Говорят, что решения $(\mu, \varepsilon)$ уравнения $F(\mu, \varepsilon)=0$ имеют двойную точку бифуркации в $\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$, если две кривые с различными касательными проходят через $\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$. Предположим, что $D>0$, и для нахождения кривых применим теорему о неявной функции. Рассмотрим случай (A), указанный в последнем абзаце § II.3, и определим функцию $v(\varepsilon)$, удовлетворяющую уравнению $\mu-\mu_{0}=v(\varepsilon)\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)$ и такую, что
\[
v_{0} \stackrel{\text { def }}{=} v\left(\varepsilon_{0}\right)=\mu_{e}\left(\varepsilon_{0}\right),
\]

где $\mu_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)$ имеет одно из двух значений $\mu_{\varepsilon}^{(1)}, \mu_{\varepsilon}^{(2)}$, даваемых формулой (II.8) и представляющих собой решение характеристического квадратного уравнения. Определим
\[
\begin{array}{l}
G(v, \varepsilon) \stackrel{\text { def }}{=} \frac{2 F(\mu, \varepsilon)}{\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)^{2}}= \\
\quad= \\
+\frac{1}{3}\left\{F_{\varepsilon \mu} v^{2}+2 F_{\varepsilon \mu} v+F_{\varepsilon \varepsilon}+\right. \\
\end{array}
\]

Мы определили $G$ так, чтобы
\[
G\left(v_{0}, \varepsilon_{0}\right)=F_{\mu \mu} v_{0}^{2}+2 F_{\varepsilon \mu} v_{0}+F_{\varepsilon \varepsilon}=0
\]

для обоих значений $v_{0}$. Более того, дифференцирование (I1.12) с использованием (II.8) показывает, что
\[
G_{v}\left(v_{0}, \varepsilon_{0}\right)=2\left(\mu_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right) F_{\mu \mu}+F_{\varepsilon \mu}\right)= \pm 2 \sqrt{D} \operatorname{sgn} F_{\mu \mu}
eq 0 .
\]

Таким образом, теоремой о неявной функции гарантируется существование двух функций $v^{(1)}(\varepsilon)$ и $v^{(2)}(\varepsilon)$, удовлетворяющих условиям $v^{(1)}\left(\varepsilon_{0}\right)=\mu_{\varepsilon}^{(1)}\left(\varepsilon_{0}\right)$ и $v^{(2)}\left(\varepsilon_{0}\right)=\mu_{\varepsilon}^{(2)}\left(\varepsilon_{0}\right)$.

Мы оставляем читателю в качестве упражнения строгое доказательство существования бифуркации в случае (Б) с использованием теоремы о неявной функции.