Запишем уравнение (VI.45) в виде
\[
\dot{\mathbf{u}}=\mathbf{f}(\mu, \mathbf{u})=\mathbf{f}_{\boldsymbol{u}}(\mu \mid \mathbf{u})+\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}),
\]

где $\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u})=O\left(|\mathbf{u}|^{2}\right)$. Малое возмущение $\mathbf{v}=e^{\sigma \text { t }}$ решения $\mathbf{u}=0$ удовлетворяет следующей задаче на собственные значения:
\[
\sigma \zeta=\mathrm{f}_{t}(\mu \mid \zeta) .
\]

Сопряженная задача описывается уравнением (см. § VI.7)
\[
\sigma \overline{\zeta^{*}}=\mathrm{f}_{u}^{*}\left(\mu \mid \bar{\zeta}^{*}\right),
\]

и весьма часто в приложениях существует счетное бесконечное число собственных значений $\left\{\sigma_{n}\right\}$, которые можно представить в виде последовательности в соответствии с величиной их вещественных частей
\[
\xi_{1} \geqslant \xi_{2} \geqslant \ldots \geqslant \xi_{n} \geqslant \ldots,
\]

скопляющихся в – (см. рис. VI.1). Қаждому собственному значению соответствует по крайней мере конечное число собственных векторов $\zeta_{n}$ и сопряженных собственных векторов $\zeta_{n}^{*}$. Қак было указано в дополнении IV.1, в случае полупростого собственного значения $\sigma_{n}$ можно выбрать собственные векторы операторов $f_{u}(\mu \mid \cdot)$ и $\mathrm{f}_{u}^{*}(\mu \mid \cdot)$ так, чтобы они образовывали биортогональные семейства:
\[
\left\langle\boldsymbol{\zeta}_{n k}, \zeta_{n j}^{*}\right\rangle=\delta_{k j}, \quad k, j=1, \ldots, m_{n},
\]

где $m_{n}$-кратность собственного значения $\sigma_{n}$ (предполагаемого полупростым). Умножая теперь обе части уравнения (VIII.1) скалярно на $\zeta_{n}^{*}$, получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left\langle\mathbf{u}, \zeta_{n}^{*}\right\rangle & =\left\langle\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{u}), \xi_{n}^{*}\right\rangle+\left\langle\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}), \zeta_{n}^{*}\right\rangle= \\
& =\left\langle\mathbf{u}, \mathbf{f}_{u}^{*}\left(\mu \mid \zeta_{n}^{*}\right)\right\rangle+\left\langle\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}), \zeta_{n}^{*}\right\rangle= \\
& =\sigma_{n}\left\langle\mathbf{u}, \zeta_{n}^{*}\right\rangle+\left\langle\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}), \zeta_{n}^{*}\right\rangle .
\end{aligned}
\]

Если и мало, то линеаризованные уравнения приводят к выражениям
\[
\left\langle\mathbf{u}(t), \zeta_{n}^{*}\right\rangle \simeq\left\langle\mathbf{u}(0), \zeta_{n}^{*}\right\rangle e^{\xi_{n}(\mu) t} e^{i \eta_{n}(\mu) t},
\]

так что если $\xi_{n}(\mu)<0$, то проекция $\left\langle\mathbf{u}(t), \zeta_{n}^{*}\right\rangle$ убывает до нуля. В действительности для полной нелинейной задачи существует связь между различными проекциями, и если некоторые из них не убывают, то этот последний результат уже не имеет места. Тем не менее важная часть эволюционной задачи (VIII.1) связана с частью спектра оператора $\mathrm{f}_{a}(\mu \mid \cdot)$, для когорой $\xi_{n}(\mu) \geqslant 0$.

В задаче бифуркации, изучаемой в этой главе, мы будем предполагать, что вещественная часть двух комплексно-сопряженных простых собственных значений $\sigma(\mu), \bar{\sigma}(\mu)$ изменяет знак, когда $\mu$ проходит через 0 , а остальная часть спектра остается в левой части комплексной плоскости. Пусть- $\zeta$ и $\bar{\zeta}$ суть собственные векторы операторов $\mathbf{f}_{n}(\mu \mid \cdot), \mathbf{f}_{u}^{*}(\mu \mid \cdot)$, соответствующие собственному значению $\sigma(\mu)$. Тогда уравнение, описывающее эволюцию проекции,
\[
\frac{d}{d t}\left\langle\mathbf{u}, \zeta^{*}\right\rangle=\sigma(\mu)\left\langle\mathbf{u}, \zeta^{*}\right\rangle+\left\langle\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}), \zeta^{*}\right\rangle
\]

является комплекснозначным, т. е. двумерным. Поэтому наша задача представляет собой существенно двумерную задачу всякий раз, когда
\[
\mathbf{u}-\left\langle\mathbf{u}, \zeta^{*}\right\rangle \zeta-\left\langle\mathbf{u}, \bar{\zeta}^{*}\right\rangle \bar{\zeta}
\]

является «весьма малой частью», как в § VI.5.