Говорят, что решения $(\mu ,\epsilon )$ уравнения $F(\mu ,\epsilon )=0$ имеют двойную точку бифуркации в $({\mu }_0,{\epsilon }_0)$, если две кривые с различными касательными проходят через $({\mu }_0,{\epsilon }_0)$. Предположим, что $D>0$, и для нахождения кривых применим теорему о неявной функции. Рассмотрим случай (A), указанный в последнем абзаце § II.3, и определим функцию $v(\epsilon )$, удовлетворяющую уравнению $\mu -{\mu }_0=v(\epsilon )(\epsilon -{\epsilon }_0)$ и такую, что
$$v_0\stackrel{\text{ def }}{=}v\left({\epsilon }_0\right)={\mu }_e\left({\epsilon }_0\right),$$

где ${\mu }_{\epsilon }\left({\epsilon }_0\right)$ имеет одно из двух значений ${\mu }_{\epsilon }^{(1)},{\mu }_{\epsilon }^{(2)}$, даваемых формулой (II.8) и представляющих собой решение характеристического квадратного уравнения. Определим
$$\begin{array}{l}G(v,\epsilon )\stackrel{\text{ def }}{=}\frac{2F(\mu ,\epsilon )}{{(\epsilon -{\epsilon }_0)}^2}=\\ =\\ +\frac{1}{3}\{F_{\epsilon \mu }{v}^2+2F_{\epsilon \mu }v+F_{\epsilon \epsilon }+\end{array}$$

Мы определили $G$ так, чтобы
$$G(v_0,{\epsilon }_0)=F_{\mu \mu }{v}_0^2+2F_{\epsilon \mu }{v}_0+F_{\epsilon \epsilon }=0$$

для обоих значений $v_0$. Более того, дифференцирование (I1.12) с использованием (II.8) показывает, что
$$G_v(v_0,{\epsilon }_0)=2({\mu }_{\epsilon }\left({\epsilon }_0\right)F_{\mu \mu }+F_{\epsilon \mu })=\pm 2\sqrt{D}\mathrm{sgn}{F}_{\mu \mu }eq0.$$

Таким образом, теоремой о неявной функции гарантируется существование двух функций $v^{(1)}(\epsilon )$ и $v^{(2)}(\epsilon )$, удовлетворяющих условиям $v^{(1)}\left({\epsilon }_0\right)={\mu }_{\epsilon }^{(1)}\left({\epsilon }_0\right)$ и $v^{(2)}\left({\epsilon }_0\right)={\mu }_{\epsilon }^{(2)}\left({\epsilon }_0\right)$.

Мы оставляем читателю в качестве упражнения строгое доказательство существования бифуркации в случае (Б) с использованием теоремы о неявной функции.