Обращаем внимание читателя на то обстоятельство, что члены $3\left\langle\mathbf{f}_{u a}\left(0\left|\mathbf{x}_{1}\right| \mathbf{u}_{2}\right), \quad \mathbf{y}_{1}\right\rangle$ и $3 \mu_{1}\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{2}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle$ в (VI.20), для $\mathbb{R}^{1}$ как проекции не имеют прототипов в (VI.22) для $\mathbb{R}^{1}$. Добавочные члены обусловлены тем обстоятельством, что в $\mathbb{R}^{2}$ имеется пассивная часть решения, которая влияет на члены высокого порядка посредством нелинейной связи и имеет нулевую проекцию в $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}$.
Добавочная малая часть дается членом $\mathrm{w}$ в разложении
\[
\mathbf{u}=a(t) \mathbf{x}_{1}+\mathbf{w}, \quad \mathbf{f}_{n}\left(\mu \mid \mathbf{x}_{1}(\mu)\right)=\xi_{1}(\mu) \mathbf{x}_{1}(\mu)
\]

на составляющую $a(t) \mathbf{x}_{1}$, где $a(t)=\left\langle\mathbf{u}, \mathbf{y}_{1}\right\rangle$, и дополнительную часть $\left\langle\mathbf{w}, \mathbf{y}_{1}\right\rangle=0$ с нулевой проекцией. Представляет интерес вывести уравнения для $a(t)$ и w. Запишем (VI.1) в виде
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{u})+\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}),
\]

где
\[
\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u})=\frac{1}{2} \mathbf{f}_{n u}(\mu|\mathbf{u}| \mathbf{u})+O\left(\|\mathbf{u}\|^{3}\right) .
\]

Подставляя (VI.30) в (VI.31), находим
\[
\left(\dot{a}-\xi_{1}(\mu) a\right) \mathbf{x}_{1}+\frac{d \mathbf{w}}{d t}=\mathbf{f}_{n}(\mu \mid \mathbf{w})+\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}) .
\]

Так как
\[
\left\langle\frac{d \mathbf{w}}{d t}, \mathbf{y}_{1}\right\rangle=\frac{d}{d t}\left\langle\mathbf{w}, \mathbf{y}_{1}\right\rangle=0
\]

и
\[
\left\langle\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{w}), \mathbf{y}_{1}\right\rangle=\left\langle\mathbf{w}, \mathbf{f}_{u}^{*}\left(\mu \mid \mathbf{y}_{1}\right)\right\rangle=\xi_{1}\left\langle\mathbf{w}, \mathbf{y}_{1}\right\rangle=0,
\]

то находим, что проектируемая часть решения удовлетворяет уравнению
\[
\dot{a}-\xi_{i}(\mu) a=\left\langle\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}), \mathbf{y}_{1}\right\rangle,
\]

тогда как дополнительная часть с нулевой проекцией на $\mathbf{x}_{1}$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d \mathbf{w}}{d t}=\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{w})+\left\{\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u})-\left\langle\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}), \mathbf{y}_{\mathbf{1}}>\mathbf{x}_{1}\right\} .\right.
\]

Уравнение (V1.34) показывает, что если все собственные значения $\mathfrak{f}_{u}(\mu \mid \cdot)$, кроме $\xi_{1}(\mu)$, имеют отрицательные вещественные части (в $\mathbb{R}^{2}$ существует только одно такое собственное значение $\xi_{2}(\mu)<$ $<0$ ), то для достаточно больших $t$ имеем $\mathbf{w}=O\left(a^{2}\right)$, так как
\[
\begin{aligned}
\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u})= & a^{2} \mathbf{f}_{u u}\left(\mu\left|\mathbf{x}_{1}\right| \mathbf{x}_{1}\right)+2 a \mathbf{f}_{u u}\left(\mu\left|\mathbf{x}_{1}\right| \mathbf{w}\right)+ \\
& +\mathbf{f}_{u t u}(\mu|\mathbf{w}| \mathbf{w})+O\left(\|\mathbf{u}\|^{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Поэтому (VI.33) можно записать в виде
\[
\dot{a}-\xi_{1}(\mu) a=\alpha_{1}(\mu) a^{2}+O\left(a^{3}\right),
\]

где $\alpha_{1}(\mu)=\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(\mu\left|\mathbf{x}_{1}\right| \mathbf{x}_{1}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle$. В $R^{2}$ можно положить
\[
\mathbf{w}=b(t) \mathbf{x}_{2}, \mathbf{f}_{t}\left(\mu \mid\left(\mathbf{x}_{2}\right)=\xi_{2}(\mu) \mathbf{x}_{2}\right.
\]

и после проектирования результата на $\mathbf{y}_{2}$ получаем
\[
\dot{b}-\xi_{2}(\mu) b=\left\{\alpha_{2}(\mu) a^{2}+2 \beta_{2}(\mu) a b+\ddot{r}_{2}(\mu) b^{2}\right\}+O(|a|+|b|)^{3},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{2}(\mu)=\left\langle\mathbf{f}_{u t}\left(\mu\left|\mathbf{x}_{1}\right| \mathbf{x}_{1}\right), \mathbf{y}_{2}\right\rangle, \\
\beta_{2}(\mu)=\left\langle\mathbf{f}_{t u}\left(\mu\left|\mathbf{x}_{1}\right| \mathbf{x}_{2}\right), \mathbf{y}_{2}\right\rangle, \\
\gamma_{2}(\mu)=\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(\mu\left|\mathbf{x}_{2}\right| \mathbf{x}_{2}\right), \mathbf{y}_{2}\right\rangle .
\end{array}
\]

Амплитуда $b(t)$ составляющей $\mathbf{w}$ входит в (VI.35) только в
\[
O\left(a^{3}\right)=2 a b \beta_{1}(\mu)+b^{2} \gamma_{1}(\mu)+O\left(\|u\|^{3}\right),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\beta_{1}(\mu)=\left\langle\mathbf{f}_{u t}\left(\mu\left|\mathbf{x}_{1}\right| \mathbf{x}_{2}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle, \\
\gamma_{1}(\mu)=\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(\mu\left|\mathbf{x}_{2}\right| \mathbf{x}_{2}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle .
\end{array}
\]

Бифуркационные результаты § VI. 2 можно получить из (VI.35), (VI.36) и (VI.37). Например, можно найти бифуркационные решения в форме
\[
a=\varepsilon, \quad b=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n !} b_{n} \varepsilon^{n}, \quad \mu=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} \mu_{n} \varepsilon^{n} .
\]