Соберем теперь результаты, полученные в этой главе. Решение было разложено в виде биортогональной суммы
\[
\mathbf{u}(t)=Z(t) \zeta(\mu, t)+\bar{Z}(t) \bar{\zeta}(\mu, t)+\mathbf{W}(t),
\]

где $\zeta(\mu, t)$-собственная функция оператора $-d / d t+\mathrm{f}_{u}(t, \mu \mid \cdot)$, соответствующая собственному значению $\sigma(\mu)$ с наибольшей вещественной частью,
\[
\begin{array}{l}
Z(t)=\left\langle\mathbf{u}(t), \xi^{*}(t)\right\rangle=\rho(t) \exp \left\{i\left[\omega_{0} t+\theta(t)\right]\right\}+ \\
+\sum_{p+q=2}^{N} \gamma_{p q}^{\prime}(t, \mu)[\rho(t)]^{p+q} \exp \left\{i(p-q)\left[\omega_{0} t+\theta(t)\right]\right\}+O\left(\varepsilon^{N+1}\right),(\mathrm{X} .117)
\end{array}
\]
a
\[
\mathbf{W}(t)=\sum_{p+p=2}^{N} \boldsymbol{\Gamma}_{q p}(t, \mu)[\rho(t)]^{p+q} \exp \left\{i(p-q)\left[\omega_{0} t+\theta(t)\right]\right\}+O\left(\varepsilon^{N+1}\right),
\]

где $\left\langle\mathbf{W}(t), \zeta^{*}\right\rangle=0$, число усечения $N$ неограничено, а $\rho(t), \theta(t)$ и $\mu$ зависят от параметра
\[
\varepsilon=\overline{\bar{\rho}}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \rho(\theta) d \theta,
\]

который представляет собой средний радиус профиля поперечного сечения тора. Во всех случаях $\mu_{2 !+1}=0$,
\[
\begin{aligned}
\mu & =\mu_{2} \varepsilon^{2}+\mu_{4} \varepsilon^{4}+\mu_{6} \varepsilon^{6}+\ldots+O\left(\varepsilon^{N+1}\right), \\
\rho(t) & =\varepsilon+\varepsilon^{n-3} \rho_{n-3}(\theta)+\varepsilon^{n-2} \rho_{n-2}(\theta)+\ldots+O\left(\varepsilon^{N+1}\right),
\end{aligned}
\]

где $n$-целое число, для которого $\lambda_{0}^{n}=1$, функции $\rho_{l}(\theta)$ определяются выражением (X.105) для $n$ нечетного и выражением (X.106) для $n=2 v$ четного, а $\bar{\rho}_{k}=0$, если $k \geqslant 1$. Для $\theta(t)$ имеем соотношение
\[
\begin{aligned}
\theta(t)+\varepsilon^{n-4} h_{n-4}(\theta(t))+\varepsilon^{n-3} h_{n-3}(\theta(t))+\ldots & = \\
& =\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right) t+\chi(t, \varepsilon), \quad|\dot{\chi}|=O\left(\varepsilon^{N}\right),
\end{aligned}
\]

где функции $h_{l}(\theta)$ даются формулами (X.114) и удовлетворяют условиям $h_{l}(\theta+(2 \pi / n))=h_{l}(\theta)$ и $\overline{\bar{h}}_{l}=0$.

Формулы предыдущего абзаца справедливы, если отношение $\omega_{0} /(2 \pi / T)$ частот в критической точке является иррациональным числом. Результаты для иррационального случая можно получить, считая, что $n \rightarrow \infty$, или более просто, положив все члены, содержащие $n$, равными нулю.

Поскольку приближенное решение с точностью до членов порядка $\boldsymbol{\varepsilon}^{N}$ ( $N$ неограничено) представляет собой суперпозицию $T$-периодических функций $\left(\zeta(\mu ; t), \gamma_{p q}^{\prime}(t, \mu), \Gamma_{p q}^{\prime}(t, \mu)\right.$ ) и полиномов от гармоник $e^{i \tau(t)}, \tau(t)=\omega_{0} t+\theta(t)$, то это решение имеет вид
\[
\mathbf{u}(t) \approx थ(t \tau(t))
\]

где $\tau(t)=\omega_{0} t+\theta(t)$. Функция $\mathcal{U}(\cdot, \cdot)$ является $T$-периодической по первому своему аргументу и $2 \pi$-периодической по второму аргументу. В самом деле, нетрудно показать, что $\tau(t) \approx F\left(t, \omega_{0} t+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right) t\right)$, $F\left(t+T, t^{\prime}\right)=F\left(t, t^{\prime}\right), F\left(t, t^{\prime}+2 \pi\right)=2 \pi+F\left(t, t^{\prime}\right)$, где $F$-функция, являющаяся решением следующего функционального уравнения относительно $\omega_{0} t+\theta$ :
\[
\begin{aligned}
\omega_{0} t+\theta+e^{n-4} H_{n-4}\left(t, \omega_{0} t+\theta\right)+e^{n-3} H_{n-3}\left(t, \omega_{0} t+\theta\right) & +\ldots= \\
& =\left(\omega_{0}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)\right) t,
\end{aligned}
\]

а $H_{n-4}\left(t, \omega_{0} t+\theta\right)=H_{n-4}\left(t+T, \omega_{9} t+\theta\right)=h_{n-4}(\theta)$, где $h_{n-4}(\theta)$ – полином относительно экспонент и
\[
\begin{aligned}
\exp (i k n \theta) & =\exp \left\{i k\left[n\left(\omega_{0} t+\theta\right)-n \omega_{0} t\right]\right\}= \\
& =\exp \left(-\frac{2 \pi i m k t}{T}\right) \exp \left\{i k\left[n\left(\omega_{0} t+\theta\right)\right]\right\},
\end{aligned}
\]

так как $\omega_{0}=2 \pi m / n T$. Поэтому
\[
\mathbf{u}(t) \approx \mathcal{U}(t, \tau(t)) \approx \mathbf{V}\left(t,\left[\omega_{0}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)\right] t\right),
\]

где функция $\mathbf{V}$, подобно $\mathcal{U}$, является $T$-периодической по своему первому аргументу и $2 \pi$-периодической по второму аргументу. Итак, мы показали, что каждое приближение ( $N$ любое) решения представляет собой дважды периодическую функцию, являющуюся квазипериодической, если $\left[\omega_{0}+\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)\right] T /(2 \pi)$ есть иррациональное число.