Можно сказать, что захват частоты происходит в динамической системе, когда колебания с двумя независимыми частотами влияют одно на другое таким образом, что происходит синхронизация двух колебаний в одно периодическое колебание с общим бо́льшим периодом (субгармоническое колебаниє). Это явление носит общий характер и очень сложно.

Явление захвата фазы на торе $T^{2}$ происходит, когда все траектории на торе захватываются некоторой периодической траекторией при возрастании $\mu$. Чтобы понять явление захвата, полезно ввести в рассмотрение отображение Пуанкаре (первое возвращающее отображение); оно определяется как монотонная функция $f(\cdot)$ :
\[
\theta \mapsto f(\theta), \quad 0 \leqslant \theta<2 \pi,
\]

где $\theta$ и $f(\theta)$ суть вещественные числа, $f$ такая, что
\[
f(\theta+2 \pi)=f(\theta)+2 \pi,
\]

и $f$ отображает начальную точку траектории, принадлежащую кривой $\rho=\varepsilon R(\theta)$ на торе, в точку пересечения траектории с этой кривой после истечения промежутка времени $T$, при этом кривая параметризована значениями $\theta$. Поэтому можно предположить, что траектория начинается в точке замкнутой кривой $\rho=\varepsilon R(\theta, \varepsilon)$ при $\theta=\theta_{0}$. После первого оборота траекторкя пересекает замкнутую кривую при $\theta=\theta_{1}$, т. е. $\theta_{1}=f\left(\theta_{0}\right)$. Траектория снова наматывается на тор и по истечении промежутка времени $T$ пересекает замкнутую кривую при $\theta=\theta_{2}=f\left(\theta_{1}\right)=f^{2}\left(\theta_{0}\right)$ и гак далее. Изменение угла между последовательными точками пересечения дается функцией $f(\theta)$. Поэтому получаем последовательность $\theta_{0}, f\left(\theta_{0}\right)=\theta_{1}, f^{2}\left(\theta_{0}\right)=f\left(\theta_{1}\right)=$ $=\theta_{2}, \ldots, f^{n}\left(\theta_{0}\right)=f^{n-1}\left(\theta_{1}\right)=\ldots=f\left(\theta_{n-1}\right)=\theta_{n}$. Пусть $\theta=\theta_{0}+\omega t$. Тогда $f\left(\theta_{0}\right)=\theta_{0}+\omega T=\theta_{1}, \quad f^{2}\left(\theta_{0}\right)=\theta_{0}+2 \omega T, \ldots, f^{n}\left(\theta_{0}\right)=\theta_{0}+n \omega T$. Отметим, что если $\omega=2 \pi m /(n T)$, то траектория на торе будет $n T$-периодической.
Введем теперь число вращения $\hat{\rho}(f)$ отображения $f$ :
\[
\hat{\rho}(f)=\lim _{v \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi
u}\left[f^{v}(\theta)-\theta\right] .
\]

Пуанкаре, который впервые ввел в рассмотрение это число, доказал, что этот предел существует и не зависит от $\theta$. Если число вращения $\hat{\rho}(f)$ представляет собой иррациональное число $r$, то можно показать, что решения на торе являются квазипериодическими и что замена переменной $\theta$ приводит к отсбражению $f(\theta)=\theta+\omega T, \omega=2 \pi r / T$, $0<r<1$, представляющему собой именно вращение на замкнутой кривой (Данжуа, Боль). Так как $f^{v}(\theta)-\theta=2 \pi v r$, то получаем $\hat{\rho}(f)=r$. $\mathrm{B}$ иррациональном случае каждая итерация отображения дает новую точку на кривой $\rho=\varepsilon R(\theta, \varepsilon)$ и ни одна из этих точек не повторяется, так что точки пересечения любой траектории образуют плотное множество на кривой $\rho=\varepsilon R(\theta, \varepsilon)$ в поперечном сечении тора. Поэтому любая траектория на торе со временем полностью заполняет тор.

Для квазипериодических решений на торе число вращения $\hat{\rho}=r=$ $=\omega /(2 \pi / T)$ представляет собой отношение частот. Если вращение $\hat{\rho}(f)$ есть рациональное число, $r=m / n$, то существует $\theta_{0}$, такое, что $f^{n}\left(\theta_{0}\right)=\theta_{0}(\bmod 2 \pi)$ и соответствующая траектория является $n T$-периодической. В этом случае, вообще говоря, существуют две $n T$-периодические траектории: одна притягивающая (устойчивая), а другая отталкивающая (неустойчивая), как, например, на рис. Х.2. Траектории, близкие к притягивающему тору, со временем будут улавливаться устойчивой траекторией на торе.

Приближенные дважды периодические решения, которые являются асимптотическими к истинным решениям с точностью до членов порядка $\varepsilon^{N}, N$ произвольно, имеют вид
\[
\mathbf{u}(t)=\mathbf{V}\left(t,\left[\omega_{0}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)\right] t\right),
\]

где $\mathbf{V}\left(t+T, t^{\prime}\right)=\mathbf{V}\left(t, t^{\prime}+2 \pi\right)=\mathbf{V}\left(t, t^{\prime}\right)$ (см. замечания в конце дополнения $\mathrm{X} .3$ ). Этому типу поведения решения соответствует число вращения
\[
\hat{\rho}(\varepsilon)=\frac{\left[\omega_{0}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)\right] T}{2 \pi},
\]

которое является полиномом относительно в. Для этого числа вращения большей части значений $\varepsilon$ соответствуют иррациональные значения $\hat{\rho}(\varepsilon)$, если $\Omega\left(\varepsilon^{2}\right)
eq 0$.

Необходимо различать число вращения $\hat{\rho}(\varepsilon)$ (X.143) асимптотического представления потока на торе и истинное число вращения $\hat{\rho}\left(f_{\varepsilon}\right)$, где
\[
f_{\varepsilon}(\theta)=\theta+\omega_{0}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)+\varepsilon^{N} h(\theta, \varepsilon),
\]

при этом $N$ произвольно, а $h(\theta, \varepsilon)$-неизвестная функция. Для истинного отображения $q$-я итерация есть
\[
f_{\varepsilon}^{q}(\theta)=\theta+q\left(\omega_{0}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)\right)+\varepsilon^{N} h_{q}(\theta, \varepsilon) .
\]

Функция $\hat{\rho}(\varepsilon)$ аналитическая. В отличие от истинного числа вращения, которое обсуждается ниже, она не может иметь ступенек, обязательных при захвате частот решением (см. рис. X.3).

Истинное отображение может не являться аналитическим по $\varepsilon$; даже если отображение и является аналитическим, число вращения $\hat{\rho}\left(f_{\varepsilon}\right)$ может и не быть гладким по $\varepsilon$, хотя Пуанкаре показал, что функция $\hat{\rho}\left(f_{\varepsilon}\right)$, по крайней мере, непрерывна на є. В самом деле, следующее соображение можно интерпретировать как подтверждение того, что функция $\hat{\rho}\left(f_{\varepsilon}\right)$ не является гладкой, но, вместо этого, принимает постоянные значения на интервале $\varepsilon$ в рациональных точках $\hat{\rho}\left(f_{\varepsilon}\right)=p / q$. Это приводит к непрерывной кривой, имеющей ступеньки, как на рис. Х.3. Предположим, что $\hat{\rho}=p / q$, если $\varepsilon=\varepsilon_{0}$, а $\theta_{0}$ — неподвижная точка порядка $q$ отображения $\theta \mapsto f_{\varepsilon}(\theta)$ при $\varepsilon=\varepsilon_{0}$, т. e.
\[
f_{\varepsilon_{0}}^{q}\left(\theta_{0}\right)-\theta_{0}=0 .
\]

Эта неподвижная точка соответствует периодическому решению с периодом $q T$ нашей исходной задачи, а отношение $0<p / q<1$ играет роль $m / n$ гл. IX. Чтобы доказать, что число вращения $\hat{\rho}\left(f_{\varepsilon}\right)$ остается постоянным на интервале, содержащем $\varepsilon_{0}$, достаточно показать, что равенство
\[
g_{\varepsilon}(\theta)=f_{\varepsilon}^{q}(\theta)-\theta=0
\]

выполняется для ( $\varepsilon, \theta$ ), близких к ( $\varepsilon_{0}, \theta_{0}$ ). Здесь $q$-целое кратное, соответствующее $q T$-периодическому решению, а $p / q$ определяется непрерывностью $\hat{\rho}\left(f_{\varepsilon}\right)$. Теорема о неявной функции гарантирует, что

Рис. Х.3. Число вращения отображения Пуанкаре. Это число вращения кажется гладкой функцией при $\varepsilon \longrightarrow 0$.

будет иметь место уравнение (Х.146), если выполняется равенство (X.145) и
\[
\frac{\partial g_{\varepsilon}}{\partial \theta}=\varepsilon_{0}^{N} \frac{\partial h_{q}}{\partial \theta}
eq 0
\]

для $(\varepsilon, \theta)=\left(\varepsilon_{0}, \theta_{0}\right)$. Тогда найдется интервал изменения $\varepsilon$, содержащий $\varepsilon_{0}$, для которого существует решение $\theta(\varepsilon)$ уравнения (X. 146 ) с числом вращения $\hat{\rho}\left(f_{\varepsilon}\right)=p / q$. Это приводит к плоским сегментам, ступенькам, показанным на рис. X.З. Доказательство, опирающееся на теорему о неявной функции, показывает, что нижняя граница размеров ступенек имеет порядок $\varepsilon_{0}^{N}$.

Мы показали, что для каждого $N$ поток на торе является, по крайней мере приближенно, квазипериодическим. Для всех потоков $h_{q} \equiv 0$, и теорема о неявной функции не приводит к захвату частот. Функция $\hat{\rho}(\varepsilon)$ аналитическая для всех таких приближений.

Смысл того обстоятельства, что число усечения $N$ произвольно, состоит в следующем. Норма разности усеченного приближения $\overline{\mathbf{u}}^{(N)}(\varepsilon)$ и точного решения $\overline{\mathbf{u}}(\varepsilon)$ имеет вид
\[
\left\|\overline{\mathbf{u}}(\varepsilon)-\overline{\mathbf{u}}^{(N)}(\varepsilon)\right\|=\varepsilon^{N} \delta_{N}(\varepsilon),
\]

где, вообще говоря, конечное $N=N(\varepsilon)$ может дать меньшую ошибку $\varepsilon^{N} \delta_{N(\varepsilon)}(\varepsilon)$, чем большее $N$, а самое лучшее $N=N(\varepsilon)$ таково, что
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} N(\varepsilon) \rightarrow \infty \text {. }
\]

Поэтому по крайней мере можно утверждать, что длины интервалов, на которых $\hat{\rho}\left(f_{\varepsilon}\right)$ постоянно, должны стремиться к нулю быстрее, чем любая степень в.
M. Херман показал (M. Herman, Mesure de Lebesgue et nombre de rotation, Geometry and Topology, Lecture Notes in Mathematics, No. 597 (New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1977, pp. $271-293)$, что если $\hat{\rho}\left(f_{e}\right)$ не является тождественно постоянной, то множество точек $\varepsilon$, для которых $\hat{\rho}\left(f_{\varepsilon}\right)$ иррационально, имеет положительную меру. Множество таких точек, которые соответствуют решениям, обладающим свойством захвата частот, имеет положительную меру, если существуют точки $\left(\varepsilon_{0}, \theta_{0}\right.$ ), для которых выполняется неравенство (X.147); однако интервалы изменения $\varepsilon$, окружающие $\boldsymbol{\varepsilon}_{0}$, являются малыми, если $\varepsilon$ мало́, так что трудно наблюдать захват частот субгармоническими решениями, если в мало́. Но для бо́льших значений $\varepsilon$ асимптотически квазипериодические решения и синхронизация по частоте субгармонических периодических решений возможны и наблюдаются в приложениях.

Недавние эксперименты свидетельствуют о том, что бифуркация периодических решений в инвариантные торы часто встречается в гидродинамике. Квазипериодические решения обнаруживаются экспериментально при изучении фурьє-спектра некоторых зависящих от времени характеристик течения, например, составляющей скорости. В спектре квазипериодичного движения наблюдаются большое число пиков, соответствующих периодическим компонентам колебаний, и низкоамплитудный шум. Если движение квазипериодично с двумя частотами, можно все резко вьраженные характеристики спектра отождествить с суммами и разностями гармоник этих частот. Отношение частот дает упомянутое выше число вращения. В экспериментах это число оказывается гладкой функцией $\mu$ вблизи точки бифуркации. Для бо́льших значений $\mu$ решения могут захватываться субгармоническим решением, в котором отношение двух частот постоянно и рационально на интервалах (см. рис. X.3).