Рассмотрим следующую систему двух уравнений!
\[
\begin{array}{l}
f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \varepsilon\right)=0, \\
f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \varepsilon\right)=0,
\end{array}
\]

где $f_{1}$ и $f_{2}$ – непрерывно дифференцируемы в открытом «кубе»: $A_{1}<$ $<x_{1}<B_{1}, A_{2}<x_{2}<B_{2}, \varepsilon_{1}<\varepsilon<\varepsilon_{2}$. Пусть
\[
f_{1}\left(x_{10}, x_{20}, \varepsilon_{0}\right)=f_{2}\left(x_{10}, x_{20}, \varepsilon_{0}\right)=0,
\]
${ }^{1}$ ) Подробные исследования этой бифуркации были проведены A. M. Ляпуновым и А. А. Андроновым (см. предисловие редакторов перевода к русскому изданию книги Марсдена и Мак-Кракена, упомянутой в литературе к гл. 1).

$A_{1}<x_{10}<B_{1}, A_{2}<x_{20}<B_{2}$, в $_{1}<\varepsilon_{0}<\varepsilon_{2}$ и предположим, что матрица Якоби
\[
y=\left[\begin{array}{ll}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}
\end{array}\right]
\]

вычисленная в точке ( $\left.x_{10}, x_{20}, \varepsilon_{0}\right)$, имеет отличный от нуля определитель: $\operatorname{det} y
eq 0$. Тогда существуют $\alpha>0$ и $\beta>0$, такие, что имеют место следующие утверждения:
(1) Существует единственная пара функций $x_{1}$ и $x_{2}$, определенных для $\varepsilon_{0}-\alpha<\varepsilon<\varepsilon_{0}+\alpha$ и удовлетворяющих условиям $x_{i 0}-\beta<$ $<x_{i}(\varepsilon)<x_{i 0}+\beta, i=1,2$, и $f_{i}\left(x_{1}(\varepsilon), x_{2}(\varepsilon), \varepsilon\right)=0, i=1,2$.
(2) Кроме того, $x_{1}$ и $x_{2}$ непрерывно дифференцируемы для $\varepsilon_{0}-$ $-\alpha<\varepsilon<\varepsilon_{0}+\alpha$ и
\[
\left[\begin{array}{l}
x_{1}^{\prime}(\varepsilon) \\
x_{2}^{\prime}(\varepsilon)
\end{array}\right]=-\mathcal{Y}^{-1}\left(x_{1}(\varepsilon), x_{2}(\varepsilon), \varepsilon\right)\left[\begin{array}{l}
\frac{\partial f_{1}\left(x_{1}(\varepsilon), x_{2}(\varepsilon), \varepsilon\right)}{\partial \varepsilon} \\
\frac{\partial f_{2}\left(x_{1}(\varepsilon), x_{2}(\varepsilon), \varepsilon\right)}{\partial \varepsilon}
\end{array}\right] .
\]

Если $f_{1}$ и $f_{2}$-аналитические функции всех своих переменных, то $x_{1}(\varepsilon)$ и $x_{2}(\varepsilon)$ аналитичны вблизи $\varepsilon=\varepsilon_{0}$.

Замечание. Этой теоремы достаточно для наших целей. Ее доказательство при более общих предположениях можно найти в любом курсе по математическому анализу.
$\mathrm{K}$ условию $\operatorname{det} y
eq 0$ мы также приходим при использовании правила Крамера для решения системы уравнений относительно старших производных от $x_{1}(\varepsilon)$ и $x_{2}(\varepsilon)$. Если все производные от $f_{l}\left(x_{1}, x_{2}, \varepsilon\right)$ до порядка $n$ известны в точке $\left(x_{10}, x_{20}, \varepsilon_{0}\right)$, а также известны $\partial^{k} x_{j}\left(\varepsilon_{0}\right) / \partial \varepsilon^{k}, j=1,2, k=1, \ldots, n-1$, то $n$-я производная от $f\left(x_{1}(\varepsilon), x_{2}(\varepsilon), \varepsilon\right)$, равная нулю, имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial^{n} x_{1}}{\partial \varepsilon^{n}}+\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} \frac{\partial^{n} x_{2}}{\partial x^{n}}+g_{1}=0, \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} \frac{\partial^{n} x_{1}}{\partial \varepsilon^{n}}+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \frac{\partial^{n} x_{2}}{\partial \varepsilon^{n}}+g_{2}=0,
\end{array}
\]

где $g_{1}$ и $g_{2}$ содержат только известные производные низшего порядка. Согласно правилу Крамера, эти уравнения можно разрешить, если $\operatorname{det} y
eq 0$.

Функции $x_{1}(\varepsilon)$ и $x_{2}(\varepsilon)$ можно построить в виде степенных рядов по $\varepsilon$ до порядка, обеспечиваемого условиями их дифференцируемости. В качестве упражнения читателю рекомендуется показать, что это построение можно выполнить, если $\operatorname{det} z eq 0$.

Упражнения

V.I (см. § V.5). Рассмотрим систему
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{1}}{d t}=u_{2}+\mu\left(a_{v}^{\prime} u_{1}+b_{0}^{\prime} u_{2}\right)+\alpha_{10} u_{1}^{2}+2 \beta_{10} u_{1} u_{2}+\gamma_{10} u_{2}^{2}, \\
\frac{d u_{2}}{d t}=\mu d_{0}^{\prime} u_{2}+\alpha_{20} u_{1}^{2}+2 \beta_{20} u_{1} u_{2}+\gamma_{10} u_{2},
\end{array}
\]

где $\alpha_{20}
eq 0$.
(1) Построить стационарное бифуркационное решение $\left(u_{1}(\mu), u_{2}(\mu)\right)$ в форме
\[
u_{i}(\mu)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{i n^{1}}{ }^{n}, \quad i=1,2 .
\]

Отметим, что мы имеем случай, в котором нуль-двой:ое собственное значение линеаризованного сператора при $\mu=0$ с индексом 2 и $c_{0}^{\prime}=0$, как в $\S$ V.5.

Указанце. Сначала покажите, что $u_{21}=u_{11}=$ $=u_{22}=0, u_{12}=a_{0}^{\prime} d_{0}^{\prime} / \alpha_{20}$ и т. д.
(2) Пусть нулевое решение устойчиво при $\mu<0$ Рис. V.10. и строго. теряет устойчивость, когда $\mu$ при возрастании переходит через нуль (с $a_{0}^{\prime}>0$ и $d_{0}^{\prime}>0$ ). Покажите тогда, что бифуркационное решение неустойчиво при $\mu<0$ и при $\mu>0$, если $|\mu|$ мало (см. рнс. V.10).
V.2. Рассмотрим систему
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{1}}{d t}=\mu u_{1}+2 u_{1} u_{2}+u_{1}^{2}+O\left(|\mu|\|u\|^{2}+|\mu|^{2}\|u\|+\|u\|^{3}\right), \\
\frac{d u_{2}}{d t}=\mu u_{2}-u_{1} u_{2}+u_{2}^{2}+O\left(|\mu|\|u\|^{2}+|\mu|^{2}\|u\|+\|u\|^{3}\right),
\end{array}
\]

описываемую теорией, пострюенной в § V. 7 и § V.8.
(I) Покажите, что если искать бифуркационные решения в форме
\[
u_{1}=\varepsilon, u_{2}=\varepsilon y(\varepsilon), \mu=\varepsilon \lambda(\varepsilon),
\]

то получатся только два стационарных решения, ответвляющихся от нулевого решения:
(1) $u_{1}=\varepsilon, \quad u_{2}=O\left(\varepsilon^{2}\right)$,
\[
\mu=-\varepsilon+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]
(2) $u_{1}=\varepsilon, \quad u_{2}=-2 \varepsilon+O\left(\varepsilon^{2}\right)$, $\mu=3 \varepsilon+O\left(\varepsilon^{2}\right)$.
(II) Покажите, что если искать бифуркационные решения в форме
\[
u_{2}=\varepsilon, \quad u_{1}=\varepsilon x(\varepsilon), \quad \mu=\varepsilon \lambda(\varepsilon),
\]

то также получатся два бифуркационных решения. Первое совпадает с (2). Второе имеет другой вид: (3) $u_{1}=O\left(\varepsilon^{2}\right), u_{2}=\varepsilon, \mu=-\varepsilon+O\left(\varepsilon^{2}\right)$.
(III) Покажите, что если нскать бифуркационные решения в форме
\[
u_{1}=u_{1}(\mu), \quad u_{2}=u_{2}(\mu),
\]

то получатся одновременно три решения (1), (2), (3).

Замечание. Здесь имеют место соотношения $d_{0}^{\prime} \gamma_{10}-b_{0}^{\prime} \gamma_{20}=0$ и $c_{0}^{\prime} \alpha_{10}-a_{0}^{\prime} \alpha_{20}=0$, из которых следует, что в случаях (I) . (II) «кубическое уравнение» (V.26) приводится к квадратному уравнению.
V.3. Рассмотрим систему
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{1}}{d t}=\mu u_{1}+\mu u_{2}+u_{1}^{2}+u_{1} u_{2}+u_{2}^{8}, \\
\frac{d u_{2}}{d t}=\mu u_{1}-\mu u_{2}+2 u_{1}^{2}-2 u_{1} u_{2},
\end{array}
\]

описываемую теорией, построенной в § V. 7 и § V.8.
(I) Покажите, используя метод $\S \mathrm{V} .8$, что получатся только два ненулевых бифуркационных решения: (1) $u_{1}=-\mu+O\left(\mu^{2}\right), \quad u_{2}=-\mu+O\left(\mu^{2}\right), \quad$ (2) $u_{1}=$ $=-\frac{1}{2} \mu+O\left(\mu^{2}\right), u_{2}=\frac{1}{2} \mu+O\left(\mu^{2}\right)$.
(II) Покажите, что метод § V. 7 дает третье бифуркационное решение вида (3): $u_{2}=\varepsilon, u_{1}=\varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right), \mu=-2 \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right)$.

Замечание. Это решение обусловлено тем обстоятельством, что два конических сечения
\[
\begin{aligned}
u_{1}+u_{2}+u_{1}^{2}+u_{1} u_{2} & =0, \\
u_{1}-u_{2}+2 u_{1}^{2}-2 u_{1} u_{2} & =0
\end{aligned}
\]

имеют общую асимптоту. Эта общая асимптота отвечает третьему решению, построенному в (II) методом $\S$ V. 7 при $\lambda_{0}=0$.
V.4. Рассмол рим систему $\left(S_{ \pm}\right)$
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{1}}{d t}=\mu u_{1}-\mu u_{2}-u_{1}^{2}+u_{2}^{2} \pm \mu u_{1} u_{2}^{2}, \\
\frac{d u_{2}}{d t}=-\mu u_{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2},
\end{array}
\]

которая описывается теорией § V. 7 и § V.8. Построить стационарные решения
(1) $u_{1}=u_{2}=0$,
(2) $u_{1}=0, u_{2}=\mu$

и показать, что (3) не существует других решений системы $\left(S_{+}\right)$, а система ( $S_{-}$) имеет два других решения.
V.5. Рассмотрим систему
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{1}}{d t}=\mu u_{2}+u_{1}\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right), \\
\frac{d u_{2}}{d t}=-\mu u_{1}+u_{2}\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right),
\end{array}
\]

которая описывается теорией § V. 7 и § V.8. Покажите, что бифуркация отсутстецет.

Замечание. В этом случае «коничєские сечения» вырождэются и метод неприменим.
V.6. (Вторичная бифуркация, получземая при расшеплении двойного полупростого собственного значения, сохраняющего симметрию.) Рассмотрим систему
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{1}}{d t}=\mu u_{1}-u_{1}^{2}+u_{2}^{2}, \\
\frac{d u_{2}}{d t}=\mu u_{2}-c l_{1} u_{2}, \quad c
eq 0,1,
\end{array}
\]

которая инвариантна относительно прєобразования $u_{2} \longrightarrow-u_{2}$. Эта система описывается теорией § V.8.
(1) Покажите, что два конических сечения представляют собой гиперболы, пересекающиеся в двух точках (включая ( 0,0 )), если $c>1$, или в четырех гочках, если $c<1$. Покажите, что направления их асимптот чередуются (как в примерах V.1-3 в § V.9). Покажите, что стационарные бифуркационные решения имеют вид
\[
\left(u_{1}, u_{2}\right)=(\mu, 0),\left(\frac{\mu}{c}, \frac{\mu}{c} \sqrt{1-c}\right),\left(\frac{\mu}{c},-\frac{\mu}{c} \sqrt{1-c}\right) .
\]
(2) Исследуйте устойчивость нулевого решения и бифуркационных решений $(c
eq 0,1)$. При $c>1$ покажите, что начало и бифуркационные решения представляют собой узлы с разным характером устойчивости. При $c<1$ покажите, что начало является узлом (устойчивым при $\mu<0$ и неустойчивым при $\mu>0$ ); $(\mu, 0)$ – седло, а $(\mu / c, \pm(\mu / c) \sqrt{1-c})$ гредставляют собой седловые точки, если $c<0$, и узлы, если $0<c<1$ (устойчивые при $\mu>0$ и неустойчивые при $\mu<0$ ).
(3) Рассмотрим теперь систему «с дефектом»
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{1}}{d t}=\mu u_{1}-u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\alpha, \\
\frac{d u_{2}}{d t}=\mu u_{2}-c u_{1} u_{2}+\beta u_{2},
\end{array}
\]

которая получается в результате возмущения системы (1) при добавлении возмущений, сохраняющих инвариантность относительно преобразования $u_{2} \longrightarrow-u_{2}$. Задача теперь заключается в том, чтобы
Рис. V. 11.
теперь заключается в том, чтобы фуркация, описываемая условиями показать, как при возмущении происходит бифуркация, описываемая условиями раздела (1).

Покажите, что стационарные решения (2) даются в $\left(u_{1}, u_{2}, \mu\right)$-пространстве двумя коническими сечениями, определяемыми уравнениями $u_{2}=0, \mu u_{1}-u_{1}^{2}+\alpha=0$ (гипербола с центром в 0 , лежащая в плоскости $u_{2}=0$ ) и
\[
\mu=c u_{1}-\beta,(c-1) u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-\beta u_{i}+\alpha=0,
\]

что определяет эллипс при $c>1$ и гиперболу при $c<1$, лежащие в плоскости, параллельной оси $u_{2}$ (см. рис. V.11). Заметим, что если $\mu^{2}>-4 \alpha$ и
\[
\frac{1}{c^{2}}(\mu+\beta)^{2}-\frac{\mu}{c}(\mu+\beta)-\alpha>0,
\]

то существуют четыре стационарных решения ( $u_{1}, u_{2}$ ) уравнений (2). Покажите, что если $\beta^{2}+4 \alpha(1-c)>0$, то существуют две бифуркации («вторичные бифуркации»), а если $\beta^{2}+4 \alpha(1-c)<0$, то существуют 3 или 4 изолированные ветви в зависимости от того, будет ли $c>1$ кли $c<1$, и здесь отсутствует бифуркация.

Замечание. Вообще говоря, дефект, вносимый в систему, имеющую бифуркацию в двойном собственном значении, разрушает бифуркацию, как и в одномерных задачах. Параметром, который описывает вносимый в систему дефект, является $\alpha$. Если $\alpha=0$, то мы получаем вторичную бифуркацию для всех $\beta
eq 0$, где $\beta$ есть параметр, который расщепляет двойное собственное значение $\sigma=0$ при $\mu=0$ спектральной задачи, связанной с анализом устойчивости решения $\left(u_{1}, u_{2}\right)=0$, на два простых собственных значения $\sigma=\mu$ и $\sigma=\mu+\beta$. Мы получим вторичную бифуркацию, если расщепим двойное собственное значение, зависящее от $\beta$, и сохраним симметрию $u_{2} \rightarrow-u_{2}$ систеиы (2). Первыми, кто заметил, что расщепление кратных собственных значений может приводить к вторичной бифуркации, были Л. Бауэр, Г. Келлер и Э. Райсс (Multiple eigenvalues lead to secondary bifurcation, SIAM Review, 17, 101, 1975). Первыми, кто указал на важность

Рис. V.12. Фазовый портрет решений снстемы (1)

симметрии при образовании вторичной бифуркации при сообщении расщепляющих возмущений, были M. Голубицкий и Д. Шэффер (Imperfect bifurcation in the presence of symmetry, Com. Math. Phys., 67, 205-232, 1979) и M. Шерер (Secondary bifurcation near a double eigenvalue, SIAM J. Math. Anal., 11, No. 2, $365-389,1980$ ).
V.7. (Периодические орбиты, ответвляющиеся от начала в двойном собственном значении с индексом 2.) Рассмотрим систему
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{1}}{d t}=u_{2}, \\
\frac{d u_{2}}{d t}=\mu c_{0}^{\prime} u_{i}+\alpha_{20} u_{1}^{2}, c_{0}^{\prime}>0,
\end{array}
\]

принадлежащую к классу систем, исследованных в § V.5, V.6.
(1) Вычислить и исследовать устойчивость стационарного бифуркационного решения (V.2). (Если $\mu<0$, то $\left(u_{1}, u_{2}\right)=(0,0)$ – центр, тогда как (V.2) – седло; если $\mu>0$, то ситуация обратная.)
(2) Проинтегрируйте нелинейное уравнение второго порядка, эквивалентное системе (1), и покажите, что для каждого $\mu$ существует бесконечное число периодических решений системы (1). (См. рис. V.12.)

Замечание. Система (1) имеет вид $\dot{u}_{t}=f_{l}\left(u_{1}, u_{2}, \mu\right), \quad l=1,2$, и обладает специальным свойством $\left(\partial f_{1} / \partial u_{1}\right)+\left(\partial f_{2} / \partial u_{2}\right)=0$. Благодаря этому свойству система (1) является консервативной, а не диссипативной. В консервативных системах решения не могут обладать асимптотической устойчивостью, и эти системы могут иметь другие специальные свойства. Такие системы не будут рассматриваться в этой книге.
V.8. Предположим, что квадратичные члены не содержатся в $f_{1}\left(\mu, u_{1}, u_{2}\right)=0$ и $f_{2}\left(\mu, u_{1}, u_{2}\right)=0$, а кубические qлены содержатся. Покажите, что, вообще говоря, имеются 0,2 или 4 бифуркационные ветви.

Указание. Вспомните, что кривые третьего порядка пересекаются в $1,3,5,7$ или 9 точках, и воспользуйтесь симметрией.