Можно сказать, что захват частоты происходит в динамической системе, когда колебания с двумя независимыми частотами влияют одно на другое таким образом, что происходит синхронизация двух колебаний в одно периодическое колебание с общим бо́льшим периодом (субгармоническое колебаниє). Это явление носит общий характер и очень сложно.

Явление захвата фазы на торе $T^2$ происходит, когда все траектории на торе захватываются некоторой периодической траекторией при возрастании $\mu$. Чтобы понять явление захвата, полезно ввести в рассмотрение отображение Пуанкаре (первое возвращающее отображение); оно определяется как монотонная функция $f(\cdot )$ :
$$\theta \mapsto f(\theta ),0⩽\theta <2\pi ,$$

где $\theta$ и $f(\theta )$ суть вещественные числа, $f$ такая, что
$$f(\theta +2\pi )=f(\theta )+2\pi ,$$

и $f$ отображает начальную точку траектории, принадлежащую кривой $\rho =\epsilon R(\theta )$ на торе, в точку пересечения траектории с этой кривой после истечения промежутка времени $T$, при этом кривая параметризована значениями $\theta$. Поэтому можно предположить, что траектория начинается в точке замкнутой кривой $\rho =\epsilon R(\theta ,\epsilon )$ при $\theta ={\theta }_0$. После первого оборота траекторкя пересекает замкнутую кривую при $\theta ={\theta }_1$, т. е. ${\theta }_1=f\left({\theta }_0\right)$. Траектория снова наматывается на тор и по истечении промежутка времени $T$ пересекает замкнутую кривую при $\theta ={\theta }_2=f\left({\theta }_1\right)=f^2\left({\theta }_0\right)$ и гак далее. Изменение угла между последовательными точками пересечения дается функцией $f(\theta )$. Поэтому получаем последовательность ${\theta }_0,f\left({\theta }_0\right)={\theta }_1,f^2\left({\theta }_0\right)=f\left({\theta }_1\right)=$ $={\theta }_2,\dots ,f^n\left({\theta }_0\right)=f^{n-1}\left({\theta }_1\right)=\dots =f\left({\theta }_{n-1}\right)={\theta }_n$. Пусть $\theta ={\theta }_0+\omega t$. Тогда $f\left({\theta }_0\right)={\theta }_0+\omega T={\theta }_1,f^2\left({\theta }_0\right)={\theta }_0+2\omega T,\dots ,f^n\left({\theta }_0\right)={\theta }_0+n\omega T$. Отметим, что если $\omega =2\pi m/(nT)$, то траектория на торе будет $nT$-периодической.
Введем теперь число вращения $\hat{\rho }(f)$ отображения $f$ :
$$\hat{\rho }(f)=\underset{v\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2\pi u}[f^v(\theta )-\theta ].$$

Пуанкаре, который впервые ввел в рассмотрение это число, доказал, что этот предел существует и не зависит от $\theta$. Если число вращения $\hat{\rho }(f)$ представляет собой иррациональное число $r$, то можно показать, что решения на торе являются квазипериодическими и что замена переменной $\theta$ приводит к отсбражению $f(\theta )=\theta +\omega T,\omega =2\pi r/T$, $0<r<1$, представляющему собой именно вращение на замкнутой кривой (Данжуа, Боль). Так как $f^v(\theta )-\theta =2\pi vr$, то получаем $\hat{\rho }(f)=r$. $\mathrm{B}$ иррациональном случае каждая итерация отображения дает новую точку на кривой $\rho =\epsilon R(\theta ,\epsilon )$ и ни одна из этих точек не повторяется, так что точки пересечения любой траектории образуют плотное множество на кривой $\rho =\epsilon R(\theta ,\epsilon )$ в поперечном сечении тора. Поэтому любая траектория на торе со временем полностью заполняет тор.

Для квазипериодических решений на торе число вращения $\hat{\rho }=r=$ $=\omega /(2\pi /T)$ представляет собой отношение частот. Если вращение $\hat{\rho }(f)$ есть рациональное число, $r=m/n$, то существует ${\theta }_0$, такое, что $f^n\left({\theta }_0\right)={\theta }_0(mod2\pi )$ и соответствующая траектория является $nT$-периодической. В этом случае, вообще говоря, существуют две $nT$-периодические траектории: одна притягивающая (устойчивая), а другая отталкивающая (неустойчивая), как, например, на рис. Х.2. Траектории, близкие к притягивающему тору, со временем будут улавливаться устойчивой траекторией на торе.

Приближенные дважды периодические решения, которые являются асимптотическими к истинным решениям с точностью до членов порядка ${\epsilon }^N,N$ произвольно, имеют вид
$$\mathbf{u}(t)=\mathbf{V}(t,[{\omega }_0+{\epsilon }^2\mathrm{\Omega }\left({\epsilon }^2\right)]t),$$

где $\mathbf{V}(t+T,t^{\prime })=\mathbf{V}(t,t^{\prime }+2\pi )=\mathbf{V}(t,t^{\prime })$ (см. замечания в конце дополнения $\mathrm{X}.3$ ). Этому типу поведения решения соответствует число вращения
$$\hat{\rho }(\epsilon )=\frac{[{\omega }_0+{\epsilon }^2\mathrm{\Omega }\left({\epsilon }^2\right)]T}{2\pi },$$

которое является полиномом относительно в. Для этого числа вращения большей части значений $\epsilon$ соответствуют иррациональные значения $\hat{\rho }(\epsilon )$, если $\mathrm{\Omega }\left({\epsilon }^2\right)eq0$.

Необходимо различать число вращения $\hat{\rho }(\epsilon )$ (X.143) асимптотического представления потока на торе и истинное число вращения $\hat{\rho }\left(f_{\epsilon }\right)$, где
$$f_{\epsilon }(\theta )=\theta +{\omega }_0+{\epsilon }^2\mathrm{\Omega }\left({\epsilon }^2\right)+{\epsilon }^{N}h(\theta ,\epsilon ),$$

при этом $N$ произвольно, а $h(\theta ,\epsilon )$-неизвестная функция. Для истинного отображения $q$-я итерация есть
$$f_{\epsilon }^q(\theta )=\theta +q({\omega }_0+{\epsilon }^2\mathrm{\Omega }\left({\epsilon }^2\right))+{\epsilon }^N{h}_q(\theta ,\epsilon ).$$

Функция $\hat{\rho }(\epsilon )$ аналитическая. В отличие от истинного числа вращения, которое обсуждается ниже, она не может иметь ступенек, обязательных при захвате частот решением (см. рис. X.3).

Истинное отображение может не являться аналитическим по $\epsilon$; даже если отображение и является аналитическим, число вращения $\hat{\rho }\left(f_{\epsilon }\right)$ может и не быть гладким по $\epsilon$, хотя Пуанкаре показал, что функция $\hat{\rho }\left(f_{\epsilon }\right)$, по крайней мере, непрерывна на є. В самом деле, следующее соображение можно интерпретировать как подтверждение того, что функция $\hat{\rho }\left(f_{\epsilon }\right)$ не является гладкой, но, вместо этого, принимает постоянные значения на интервале $\epsilon$ в рациональных точках $\hat{\rho }\left(f_{\epsilon }\right)=p/q$. Это приводит к непрерывной кривой, имеющей ступеньки, как на рис. Х.3. Предположим, что $\hat{\rho }=p/q$, если $\epsilon ={\epsilon }_0$, а ${\theta }_0$ — неподвижная точка порядка $q$ отображения $\theta \mapsto f_{\epsilon }(\theta )$ при $\epsilon ={\epsilon }_0$, т. e.
$$f_{{\epsilon }_0}^q\left({\theta }_0\right)-{\theta }_0=0.$$

Эта неподвижная точка соответствует периодическому решению с периодом $qT$ нашей исходной задачи, а отношение $0<p/q<1$ играет роль $m/n$ гл. IX. Чтобы доказать, что число вращения $\hat{\rho }\left(f_{\epsilon }\right)$ остается постоянным на интервале, содержащем ${\epsilon }_0$, достаточно показать, что равенство
$$g_{\epsilon }(\theta )=f_{\epsilon }^q(\theta )-\theta =0$$

выполняется для ( $\epsilon ,\theta$ ), близких к ( ${\epsilon }_0,{\theta }_0$ ). Здесь $q$-целое кратное, соответствующее $qT$-периодическому решению, а $p/q$ определяется непрерывностью $\hat{\rho }\left(f_{\epsilon }\right)$. Теорема о неявной функции гарантирует, что

Рис. Х.3. Число вращения отображения Пуанкаре. Это число вращения кажется гладкой функцией при $\epsilon ⟶0$.

будет иметь место уравнение (Х.146), если выполняется равенство (X.145) и
$$\frac{\partial g_{\epsilon }}{\partial \theta }={\epsilon }_0^N\frac{\partial h_q}{\partial \theta }eq0$$

для $(\epsilon ,\theta )=({\epsilon }_0,{\theta }_0)$. Тогда найдется интервал изменения $\epsilon$, содержащий ${\epsilon }_0$, для которого существует решение $\theta (\epsilon )$ уравнения (X. 146 ) с числом вращения $\hat{\rho }\left(f_{\epsilon }\right)=p/q$. Это приводит к плоским сегментам, ступенькам, показанным на рис. X.З. Доказательство, опирающееся на теорему о неявной функции, показывает, что нижняя граница размеров ступенек имеет порядок ${\epsilon }_0^N$.

Мы показали, что для каждого $N$ поток на торе является, по крайней мере приближенно, квазипериодическим. Для всех потоков $h_q\equiv 0$, и теорема о неявной функции не приводит к захвату частот. Функция $\hat{\rho }(\epsilon )$ аналитическая для всех таких приближений.

Смысл того обстоятельства, что число усечения $N$ произвольно, состоит в следующем. Норма разности усеченного приближения ${\bar{\mathbf{u}}}^{(N)}(\epsilon )$ и точного решения $\bar{\mathbf{u}}(\epsilon )$ имеет вид
$$\Vert \bar{\mathbf{u}}(\epsilon )-{\bar{\mathbf{u}}}^{(N)}(\epsilon )\Vert ={\epsilon }^N{\delta }_N(\epsilon ),$$

где, вообще говоря, конечное $N=N(\epsilon )$ может дать меньшую ошибку ${\epsilon }^N{\delta }_{N(\epsilon )}(\epsilon )$, чем большее $N$, а самое лучшее $N=N(\epsilon )$ таково, что
$$\underset{\epsilon \to 0}{lim}N(\epsilon )\to \mathrm{\infty }\text{. }$$

Поэтому по крайней мере можно утверждать, что длины интервалов, на которых $\hat{\rho }\left(f_{\epsilon }\right)$ постоянно, должны стремиться к нулю быстрее, чем любая степень в.
M. Херман показал (M. Herman, Mesure de Lebesgue et nombre de rotation, Geometry and Topology, Lecture Notes in Mathematics, No. 597 (New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1977, pp. $271-293)$, что если $\hat{\rho }\left(f_e\right)$ не является тождественно постоянной, то множество точек $\epsilon$, для которых $\hat{\rho }\left(f_{\epsilon }\right)$ иррационально, имеет положительную меру. Множество таких точек, которые соответствуют решениям, обладающим свойством захвата частот, имеет положительную меру, если существуют точки $({\epsilon }_0,{\theta }_0$ ), для которых выполняется неравенство (X.147); однако интервалы изменения $\epsilon$, окружающие ${\mathit{\epsilon }}_0$, являются малыми, если $\epsilon$ мало́, так что трудно наблюдать захват частот субгармоническими решениями, если в мало́. Но для бо́льших значений $\epsilon$ асимптотически квазипериодические решения и синхронизация по частоте субгармонических периодических решений возможны и наблюдаются в приложениях.

Недавние эксперименты свидетельствуют о том, что бифуркация периодических решений в инвариантные торы часто встречается в гидродинамике. Квазипериодические решения обнаруживаются экспериментально при изучении фурьє-спектра некоторых зависящих от времени характеристик течения, например, составляющей скорости. В спектре квазипериодичного движения наблюдаются большое число пиков, соответствующих периодическим компонентам колебаний, и низкоамплитудный шум. Если движение квазипериодично с двумя частотами, можно все резко вьраженные характеристики спектра отождествить с суммами и разностями гармоник этих частот. Отношение частот дает упомянутое выше число вращения. В экспериментах это число оказывается гладкой функцией $\mu$ вблизи точки бифуркации. Для бо́льших значений $\mu$ решения могут захватываться субгармоническим решением, в котором отношение двух частот постоянно и рационально на интервалах (см. рис. X.3).