \mathbf{y}(t),
\]
где
\[
\frac{d \mathbf{y}}{d t}=\mathbf{f}(\mu, \mathbf{y})-\mathbf{S}_{\omega} \mathbf{y} .
\]
Стационарные решения уравнения (XI.146) соответствуют периодическим решениям $\mathbf{x}(t)=R_{\omega t} \mathbf{y} \in \mathbb{P}_{2 \pi / \omega}$ уравнения (XI.144). Периодические решения уравнения (XI.146) соответствуют дважды периодическим решениям уравнения (XI.144), которые на самом деле квазипериодические для большей части значений $\omega$.
Упражнение
XI.I. Рассмотрите пример VII. 1 на стр. 141 и покажите, что уравнение (VII.47) инвариантно по отношению к вращениям $R_{\theta}(x, y)$-плоскости. Вычислите бифуркацию Хопфа, следуя методу, который был использован для этого примера.
