Рассмотрим эволюционное уравнение вида
$$\frac{d\mathbf{u}}{dt}=\tilde{\mathcal{F}}(\mu ,\mathbf{u},\delta )\text{ для }\mathbf{u}\text{ в }H,$$

где $H$ есть ${\mathbb{R}}^n$ или некоторое другое функциональное пространство, определенное для бесконечномерных задач, таких как задачи с дифференциальными уравнениями в частных производных, удовлетворяющими условиям, принятым в §§ VI.6-8. Далее будем считать, что $\mathbf{u}=0$ есть решение уравнения
$$\tilde{\mathcal{F}}(\mu ,\mathbf{u},0)=0,$$

которое строго теряет устойчивость, когда $\mu$, возрастая, проходит через нуль. Отсюда следует, что (VI.64) имеет двойную точку бифуркации $(\mu ,\mathbf{u})=(0,0)$. Спектральная задача, связанная с анализом устойчивости решения $\mathbf{u}=0$, описывается уравнением
$$\sigma (\mu )\zeta (\mu )={\tilde{\mathcal{F}}}_a(\mu ,0,0\mid \zeta (\mu )).$$

Для критического значения $\sigma (0)=0$ есть изолированное простое собственное значение оператора ${\mathcal{F}}_u(\cdot )$ и сопряженного оператора ${\mathcal{F}}_u^{\ast }(\cdot )$, т. е.
$${\mathcal{F}}_u(\zeta )\stackrel{\text{ def }}{=}{\tilde{\mathcal{F}}}_u(0,0,0\mid \zeta )=0,\zeta =\zeta (0),$$

и
$${\mathcal{F}}^{\ast }\left({\zeta }^{\ast }\right)=0.$$

Все другие собственные значения оператора ${\mathcal{F}}_a(\cdot )$ имеют отрицательные вещественные части. Оператор ${\mathcal{F}}_u(\cdot )$, такой, что уравнение
$${\mathcal{F}}_a(v)=\mathbf{f}$$

имеет единственное решение с точностью до аддитивного члена, пропорционального вектору $\zeta$, который удовлетворяет уравнению (VI.65), если
$$⟨\mathbf{f},{\zeta }^{\ast }⟩=0,$$

где ${\zeta }^{\ast }$ удовлетворяет уравнению (VI.66), и
$$\mathbf{v}=\mathit{\zeta }+\mathbf{w},⟨\mathbf{w},{\zeta }^{\ast }⟩=0;$$
$\mathbf{w}={\mathcal{F}}_u^{-1}(f)$, а ${\mathcal{F}}_u^{-1}(\cdot )$ представляет собой корректно определенный оператор, обладающий свойством $⟨{\mathcal{F}}_u^{-1}(\mathbf{f}),{\zeta }^{\ast }⟩=0$ для любого $\mathbf{f}$, удовлетворяющего условию (VI.68). Строгая потеря устойчивости решения $\mathbf{u}=0$ уравнения (Vl.64), когда $\mu$, возрастая, проходит через нуль, приводит к неравенству
$${\sigma }_{\mu }(0)=⟨{\mathcal{F}}_{\mu z}(\zeta ),{\zeta }^{\ast }⟩>0,$$

где
$${\mathcal{F}}_{\mu u}(\cdot )\stackrel{\text{ def }}{=}{\tilde{\mathcal{F}}}_{\mu u}(0,0,0\mid \cdot ).$$

Обращаясь теперь к (V1.63), будем считать, что $\delta$ мало, и будем разыскивать изолированные стационарные решения, разрушающие бифуркацию в $(0,0)$, при условии, что
$$⟨{\mathcal{F}}_{\delta },{\zeta }^{\ast }⟩eq0.$$

Напомним, что ${\mathcal{F}}_{\delta }\stackrel{\text{ del }}{=}{\tilde{\mathcal{F}}}_{\delta }(0,0,0)$. Удобно ввести амплитуду
$$\epsilon \stackrel{\text{ def }}{=}⟨\mathbf{u},{\zeta }^{\ast }⟩.$$

Условие (VI.71) и теорема о неявной функции гарантируют существование решения $\mathbf{u}(\mu ,\epsilon )$ и $\delta =\mathrm{\Delta }(\mu ,\epsilon )$ уравнений
$$\tilde{\mathcal{F}}(\mu ,\mathbf{u}(\mu ,\epsilon ),\mathrm{\Delta }(\mu ,\epsilon ))=0,\epsilon =⟨\mathbf{u}(\mu ,\epsilon ),{\zeta }^{\ast }⟩.$$

Полагая в (VI.73) $\epsilon =0$, находим, что
$$\mathbf{u}(\mu ,0)=0\text{ и }\mathrm{\Delta }(\mu ,0)=0.$$

Дифференцирование (VI.73) по $\epsilon$ при $\epsilon =0$ приводит к соотношениям
$${\mathcal{F}}_u\left({\mathbf{u}}_{\epsilon }\right)+{\mathcal{F}}_{\delta }{\mathrm{\Delta }}_{\epsilon }=0,1=⟨{\mathbf{u}}_{\epsilon },{\zeta }^{\ast }⟩.$$

Из условия разрешимости (VI.68) получаем ${\mathrm{\Delta }}_{\epsilon }=0$ и
$${\mathbf{u}}_{\epsilon }=\zeta \text{. }$$

Вторые производные от (VI.73) имеют вид
$$\begin{array}{c}{\mathcal{F}}_u\left({\mathbf{u}}_{\epsilon \epsilon }\right)+{\mathcal{F}}_{ua}(\zeta \mid \zeta )+{\mathcal{F}}_{\delta }{\mathrm{\Delta }}_{\epsilon \epsilon }=0,\\ {\mathcal{F}}_u\left({\mathbf{u}}_{\mu \epsilon }\right)+{\mathcal{F}}_{\mu u}(\zeta )+{\mathcal{F}}_{\delta }{\mathrm{\Delta }}_{\mu \epsilon }=0,\end{array}$$

где ${\mathbf{u}}_{\text{ее }}$ и ${\mathbf{u}}_{\mu \epsilon }$ ортогональны ${\zeta }^{\ast }$. Условие разрешимости (VI.68) приводит к равенствам
$$\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta }}_{\epsilon \epsilon }=-\frac{⟨{\mathcal{F}}_{nu}(\zeta \mid \zeta ),{\zeta }^{\ast }⟩}{⟨{\mathcal{F}}_{\delta },{\zeta }^{\ast }⟩},\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mu \epsilon }=-\frac{⟨{\mathcal{F}}_{\mu u}(\zeta ),{\zeta }^{\ast }⟩}{⟨{\mathcal{F}}_{\delta },{\zeta }^{\ast }⟩}=-\frac{{\sigma }_{\mu }(0)}{⟨{\mathcal{F}}_{\delta },{\zeta }^{\ast }⟩}eq0.\end{array}$$

Если ${\mathrm{\Delta }}_{\epsilon \epsilon }$ и ${\mathrm{\Delta }}_{\mu \epsilon }$ удовлетворяют (V1.79) и (VI.80), то (VI.77) и (VI.78) можно единственным образом разрешить. Обращаясь теперь к третьим производным, находим
$$\begin{array}{l}{\mathcal{F}}_n\left({\mathbf{u}}_{\epsilon \epsilon \mathcal{E}}\right)+{\mathrm{\Delta }}_{\epsilon \epsilon \epsilon }{\mathcal{F}}_{\delta }+3{\mathrm{\Delta }}_{\epsilon \epsilon }{\mathcal{F}}_{u\delta }(\zeta )+3{\mathcal{F}}_{uu}(\zeta \mid {\mathbf{u}}_{\epsilon \mathcal{E}})+{\mathcal{F}}_{uun}(\zeta |\zeta |\zeta )=0,\\ {\mathcal{F}}_u\left({\mathbf{u}}_{\mu \epsilon \epsilon }\right)+{\mathrm{\Delta }}_{\mu \epsilon \epsilon }{\mathcal{F}}_{\delta }+{\mathcal{F}}_{\delta \mu }{\mathrm{\Delta }}_{\epsilon \epsilon }+{\mathcal{F}}_{\mu u}\left(u_{\epsilon \epsilon }\right)+2{\mathcal{F}}_{u\delta }(\zeta ){\mathrm{\Delta }}_{\mu \epsilon }+\\ +2{\mathcal{F}}_{au}(\zeta \mid {\mathbf{u}}_{\mu \epsilon })+{\mathcal{F}}_{\mu ut}(\zeta ,\zeta )=0\text{, }\\ {\mathcal{F}}_u\left({\mathbf{u}}_{\mu \mu \epsilon }\right)+{\mathrm{\Delta }}_{\mu \mu \epsilon }{\mathcal{F}}_{,}+{\mathcal{F}}_{\mu \mu u}(\zeta )+2{\mathcal{F}}_{\mu u}\left({\mathbf{u}}_{\mu \epsilon }\right)+2{\mathcal{F}}_{\mu \delta }{\mathrm{\Delta }}_{\mu \epsilon }=0.\end{array}$$

Среди векторов, ортогональных ${\zeta }^{\ast }$, эти уравнения имеют единственворяется условие (VI.68).
Продолжая этот процесс далее, получим ряд Тейлора
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }(\mu ,\epsilon )=\frac{1}{2}[{\mathrm{\Delta }}_{\epsilon \epsilon }{\epsilon }^2+2{\mathrm{\Delta }}_{\epsilon \mu }\epsilon \mu ]& +\frac{1}{3!}[{\mathrm{\Delta }}_{\epsilon \epsilon \epsilon }{\epsilon }^3+3{\mathrm{\Delta }}_{\mu \epsilon \epsilon }\mu {\epsilon }^2+\\ & +3{\mathrm{\Delta }}_{\mu \mu \epsilon }{\mu }^2\epsilon ]+O[\epsilon (|\mu |+|\epsilon |{)}^3].\end{array}$$

Уравнение (VI.84) имеет вид (III.26). Теперь мы переходим к отысканию функции $\mu (\epsilon ,\delta$ ) методом последовательных приближений в ${\mathbb{R}}^{\mathbf{1}}$. Итак, задача отыскания изолированных решений, разрушающих бифуркацию в двойной точке, приведена к одномерной задаче. Мы оставляем читателю в качестве упражнения доказательство того, что задача устойчивости изолированных решений может быть сведена к одномерной задаче, как в (III.32).