Амплитуду бифуркационного решения можно определить при помощи любого хорошего линейного функционала от разности $\hat{\mathbf{Y}}(s, \mu)$. Наш выбор такого функционала в точности совпадает с тем, который был использован при изучении бифуркации нетривиальных $T$ периодических решений в § IX.10, т. е.
\[
a(\alpha)=\left[\hat{\mathbf{Y}}(s, \mu), \mathbf{Z}_{1}^{*}(s)\right]_{2 \pi n},
\]

где $Z_{1}^{*}(s)=Z_{1}^{*}(s+2 \pi n)$ дается формулами (XI.15) и (XI.16). При этом $\mathfrak{J} \mathbf{Z}_{1}^{*}=0$ и
\[
\begin{array}{c}
a(\alpha)=\alpha \text { для } \frac{m}{n}=\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \\
a(\alpha)=\alpha e^{i \varphi(\alpha)} \text { для } \frac{m}{n}
eq \frac{0}{1}, \frac{1}{2} .
\end{array}
\]

Для параметризации бифуркационного решения лучше использовать параметр $\alpha$, а не $\mu$. Вектор-функция $\hat{\mathbf{Y}}(s, \mu)$ разложима по степеням $\sqrt{\left|\mu-\mu_{0}\right|}$ всегда, когда $d \mu(0) / d \alpha=0$ и $d^{2} \mu(0) / d \alpha^{2}
eq 0$. В этом случае, как и в случае $d \mu(0) / d \alpha
eq 0$, разложения в ряды функций
\[
\begin{array}{l}
\mu \stackrel{\text { def }}{=} \mu(\alpha), \quad \mathbf{U}(s, \alpha) \stackrel{\text { det }}{=} \hat{\mathbf{U}}(s, \mu(\alpha), \quad \omega(\alpha) \stackrel{\text { def }}{=} \hat{\omega}(\mu(\alpha)), \\
\boldsymbol{\psi}(s, \alpha) \stackrel{\text { def }}{=} \hat{\psi}(t, \mu(\alpha)), \quad \Omega(\alpha) \stackrel{\text { det }}{=} \hat{\Omega}(\mu(\alpha)), \quad \mathbf{Y}(s, \alpha) \stackrel{\text { def }}{=} \hat{\mathbf{Y}}(s, \mu(\alpha)) \\
\end{array}
\]

содержат целые степени $\alpha$. Примем для производных обозначения
\[
\begin{array}{c}
(\cdot)_{n}=\frac{\partial^{n}(\cdot)}{\partial \mu^{n}} \text { при } \mu=\mu_{0}, \\
(\cdot)^{n}=\frac{\partial^{n}(\cdot)}{\partial \alpha^{n}} \text { при } \alpha=0
\end{array}
\]

и будем искать решение, определяемое функциями $\boldsymbol{\psi}(s, \alpha)=$ $=\psi(s+2 \pi n, \alpha), \Omega(\alpha)$ и $\mathbf{Y}(s, \alpha)=Y(s+2 \pi n, \alpha)$ в виде рядов. С другой стороны, функции $\hat{\mathrm{U}}(s, \mu)$ и $\hat{\omega}(\mu)$ рассматриваются как заданные; предполагается, что они известны из проведенного предварительного вычисления бифуркации Хопфа. Отсюда следует, например, что
\[
\omega^{(1)}=\mu^{(1)} \hat{\omega}_{1}
\]

и так далее, и поэтому (.) ${ }^{n}$ можно вычислить, если известны $\mu^{(1)}$, $\cdots, \mu^{(n)}$.

Чтобы $\Psi(s, \alpha)$ заведомо не совпадала с фазой производной от функции $\mathbf{U}(s, \alpha)$, потребуем, чтобы $\mathbf{Y}(s, \alpha)$ не содержала части, пропорциональной $\mathbf{U}(s)=Z_{0}(s)$, т. е. чтобы
\[
\left[\mathbf{Y}(s, \alpha), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}=0 .
\]
(Обсуждение смысла условия (XI.48) дано во введении к настоящей главе).