Необходимо особо отметить, что здесь и далее $\sigma(\mu)$ представляет собой собственное значение оператора $J(\mu)$ с наибольшей вещественной частью. Тогда в критической точке не существует собственных значений оператора $J_{0}$ с положительными вещественными частями. Если $\eta(\mu)
eq 0$, то всегда существуют по крайней мере два семейства собственных значений $\sigma(\mu)+(2 \pi k i / T)$ и $\bar{\sigma}(\mu)-(2 \pi k i / T)$, где $k$-любое число из $Z$, имеющих наибольшие вещественные части, и если $i \omega_{0}$ єсть собственное значение оператора $J_{0}$, то таковым является и $-i \omega_{0}$.

Теперь мы сформулируем основные предположения о спектре при исследовании $T$-периодических решений. В сущности они представляют собой те же самые предположения, которые были введены при анализе бифуркации в двойной точке и бифуркации Хопфа. Эти предположения выражаются характером собственных значений в критической точке. Поскольку мы рассматриваем только такие задачи, в которых величины изменяются непрерывно по отношению к $\mu$, а собственные значения предполагаются изолированными, то утверждения, имеющие место для собственных значений при $\mu=0$, остаются справедливыми также в малой (возможно большой) окрестности $\mu=0$. Сначала сформулируем предположения о спектре оператора $J_{0}$ :
(I) $i \omega_{0}$-изолированное, алгебраически простое собственное значение оператора $J_{0}$.
(II) $\pm i\left(\omega_{0}+(2 \pi k / T)\right), k \in \mathbb{Z}$ суть только те собственные значения оператора $J_{0}$, которые лежат на мнимой оси $\sigma$-плоскости. (Если $\zeta$ есть $T$-периодический собственный вектор оператора $J_{0}, i \omega_{0} \xi=J_{0} \zeta$, то $e^{-2 \pi i k t / T} \zeta(t)=\hat{\xi}(t)=\hat{\xi}(t+T)$ является также $T$-периодическим собственным вектором $J_{0}, J_{0} \hat{\xi}=i\left(\omega_{0}+(2 \pi k / T)\right) \hat{\xi}$.) Все другие собственные значения оператора $J_{0}$ лежат в левой части $\sigma$-плоскости.
(II) Выполняется условие (IX.20).
Три только что указанные предположения можно также сформулировать и по отношению к собственным значениям $\lambda_{0}$ (множителям) оператора монодромии $\boldsymbol{\Phi}(T, 0)$.
(I) $\lambda_{0}$-изолированное, алгебраически простое собственное значение $\boldsymbol{\Phi}(T, 0)$.
(II) $\lambda_{0}$ и $\bar{\lambda}_{0}$ суть только те собственные значения $\boldsymbol{\Phi}(T, 0)$, которые лежат на единичной окружности на $\lambda$-плоскости. Все другие собственные значения $\Phi(T, 0)$ лежат внутри единичного круга.
(III) Выполняется условие (IX.20), так что $|\lambda|_{\mu}>0$.

Для того чтобы сделать $\lambda_{0}=e^{i \omega_{0} T}$ однозначной функцией $\omega_{0}$, можно, не теряя общности, потребовать, чтобы
\[
0 \leqslant \omega_{0}<\frac{2 \pi}{T} .
\]