Уравнения (VI.19) и (VI.20) представляют собой, по существу, уравнения в $\mathbb{R}^{1}$, получаемые в проекции на $\mathbf{x}_{1}$. Поучительно сравнить эти уравнения с уравнениями, которые имеют место непосредственно в $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}$. Для того чтобы провести такое сравнение, положим $\mathbf{F}(\mu, \varepsilon)=f(\mu, \varepsilon)$, где $\mathbf{f}(\mu, 0)$ приведена к локальной форме. Тогда (II.52) является $\mathbb{R}^{1}$-аналогом (VI.19), и если $\sigma_{\mu}^{(1)}(0)$ заменить на $\zeta_{1}^{\prime}(0)$, то (II.52) примет вид
\[
\zeta_{1}^{\prime}(0)=f_{\mu s}(0,0)>0 .
\]

Мы можем получить $\mu_{n}, n \geqslant 1$, разлагая $\mathbf{f}(\mu,(\varepsilon), \varepsilon)$ по степеням $\varepsilon$ при $\varepsilon=0$. Отождествляя независимые степени $\varepsilon$ и используя (VI.21), находим
\[
\begin{array}{c}
2 \mu_{1} \xi_{1}^{\prime}(0)+i_{\varepsilon \varepsilon}(0,0)=0, \\
3 \mu_{2} \xi_{1}^{\prime}(0)+f_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon}(0,0)+3 \mu_{1} f_{\varepsilon \varepsilon \mu}+3 \mu_{1}^{2} f_{\varepsilon \mu \mu}=0, \\
n \mu_{n-1} \xi_{1}^{\prime}(0)+k_{n}=0,
\end{array}
\]

где $k_{n}$ зависит от коэффициентов более низкого порядка. Таким образом, (VI.21) и (VI.22), которые имеют место в $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}$, почти тождественны с (VI.19) и (VI.20), полученными в $\mathbb{R}^{1}$ как проекции.