Обращаем внимание читателя на то обстоятельство, что члены $3⟨{\mathbf{f}}_{ua}\left(0\left|{\mathbf{x}}_1\right|{\mathbf{u}}_2\right),{\mathbf{y}}_1⟩$ и $3{\mu }_1⟨{\mathbf{f}}_{u\mu }(0\mid {\mathbf{u}}_2),{\mathbf{y}}_1⟩$ в (VI.20), для ${\mathbb{R}}^1$ как проекции не имеют прототипов в (VI.22) для ${\mathbb{R}}^1$. Добавочные члены обусловлены тем обстоятельством, что в ${\mathbb{R}}^2$ имеется пассивная часть решения, которая влияет на члены высокого порядка посредством нелинейной связи и имеет нулевую проекцию в ${\mathbb{R}}^{\mathbf{1}}$.
Добавочная малая часть дается членом $\mathrm{w}$ в разложении
$$\mathbf{u}=a(t){\mathbf{x}}_1+\mathbf{w},{\mathbf{f}}_n(\mu \mid {\mathbf{x}}_1(\mu ))={\xi }_1(\mu ){\mathbf{x}}_1(\mu )$$

на составляющую $a(t){\mathbf{x}}_1$, где $a(t)=⟨\mathbf{u},{\mathbf{y}}_1⟩$, и дополнительную часть $⟨\mathbf{w},{\mathbf{y}}_1⟩=0$ с нулевой проекцией. Представляет интерес вывести уравнения для $a(t)$ и w. Запишем (VI.1) в виде
$$\frac{d\mathbf{u}}{dt}={\mathbf{f}}_u(\mu \mid \mathbf{u})+\mathbf{N}(\mu ,\mathbf{u}),$$

где
$$\mathbf{N}(\mu ,\mathbf{u})=\frac{1}{2}{\mathbf{f}}_{nu}(\mu |\mathbf{u}|\mathbf{u})+O(\Vert \mathbf{u}{\Vert }^3).$$

Подставляя (VI.30) в (VI.31), находим
$$(\dot{a}-{\xi }_1(\mu )a){\mathbf{x}}_1+\frac{d\mathbf{w}}{dt}={\mathbf{f}}_n(\mu \mid \mathbf{w})+\mathbf{N}(\mu ,\mathbf{u}).$$

Так как
$$⟨\frac{d\mathbf{w}}{dt},{\mathbf{y}}_1⟩=\frac{d}{dt}⟨\mathbf{w},{\mathbf{y}}_1⟩=0$$

и
$$⟨{\mathbf{f}}_u(\mu \mid \mathbf{w}),{\mathbf{y}}_1⟩=⟨\mathbf{w},{\mathbf{f}}_u^{\ast }(\mu \mid {\mathbf{y}}_1)⟩={\xi }_1⟨\mathbf{w},{\mathbf{y}}_1⟩=0,$$

то находим, что проектируемая часть решения удовлетворяет уравнению
$$\dot{a}-{\xi }_i(\mu )a=⟨\mathbf{N}(\mu ,\mathbf{u}),{\mathbf{y}}_1⟩,$$

тогда как дополнительная часть с нулевой проекцией на ${\mathbf{x}}_1$ удовлетворяет уравнению
$$\frac{d\mathbf{w}}{dt}={\mathbf{f}}_u(\mu \mid \mathbf{w})+\{\mathbf{N}(\mu ,\mathbf{u})-⟨\mathbf{N}(\mu ,\mathbf{u}),{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}>{\mathbf{x}}_1\}.$$

Уравнение (V1.34) показывает, что если все собственные значения ${\mathfrak{f}}_u(\mu \mid \cdot )$, кроме ${\xi }_1(\mu )$, имеют отрицательные вещественные части (в ${\mathbb{R}}^2$ существует только одно такое собственное значение ${\xi }_2(\mu )<$ $<0$ ), то для достаточно больших $t$ имеем $\mathbf{w}=O\left(a^2\right)$, так как
$$\begin{array}{rl}\mathbf{N}(\mu ,\mathbf{u})=& a^2{\mathbf{f}}_{uu}\left(\mu \left|{\mathbf{x}}_1\right|{\mathbf{x}}_1\right)+2a{\mathbf{f}}_{uu}\left(\mu \left|{\mathbf{x}}_1\right|\mathbf{w}\right)+\\ & +{\mathbf{f}}_{utu}(\mu |\mathbf{w}|\mathbf{w})+O(\Vert \mathbf{u}{\Vert }^3).\end{array}$$

Поэтому (VI.33) можно записать в виде
$$\dot{a}-{\xi }_1(\mu )a={\alpha }_1(\mu )a^2+O\left(a^3\right),$$

где ${\alpha }_1(\mu )=⟨{\mathbf{f}}_{uu}\left(\mu \left|{\mathbf{x}}_1\right|{\mathbf{x}}_1\right),{\mathbf{y}}_1⟩$. В $R^2$ можно положить
$$\mathbf{w}=b(t){\mathbf{x}}_2,{\mathbf{f}}_t(\mu \mid \left({\mathbf{x}}_2\right)={\xi }_2(\mu ){\mathbf{x}}_2$$

и после проектирования результата на ${\mathbf{y}}_2$ получаем
$$\dot{b}-{\xi }_2(\mu )b=\{{\alpha }_2(\mu )a^2+2{\beta }_2(\mu )ab+{\ddot{r}}_2(\mu )b^2\}+O(|a|+|b|{)}^3,$$

где
$$\begin{array}{l}{\alpha }_2(\mu )=⟨{\mathbf{f}}_{ut}\left(\mu \left|{\mathbf{x}}_1\right|{\mathbf{x}}_1\right),{\mathbf{y}}_2⟩,\\ {\beta }_2(\mu )=⟨{\mathbf{f}}_{tu}\left(\mu \left|{\mathbf{x}}_1\right|{\mathbf{x}}_2\right),{\mathbf{y}}_2⟩,\\ {\gamma }_2(\mu )=⟨{\mathbf{f}}_{uu}\left(\mu \left|{\mathbf{x}}_2\right|{\mathbf{x}}_2\right),{\mathbf{y}}_2⟩.\end{array}$$

Амплитуда $b(t)$ составляющей $\mathbf{w}$ входит в (VI.35) только в
$$O\left(a^3\right)=2ab{\beta }_1(\mu )+b^2{\gamma }_1(\mu )+O(\Vert u{\Vert }^3),$$

где
$$\begin{array}{l}{\beta }_1(\mu )=⟨{\mathbf{f}}_{ut}\left(\mu \left|{\mathbf{x}}_1\right|{\mathbf{x}}_2\right),{\mathbf{y}}_1⟩,\\ {\gamma }_1(\mu )=⟨{\mathbf{f}}_{uu}\left(\mu \left|{\mathbf{x}}_2\right|{\mathbf{x}}_2\right),{\mathbf{y}}_1⟩.\end{array}$$

Бифуркационные результаты § VI. 2 можно получить из (VI.35), (VI.36) и (VI.37). Например, можно найти бифуркационные решения в форме
$$a=\epsilon ,b=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{b}_n{\epsilon }^n,\mu =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{\mu }_n{\epsilon }^n.$$