Ограничиваясь рассмотрением точки касания второго порядка, разложим множитель $F_{\mu}(\mu(\varepsilon), \varepsilon)$ в ряд по степеням ( $\left.\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)$ и в слу-

Рис. II.6. Устойчивость решений, ответвляющихся в точке возврата второго порядка.

чае (A) найдем
\[
\left[\begin{array}{l}
\sigma^{(1)}(\varepsilon) \\
\sigma^{(2)}(\varepsilon)
\end{array}\right]=-\frac{1}{2} \hat{s} V \overline{\mathscr{D}_{1}}\left[\begin{array}{r}
\mu_{\varepsilon}^{(1)}(\varepsilon) \\
-\mu_{\varepsilon}^{(1)}(\varepsilon)
\end{array}\right]\left[\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)^{2}+O\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)^{3}\right],
\]

где $\hat{s}=\operatorname{sgn} F_{\mu \mu}$. В случае (Б) раз.тожим $\sigma(\mu)=F_{\varepsilon}(\mu, \varepsilon(\mu))$ в ряд по степеням $\left(\mu-\mu_{0}\right)$ и найдем, что
\[
\left[\begin{array}{l}
\sigma^{(1)}(\mu) \\
\sigma^{(2)}(\mu)
\end{array}\right]=-\frac{1}{2} s V \overline{\mathscr{D}}_{2}\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1
\end{array}\right]\left[\left(\mu-\mu_{0}\right)^{2}+O\left(\mu-\mu_{0}\right)^{3}\right],
\]

где $s=\operatorname{sgn} F_{\varepsilon \varepsilon}$. Из (II.55) и (II.56) следует, что на каждой ветви, проходящей через точку возврата второго порядка, смена устойчивости происходит тогда и только тогда, когда $\mu_{\varepsilon}(\varepsilon)$ изменяет знак. Возможные распределения устойчивости в точке возврата представлены на рис. II.6.