Одни из бифуркационных решений являются устойчивыми, а другие неустойчивыми. Для исследования устойчивости решения $u=\varepsilon$ очень часто исследуют линеаризованное уравнение
\[
Z_{t}=F_{\varepsilon}(\mu, \varepsilon) Z,
\]
общее решение которого имеет вид
\[
Z=e^{\Im t} Z_{0},
\]
где
\[
\sigma=F_{\varepsilon}(\mu, \varepsilon) .
\]
Поскольку все решения (II.28) имеют вид (II.29), то мы заключаем, что возмущение $Z$ или $\varepsilon$ растет, если $\sigma>0$, и затухает, если $\sigma<0$. Поэтому линейная теория приводит к заключению о том, что $(\mu(\varepsilon), \varepsilon)$, удовлетворяющее уравнению $F(\mu, \varepsilon)=0$, устойчиво, если $\sigma<0$, и неустойчиво, если $\sigma>0$.
Теперь мы докажем, что заключение, полученное на основе линейной теории, сохраняется для нелинейных уравнений, если возмущение не слишком большое.
Пусть $v$-возмущение $\varepsilon, u=\varepsilon+v$, где
\[
\begin{aligned}
\frac{d v}{d t} & =F(\mu(\varepsilon), \varepsilon+v)-F(\mu(\varepsilon), \varepsilon)= \\
& =F_{\varepsilon}(\mu(\varepsilon), \varepsilon) v+R(\varepsilon, v)
\end{aligned}
\]
и
\[
|R(\varepsilon, v)| \leqslant K|v|^{2},
\]
если $|v|$ достаточно мало. Покажем, что вблизи начала $v$ изменяется подобно $Z(t)=e^{\sigma t} Z_{0}, \sigma=F_{\varepsilon}(\mu(\varepsilon), \varepsilon)$, и стремится к нулю экспоненциально или экспоненциально растет в зависимости от того, какое из неравенств $\sigma<0$ или $\sigma>0$ имеет место. Уравнение (II.31) можно записать в виде
\[
\frac{d}{d t}\left(v e^{-\sigma t}\right)=R(\varepsilon, v) e^{-\sigma t} .
\]
Следовательно,
\[
v(t) e^{-v l}=v(0)+\int_{0}^{1} R(\varepsilon, v(s)) e^{-\sigma s} d s,
\]
и, используя (II.32), находим, что
\[
\left|v(t)-v(0) e^{\sigma t}\right| \leqslant K \int_{0}^{t} e^{\sigma(t-s)}|v(s)|^{2} d s .
\]
Покажем, что из (II.35) следует, что $v(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$, если $\sigma(\varepsilon)<0$ и $|v(0)|$ достаточно мало. Предположим, что $\sigma<0$. Тогда существует $\eta>0$, такое, что $\sigma(\varepsilon+\eta<0$. Допустим теперь, что
\[
|v(t)| \leqslant \frac{\eta}{K} \text { для всех } t \geqslant 0 .
\]
Комбинируя (II.35) и (II.36), находим, что
\[
\left|v(t)-v(0) e^{\sigma t}\right| \leqslant \eta e^{\sigma t} \int_{0}^{t} e^{-\sigma s}|v(s)| d s .
\]
Из (II.37) заключаем
\[
|v(t)| \leqslant|v(0)| e^{\sigma t}+\eta e^{\sigma t} \int_{0}^{t} e^{-\sigma s}|v(s)| d s .
\]
Полагая
\[
y(t)=\int_{0}^{\operatorname{def}} e^{-\sigma s}|v(s)| d s,
\]
представим (II.38) в форме
\[
0 \leqslant \dot{y}(t) \leqslant|v(0)|+\eta y(t), \quad y(0)=0 .
\]
Умножая (II.40) на интегрирующий множитель $e^{-\eta}$ и интегрируя, получаем
\[
y(t) e^{-\eta t} \leqslant\left\{1-e^{-\eta t}\right\}|v(0)| / \eta .
\]
Возвращаясь теперь к (II.37) и используя (II.41), находим, что
\[
\left|v(t)-v(0) e^{\sigma t}\right| \leqslant|v(0)| e^{(\sigma+n) t} .
\]
Неравенство (II.42) показывает, что $v(t) \rightarrow 0$ экспоненциально, если $\sigma(\varepsilon)<0$, и что неравенство $|v(t)| \leqslant \eta / K$ выполняется для всех $t \geqslant 0$, если $|v(0)|$ достаточ но мало.
Мы показали, что ( $\mu(\varepsilon), \varepsilon$ ) экспоненциально устойчиво, если $\sigma(\varepsilon)=F_{\varepsilon}(\mu(\varepsilon), \varepsilon)<0$ и $|v(0)|$ достаточно мало. Условие на $|v(0)|$ является причиной того, что рєшение $(\mu(\varepsilon), \varepsilon)$ называют условно устойчивым. Если бы на $|v(0)|$ не было ограничений, то мы имели бы безусловную или глобальную устойчивость. Глобальная устойчивость является редким свойством, поскольку из него следует, что при фиксированном значении $\mu$ существует только одно стационарHue решение $u=\varepsilon$, которое при данном фиксированном значении $\mu$ притягивает все решения уравнения (II.1). Часто при одном и том же $\mu$ существуют несколько решений, и каждое устойчивое равновесное решение имеет свою собственную ограниченную область притяжения (см. рис. II.7).
Докажем теперь, что нулевое решение уравнения (II.31) неустойчиво, если $\sigma>0$. Уравнение (II.34) по-прежнему остается в силе. Поэтому если допустить, что
\[
|v(t)| \leqslant \varepsilon
\]
для всех $t \geqslant 0$ и в (II.34) положить $t \rightarrow \infty$, то получим
\[
v(0)=-\int_{0}^{\infty} R(\varepsilon, v(s)) e^{-\sigma s} d s .
\]
Тогда (II.34) можно переписать в виде
\[
v(t)=-\int_{i}^{\infty} R(\varepsilon, v(s)) e^{\sigma(t-s)} d s .
\]
Теперь, используя оценку (II.32), имеем
\[
|v(t)| \leqslant K \varepsilon^{2} \int_{t}^{\infty} e^{\sigma(t-s)} d s=\frac{K \varepsilon^{2}}{\sigma}
\]
и $\varepsilon$ должно удовлетворять неравенству
\[
\varepsilon \leqslant K \varepsilon^{2} / \sigma .
\]
Выбирая $v(0)
eq 0$ и $\varepsilon<\sigma / K$, приходим к противоречию с (II.43). Поэтому невозможно удовлетворить неравенству $|v(t)| \leqslant \varepsilon$ для всех $t$. Следовательно, решение $v(t)$ покинет фиксированный интервал в момент $t_{0}<+\infty$. Этим завершается доказательство эквивалентности заключений об устойчивости нулевого решения уравнения (II.31), выводимых из линейной и нелинейной теорий.
Замечания. Доказательство теоремы об условной устойчивости в $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}$ соответствует доказательству классической теоремы Ляпунова для систем в $\mathbb{R}^{n}$ (см., например, Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: ИЛ, 1958, гл. 3).
