Математики обычно любят делать замену переменных. Это подобно покупке новой одежды; на самом деле вы не обязательно выглядите лучше в новой одежде, однако вам кажется, что это так. Переменные, которые нам кажутся предпочтительнее, суть
\[
\begin{array}{l}
y=Z+\gamma(t, \mu, Z, \bar{Z}) \\
\mathbf{Y}=\mathbf{W}+\mathbf{\Gamma}(t, \mu, Z, \bar{Z})
\end{array}
\]

где $\left\langle\mathbf{Y}, \zeta^{*}\right\rangle=\left\langle\boldsymbol{\Gamma}, \zeta^{*}\right\rangle=0$. Комплексная функция $\gamma$ и вещественная вектор-функция $\mathbf{\Gamma}$, подлежащие определению, являются $T$-периодическими и обращаются в нуль при $Z=0$ :
$\gamma$ и $\Gamma$ имеют порядок $O\left(|Z|^{2}\right)$.
Наша цель состоит в том, чтобы показать, что решения, которые ответвляются от $T$-периодических решений при $n
eq 1,2,3,4$, как правило, не являются субгармоническими и в фазовом пространстве лежат на торе, и что траектории на этом торе являются асимптотически квазипериодическими. Определим $\gamma$ и $\Gamma$ так, чтобы после применения метода усреднения к (X.8) и (X.9) в этих выражениях остались лишь существенные члены.

Начнем наш анализ с того, что продифференцируем (X.14) и (X.15) по времени и заменим производные от $Z, \bar{Z}$ и $\mathbf{W}$ выражениями (X.8) и (X.9). После указанной замены получим
\[
\begin{array}{cc}
\dot{y}=\sigma Z+b+\frac{\partial \gamma}{\partial t}+\frac{\partial \gamma}{\partial Z}(\sigma Z+b)+\frac{\partial \gamma}{\partial \bar{Z}}(\bar{\sigma} \bar{Z}+\bar{b}), & (\mathrm{X} .16)_{\mathbf{i}} \\
\dot{\mathbf{Y}}=\mathrm{f}_{u}(t, \mu \mid \mathbf{W})+\mathbf{B}+\frac{\partial \boldsymbol{\Gamma}}{\partial t}+\frac{\partial \boldsymbol{\Gamma}}{\partial Z}(\sigma Z+b)+\frac{\partial \boldsymbol{\Gamma}}{\partial \bar{Z}}(\bar{\sigma} \bar{Z}+\bar{b}), & (\mathrm{X} .16)_{\mathrm{a}}
\end{array}
\]

где $b$ и В определяются формулами (X.10-13), а $Z$ и W суть функции от $y$ и $\mathbf{Y}$, которые подлежат определению.

Будем строить $\gamma$ и $\boldsymbol{\Gamma}$ в виде полиномов степени $N$ относительно $Z$ и $\bar{Z}$ с $T$-периодическими коэффициентами
\[
\left[\begin{array}{l}
\gamma(t, \mu, Z, \bar{Z}) \\
\Gamma(t, \mu, Z, \bar{Z})
\end{array}\right]=\sum_{p+q \geqslant 2}^{N} Z^{p} \bar{Z}^{q}\left[\begin{array}{l}
\gamma_{p q}(t, \mu) \\
\Gamma_{p q}(t, \mu)
\end{array}\right] .
\]

В (Х.17) на число $N$, характеризующее отбрасываемые члены, ограничений не накладывается (хотя может существовать «лучшее» $N$ для асимптотического приближения). Так как $\Gamma$-вещественная векторфункция, то $\Gamma_{p q}=\bar{\Gamma}_{q p}$ и
\[
\left\langle\Gamma, \zeta^{*}\right\rangle=\left\langle\Gamma, \bar{\zeta}^{*}\right\rangle=\left\langle\Gamma_{p q}, \zeta^{*}\right\rangle=\left\langle\Gamma_{p q}, \bar{\zeta}^{*}\right\rangle=0 .
\]

Теперь отбросим в рядах (X.11) и (X.12) члены, порядок которых выше $N$, как в (X.17), и полученные полиномы подставим в (X.16), сохраняя в әтих уравнениях только те члены, порядок которых не превосходит $N$. Имеем
\[
\begin{aligned}
\dot{y}=\sigma Z+\sum_{p+\sigma \geqslant 2}^{N} Z_{p} \bar{Z}^{q}\left[\frac{\partial \gamma_{p q}}{\partial t}\right. & \left.+(\sigma p+\bar{\sigma} q) \gamma_{p q}+\hat{b}_{p q}\right]+ \\
& +b_{1}+\left(b \frac{\partial \gamma}{\partial Z}+\bar{b} \frac{\partial \gamma}{\partial \bar{Z}}\right)+O\left(|Z|^{N+1}\right), \quad(\mathrm{X} .18)_{\mathbf{i}}
\end{aligned}
\]

\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{Y}}=\mathrm{f}_{u}(t, \mu \mid \mathbf{W})+\sum_{p+q \geqslant 2}^{N} Z^{p} \bar{Z}^{q} & {\left[\frac{\partial \boldsymbol{\Gamma}_{p q}}{\partial t}+(\sigma p+\bar{\sigma} q) \mathbf{\Gamma}_{p q}+\hat{\mathbf{B}}_{p q}\right]+} \\
& +\mathbf{B}_{1}+\left(b \frac{\partial \boldsymbol{\Gamma}}{\partial Z}+\bar{b} \frac{\partial \mathbf{\Gamma}}{\partial \bar{Z}}\right)+O\left(|Z|^{N+1}\right),
\end{aligned}
\]

где $b_{i}$ и $\mathbf{B}_{i}$ определяются по формулам, приведенным после (X.10); $b=b_{0}+b_{1} ; b_{0}, \gamma$ и $\Gamma$ следует заменить полиномиальными представлениями этих функций вплоть до членов порядка $N$.

В уравнениях (X.18) можно исключить $Z$ и $\overline{\mathbf{W}}$ обращением преобразований (X.14) и (X.15):
\[
\begin{array}{l}
Z=y+\sum_{p+q \geqslant 2}^{N} \gamma_{p q}^{\prime}(t, \mu) y^{p} \bar{y}^{q}+O\left(|y|^{N+1}\right), \\
\mathbf{W}=\mathbf{Y}+\sum_{p+q \geqslant 2}^{N} \Gamma_{p q}^{\prime}(t, \mu) y^{p} \bar{y}^{q}+O\left(|y|^{N+1}\right) .
\end{array}
\]

Это преобразование всегда возможно, если $y$ и $Z$ малы, а $\gamma_{p q}^{\prime}$ и $\Gamma_{p q}^{\prime}$ можно определить через $\gamma_{l n}$ и $\Gamma_{l n}, l+n \leqslant p+q$, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $Z^{p} \bar{Z}^{q}$. Например,
\[
\begin{array}{l}
\gamma_{p q}^{\prime}=-\gamma_{p q} \text { для } p+q=2, \\
\gamma_{30}^{\prime}=-\gamma_{30}+2 \gamma_{2 n}^{2}+\gamma_{11} \vec{\gamma}_{02}, \\
\gamma_{21}^{\prime}=-\gamma_{21}+3 \gamma_{11} \gamma_{20}+\left|\bar{\gamma}_{i 1}\right|^{2}+2\left|\gamma_{02}\right|^{2}, \\
\gamma_{12}^{\prime}=-\gamma_{12}+2 \gamma_{02} \gamma_{20}+\gamma_{i 1} \bar{\gamma}_{20}+\gamma_{11}^{2}+2 \bar{\gamma}_{11} \gamma_{02}, \\
\gamma_{03}^{\prime}=-\gamma_{03}+\gamma_{02} \gamma_{11}+2 \gamma_{02} \bar{\gamma}_{20} .
\end{array}
\]

Вообще говоря, имеем
\[
\gamma_{p q}^{\prime}=-\gamma_{p q}+\text { функции от } \gamma_{l n} \text { с } l+n \leqslant p+q-1 .
\]

Используя (X.15), (X.17) и (X.20), находим, что
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{\Gamma}_{p q}^{\prime}=-\boldsymbol{\Gamma}_{p q} \text { для } p+q=2, \\
\boldsymbol{\Gamma}_{30}^{\prime}=-\boldsymbol{\Gamma}_{30}+2 \gamma_{20} \boldsymbol{\Gamma}_{20}+\bar{\gamma}_{02} \boldsymbol{\Gamma}_{11}, \\
\boldsymbol{\Gamma}_{21}^{\prime}=-\boldsymbol{\Gamma}_{21}+2 \gamma_{11} \boldsymbol{\Gamma}_{20}+\left(\gamma_{20}+\bar{\gamma}_{i 1}\right) \boldsymbol{\Gamma}_{11}+2 \bar{\gamma}_{02} \boldsymbol{\Gamma}_{02}, \\
\boldsymbol{\Gamma}_{12}^{\prime}=-\boldsymbol{\Gamma}_{12}+2 \gamma_{02} \boldsymbol{\Gamma}_{20}+\left(\bar{\gamma}_{11}+\bar{\gamma}_{20}\right) \boldsymbol{\Gamma}_{11}+2 \bar{\gamma}_{11} \boldsymbol{\Gamma}_{02}, \\
\boldsymbol{\Gamma}_{03}^{\prime}=-\boldsymbol{\Gamma}_{09}+\gamma_{20} \boldsymbol{\Gamma}_{11}+2 \bar{\gamma}_{20} \boldsymbol{\Gamma}_{02} .
\end{array}
\]

Вообще говоря, имеем
\[
\Gamma_{p q}^{\prime}=-\Gamma_{p q}+\text { функции от }\left(\boldsymbol{\Gamma}_{l n}, \gamma_{l n}\right) \text { с } l+n \leqslant p+q-1 .
\]

Наконец, подставим (X.19) и (X.20) в (X.18) и заменим $\gamma_{p q}^{\prime}$ и $\Gamma_{p q}^{\prime}$ их выражениями через $\gamma_{p q}$ и $\Gamma_{p q}$, определяемыми по приведенным выше формулам. Тогда получим
\[
\begin{array}{r}
\dot{y}=\sigma y+\sum_{p+q \geqslant 2}^{N} y^{p} \overline{y^{q}}\left\{\dot{\gamma}_{p q}+[(p-1) \sigma+q \bar{\sigma}] \gamma_{p q}+b_{p q}\right\}+\tilde{b}_{1}(t, \mu, y, \bar{y}, \mathbf{Y}), \\
\begin{array}{r}
\text { (X. 23) }
\end{array} \mathbf{f}_{u}(t, \mu \mid \mathbf{Y})+\sum_{p+q \geqslant 2}^{N} y^{p} \overline{y^{q}}\left\{\dot{\mathbf{\Gamma}}_{p q}-\mathbf{f}_{u}\left(t, \mu \mid \boldsymbol{\Gamma}_{p q}\right)+(p \sigma+\dot{q} \bar{\sigma}) \boldsymbol{\Gamma}_{p q}+\right. \\
\left.+\mathbf{B}_{p q}\right\}+\tilde{\mathbf{B}}_{1}(t, \mu, y, \bar{y}, \mathbf{Y}),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{aligned}
\left|\tilde{b}_{1}(t, \mu, y, \bar{y}, \mathbf{Y})\right| & =O\left(|y|^{N+1}+|y|\|\mathbf{Y}\|+\|\mathbf{Y}\|^{2}\right), \\
\mid \tilde{\mathbf{B}}_{1}(t, \mu, y, \bar{y}, \mathbf{Y}) \| & =O\left(|y|^{N+1}+|y|\|\mathbf{Y}\|+\|\mathbf{Y}\|^{2}\right),
\end{aligned}
\]

а $T$-периодические коэффициенты $b_{p q}$ и $\mathbf{B}_{p q}$ суть функции от $\gamma_{l n}$ и $\Gamma_{l n}$ с $l+n \leqslant p+q-1$ и обладают тем свойством, что членами в (Х.24), ортогональными $\xi^{*}$ и $\bar{\zeta}_{*}^{*}$, служат множители при $y^{p} \bar{y}^{q}$ и $\tilde{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}$.