Воспользуемся теоремой о неявной функции для доказательства существования единственных функций $\lambda(\varepsilon)$ и $y(\varepsilon)$, удовлетворяющих уравнениям
\[
\begin{array}{l}
f_{1}\left(\mu, u_{1}, u_{2}\right)=\varepsilon g_{1}(\lambda(\varepsilon), \varepsilon, y(\varepsilon))=0, \\
f_{2}\left(\mu, u_{1}, u_{2}\right)=\varepsilon g_{2}(\lambda(\varepsilon), \varepsilon, y(\varepsilon))=0,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
g_{1}(\lambda, \varepsilon, y)=a_{0}+b_{0} y+\varepsilon\left[\lambda\left(a^{\prime}+b^{\prime} y\right)+\alpha_{1}+2 \beta_{1} y+\gamma_{1} y^{2}\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
g_{2}(\lambda, \varepsilon, y)=c_{0}+d_{0} y+\varepsilon\left[\lambda\left(c^{\prime}+d^{\prime} y\right)+\alpha_{2}+2 \beta_{2} y+\gamma_{2} y^{2}\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]

Мы ищем стационарные бифуркационные решения уравнения
\[
g_{i}(\lambda(\varepsilon), \varepsilon, y(\varepsilon))=0, \quad i=1,2 .
\]

Для решения (V.5) сначала потребуем, чтобы
\[
g_{i}\left(\lambda_{0}, 0, y_{0}\right)=0, \quad i=1,2 .
\]

Из уравнений (V.6) следует, что
\[
\begin{array}{l}
a_{0}+b_{3} y_{11}=0, \\
c_{0}+d_{3} y_{0}=0 .
\end{array}
\]

Уравнениям (V.7) всегда удовлетворяет собственный вектор $\mathrm{x}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ y_{0}\end{array}\right]$, соответствующий собственному значению $\sigma_{1}(0)=0$ (см. § IV.4.2). Для решения (V.7) необходимо рассмотреть три случая:
(1) $\Delta=\left(a_{0}+d_{0}\right)^{2} / 4-a_{0} d_{0}+b_{0} c_{0}
eq 0$. Тогда $\sigma_{1}(0)$ и $\sigma_{2}(0)$ различные. Более того, из (V.7) находим, что $a_{0} d_{0}-b_{0} c_{0}=0$ и
\[
\Delta=\left(a_{0}+d_{9}\right)^{2} / 4>0,
\]

так что два собственных значения $\sigma_{1}(0)=\xi_{1}(0)=0, \sigma_{2}(0)=\xi_{2}(0)<0$ $\left(a_{0}+d_{0}<0\right)$ вещественные. В этом случае мы имеем бифуркацию в простом собственном значении $\xi_{1}(0)=0$. В гл. VI эта задача сведена к проекции на $\mathbb{R}^{1}$.
(2) $\sigma_{f}(0)=\sigma_{2}(0)=0$ имеет индекс Риса, равный двум. Не ограничивая общности (см. § IV.4.4.2), мы будем исследовать этот случай при следующих значениях параметров:
\[
a_{0}=c_{0}=d_{\mathrm{t}}=b_{0}-1=y_{0}=0 .
\]
(3) $\sigma_{1}(0)=\sigma_{2}(0)=0$ имеет индекс Риса, равный единице. Этот случай соответствует бифуркации в двойном полупростом собственном значении.