\[
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right], \quad \mathbf{A}^{T}=\left[\begin{array}{ll}
a & c \\
b & d
\end{array}\right] .
\]
IV.4.1. Собственные значения
\[
\begin{array}{c}
P(\sigma)=\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}
a-\sigma & b \\
c & d-\sigma
\end{array}\right]=\sigma^{2}-\sigma(a+d)+a d-b c=0, \\
\sigma_{1}=\frac{a+d}{2}+V \bar{\Delta}, \sigma_{2}=\frac{a+d}{2}-V \bar{\Delta},
\end{array}
\]
где дискриминант дается выражением
\[
\Delta=\frac{(a-d)^{2}}{4}+b c=\frac{(a+d)^{2}}{4}-a d+b c=\frac{1}{4}(\operatorname{tr} \mathbf{A})^{2}-\operatorname{det} \mathbf{A}
\]
и
\[
\operatorname{tr} \mathbf{A}=a+d .
\]
IV.4.2. Собственные векторы
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{l}
x_{11} \\
x_{12}
\end{array}\right], \quad \text { где } \begin{array}{l}
\left(a-\sigma_{1}\right) x_{11}+b x_{12}=0, \\
c x_{11}+\left(d-\sigma_{1}\right) x_{12}=0 ;
\end{array} \\
\mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{l}
x_{21} \\
x_{22}
\end{array}\right], \text { где } \begin{array}{l}
\left(a-\sigma_{2}\right) x_{21}+b x_{22}=0, \\
c x_{21}+\left(d-\sigma_{2}\right) x_{22}=0 ;
\end{array} \\
\overline{\mathbf{y}}_{1}=\left[\begin{array}{l}
\bar{y}_{11} \\
\bar{y}_{12}
\end{array}\right], \text { где } \begin{array}{l}
\left(a-\sigma_{1}\right) \bar{y}_{11}+c \bar{y}_{12}=0, \\
b \bar{y}_{11}+\left(d-\sigma_{1}\right) \bar{y}_{12}=0 ;
\end{array} \\
\overline{\mathbf{y}}_{2}=\left[\begin{array}{l}
\bar{y}_{21} \\
\bar{y}_{22}
\end{array}\right], \begin{array}{l}
\left(a-\sigma_{2}\right) \bar{y}_{21}+c \bar{y}_{22}=0, \\
t \bar{y}_{21}+\left(d-\sigma_{2}\right) \bar{y}_{22}=0 .
\end{array}
\end{array}
\]
IV.4.3. Алгебраически простые собственные значения
Случай 1. $\Delta>0 . \sigma_{1}
eq \sigma_{2}$-вещественные. Существуют два вещественных собственных вектора и два присоединенных собственных вектора.
Случай 2. $\Delta<0 . \sigma_{2}=\bar{\sigma}_{1}$. Сушествуют два собственных вектора, и они являются комплексно-сопряженными. То же самое справедливо для присоединенной задачи.
IV.4.4. Алгебраически двойные собственные значения
Случай 3. $\Delta=0$. Тогда $\sigma_{1}=\sigma_{2}=(a+d) / 2$-собственное значение с алгебраической кратностью два. Задачи для собственных векторов приводятся к уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
q x_{1}+b x_{2}=0, \\
c x_{1}-q x_{2}=0,
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
\bar{q} y_{1}+c \bar{y}_{2}=0, \\
b \bar{y}_{1}-q \bar{y}_{2}=0,
\end{array}\right.
\end{array}
\]
где $q=(a-d) / 2$ и $\Delta=q^{2}+b c=0$.
IV.4.4.1. Индекс Риса 1
\[
q=b=c=0 .
\]
Тогда
\[
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}
a & 0 \\
0 & a
\end{array}\right]=a \mathbf{I}
\]
и каждый вектор $\mathbf{x}$ есть собственный вектор, соответствующий $\sigma_{1}=\sigma_{2}=a$. Можно выбрать два ортонормированных вектора. Поэтому $a$-двойное полупростое собственное значение.
IV.4.4.2. Индекс Риса 2
\[
q^{2}+b c=0, \quad|q|+|b|+|c|
eq 0 .
\]
Собственное значение $\sigma=\sigma_{1}=\sigma_{2}=(a+d) / 2$-алгебраически двойное и геометрически простое.
Существует один и только один собственный вектор, удовлетворяющий $(\mathbf{A}-\sigma \mathbf{I}) \cdot \mathbf{x}=0$, с произвольным условием нормировки. Компоненты $x_{1}, x_{2}$ вектора $\mathbf{x}$ удовлетворяют (IV.12), и если $q
eq 0$, или $c
eq 0$, или $b
eq 0$, то для $\mathbf{x}$ имеем выражение
\[
\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}
-b / q \\
1
\end{array}\right] x_{2}=\left[\begin{array}{c}
q / c \\
1
\end{array}\right] x_{2}=\left[\begin{array}{c}
1 \\
-q / b
\end{array}\right] x_{1}=\left[\begin{array}{c}
1 \\
c / q
\end{array}\right] x_{i} .
\]
Аналогично, существует один и только один собственный вектор, удовлетворяющий $\left(\mathbf{A}^{T}-\sigma \mathbf{I}\right) \cdot \overline{\mathbf{y}}=0$, с произвольным условием нормировки. Компоненты $\bar{y}_{1}, \bar{y}_{2}$ вектора $\overline{\mathbf{y}}$ удовлетворяют (IV.13), и если $b
eq 0$, или $q
eq 0$, или $c
eq 0$, то для $\overrightarrow{\mathbf{y}}$ имеем выражение
\[
\overline{\mathrm{y}}=\left[\begin{array}{c}
q / b \\
1
\end{array}\right] \bar{y}_{2}=\left[\begin{array}{c}
-c / q \\
1
\end{array}\right] \bar{y}_{2}=\left[\begin{array}{c}
1 \\
b / q
\end{array}\right] \bar{y}_{1}=\left[\begin{array}{c}
1 \\
-q / c
\end{array}\right] \bar{y}_{i} .
\]
Скалярное произведение $\mathbf{x}$ с его присоединенным вектором не может быть нормировано, потому что
\[
\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=\mathbf{x} \cdot \overline{\mathbf{y}}=0 .
\]
Рассмотрим теперь обобщенные собственные векторы $\zeta$, удовлетворяющие уравнению
\[
(A-\sigma I) \cdot \zeta=\mathbf{x} .
\]
Поскольку $\mathbf{x}$-собственный вектор, имеем
\[
(\mathbf{A}-\sigma \mathbf{I})^{2} \cdot \xi=0 .
\]
Қаждый вектор в $\mathbb{R}^{2}$ удовлетворяет (IV.17), потому что
\[
(\mathrm{A}-\sigma \mathbf{I})^{2}=\left[\begin{array}{cc}
q & b \\
c & -q
\end{array}\right]^{2}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right] .
\]
Но для $\zeta$, удовлетворяющего (IV.16), необходимо выполнение уравнений
\[
\begin{aligned}
q \xi_{1}+b \xi_{2} & =x_{1}= \\
& =-(b / q) x_{2}, \quad \text { если } \quad q
eq 0, \\
c \xi_{1}-q \xi_{2} & =x_{2} .
\end{aligned}
\]
Аналогично, существует обобщенный присоединенный собственный вектор $\bar{\zeta}^{*}$, удовлетворяющий уравнениям
\[
\left(\mathbf{A}^{T}-\sigma \mathbf{I}\right) \cdot \bar{\zeta}{ }^{*}=\bar{y},\left(\mathbf{A}^{T}-\sigma \mathbf{I}\right)^{2} \cdot \bar{\zeta}^{*}=0
\]
и
\[
\begin{array}{l}
q \bar{\xi}_{1}^{*}+\bar{c}_{2}^{*}=\bar{y}_{1}, \\
b \overline{\zeta_{1}^{*}}-q \bar{\xi}_{2}^{*}=\bar{y}_{2} .
\end{array}
\]
Задавая $\overrightarrow{\mathbf{y}}$, можно пронормировать скалярное произведение обобщенных собственного вектора и присоединенного собственного вектора к какому-то значению, например к 1 :
\[
\langle\boldsymbol{\xi}, \mathbf{y}\rangle=1 \text {. }
\]
Поскольку
\[
\begin{array}{c}
\langle\boldsymbol{\zeta}, \mathbf{y}\rangle=\left\langle\zeta,\left(\mathbf{A}^{T}-\bar{\sigma} \mathbf{I}\right) \cdot \xi^{*}\right\rangle=\left\langle(\mathbf{A}-\sigma \mathbf{I}) \cdot \zeta, \bar{\zeta}^{*}\right\rangle= \\
=\left\langle\mathbf{x}, \zeta^{*}\right\rangle=\zeta_{1} \bar{y}_{1}+\zeta_{2} \bar{y}_{2}= \\
=-\frac{x_{2} \overline{y_{2}}}{q}=\frac{x_{1} \overline{y_{2}}}{b}=\frac{x_{2} \overline{y_{1}}}{c}=1,
\end{array}
\]
то можно положить $x_{1}=b / \bar{y}_{2}$ для произвольного значения $\overline{y_{2}}
eq 0$, если $b
eq 0$.
В случае, который мы примем в качестве канонического, $c=q=0$, $b
eq 0$, имеем (IV.19), $x_{2}=\bar{y}_{1}=0, \zeta_{2}=x_{1} / b \quad$ и $\overline{\zeta_{1}^{*}}=1 / x_{1}, \quad \bar{y}_{2}=b / x_{1}$, $\overline{\zeta_{2}^{*}}=-\zeta_{1} b / x_{1}^{\prime}$ (можно выбрать $\zeta_{1}=0$ ).
Результаты, приведенные для $\mathbb{R}^{2}$ в § IV.4.4.2, представляют собой частный случай общей теории для $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2$, для собственных значений, которые не являются полупростыми. Общая теория приведена в дополнении к этой главе.
