Рассмотрим эволюционное уравнение вида
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\tilde{\mathscr{F}}(\mu, \mathbf{u}, \delta) \text { для } \mathbf{u} \text { в } H,
\]

где $H$ есть $\mathbb{R}^{n}$ или некоторое другое функциональное пространство, определенное для бесконечномерных задач, таких как задачи с дифференциальными уравнениями в частных производных, удовлетворяющими условиям, принятым в §§ VI.6-8. Далее будем считать, что $\mathbf{u}=0$ есть решение уравнения
\[
\tilde{\mathscr{F}}(\mu, \mathbf{u}, 0)=0,
\]

которое строго теряет устойчивость, когда $\mu$, возрастая, проходит через нуль. Отсюда следует, что (VI.64) имеет двойную точку бифуркации $(\mu, \mathbf{u})=(0,0)$. Спектральная задача, связанная с анализом устойчивости решения $\mathbf{u}=0$, описывается уравнением
\[
\sigma(\mu) \zeta(\mu)=\tilde{\mathscr{F}}_{a}(\mu, 0,0 \mid \zeta(\mu)) .
\]

Для критического значения $\sigma(0)=0$ есть изолированное простое собственное значение оператора $\mathscr{F}_{u}(\cdot)$ и сопряженного оператора $\mathscr{F}_{u}^{*}(\cdot)$, т. е.
\[
\mathscr{F}_{u}(\zeta) \stackrel{\text { def }}{=} \tilde{\mathscr{F}}_{u}(0,0,0 \mid \zeta)=0, \quad \zeta=\zeta(0),
\]

и
\[
\mathscr{F}^{*}\left(\zeta^{*}\right)=0 .
\]

Все другие собственные значения оператора $\mathscr{F}_{a}(\cdot)$ имеют отрицательные вещественные части. Оператор $\mathscr{F}_{u}(\cdot)$, такой, что уравнение
\[
\mathscr{F}_{a}(v)=\mathbf{f}
\]

имеет единственное решение с точностью до аддитивного члена, пропорционального вектору $\zeta$, который удовлетворяет уравнению (VI.65), если
\[
\left\langle\mathbf{f}, \zeta^{*}\right\rangle=0,
\]

где $\zeta^{*}$ удовлетворяет уравнению (VI.66), и
\[
\mathbf{v}=\boldsymbol{\zeta}+\mathbf{w},\left\langle\mathbf{w}, \zeta^{*}\right\rangle=0 ;
\]
$\mathbf{w}=\mathscr{F}_{u}^{-1}(f)$, а $\mathscr{F}_{u}^{-1}(\cdot)$ представляет собой корректно определенный оператор, обладающий свойством $\left\langle\mathcal{F}_{u}^{-1}(\mathbf{f}), \zeta^{*}\right\rangle=0$ для любого $\mathbf{f}$, удовлетворяющего условию (VI.68). Строгая потеря устойчивости решения $\mathbf{u}=0$ уравнения (Vl.64), когда $\mu$, возрастая, проходит через нуль, приводит к неравенству
\[
\sigma_{\mu}(0)=\left\langle\mathscr{F}_{\mu z}(\zeta), \zeta^{*}\right\rangle>0,
\]

где
\[
\mathscr{F}_{\mu u}(\cdot) \stackrel{\text { def }}{=} \tilde{\mathscr{F}}_{\mu u}(0,0,0 \mid \cdot) .
\]

Обращаясь теперь к (V1.63), будем считать, что $\delta$ мало, и будем разыскивать изолированные стационарные решения, разрушающие бифуркацию в $(0,0)$, при условии, что
\[
\left\langle\mathscr{F}_{\delta}, \zeta^{*}\right\rangle
eq 0 .
\]

Напомним, что $\mathscr{F}_{\delta} \stackrel{\text { del }}{=} \tilde{\mathscr{F}}_{\delta}(0,0,0)$. Удобно ввести амплитуду
\[
\varepsilon \xlongequal{\text { def }}\left\langle\mathbf{u}, \zeta^{*}\right\rangle .
\]

Условие (VI.71) и теорема о неявной функции гарантируют существование решения $\mathbf{u}(\mu, \varepsilon)$ и $\delta=\Delta(\mu, \varepsilon)$ уравнений
\[
\tilde{\mathscr{F}}(\mu, \mathbf{u}(\mu, \varepsilon), \Delta(\mu, \varepsilon))=0, \quad \varepsilon=\left\langle\mathbf{u}(\mu, \varepsilon), \quad \zeta^{*}\right\rangle .
\]

Полагая в (VI.73) $\varepsilon=0$, находим, что
\[
\mathbf{u}(\mu, 0)=0 \quad \text { и } \quad \Delta(\mu, 0)=0 .
\]

Дифференцирование (VI.73) по $\varepsilon$ при $\varepsilon=0$ приводит к соотношениям
\[
\mathscr{F}_{u}\left(\mathbf{u}_{\varepsilon}\right)+\mathscr{F}_{\delta} \Delta_{\varepsilon}=0, \quad 1=\left\langle\mathbf{u}_{\varepsilon}, \zeta^{*}\right\rangle .
\]

Из условия разрешимости (VI.68) получаем $\Delta_{\varepsilon}=0$ и
\[
\mathbf{u}_{\varepsilon}=\zeta \text {. }
\]

Вторые производные от (VI.73) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{F}_{u}\left(\mathbf{u}_{\varepsilon \varepsilon}\right)+\mathscr{F}_{u a}(\zeta \mid \zeta)+\mathscr{F}_{\delta} \Delta_{\varepsilon \varepsilon}=0, \\
\mathscr{F}_{u}\left(\mathbf{u}_{\mu \varepsilon}\right)+\mathscr{F}_{\mu u}(\zeta)+\mathscr{F}_{\delta} \Delta_{\mu \varepsilon}=0,
\end{array}
\]

где $\mathbf{u}_{\text {ее }}$ и $\mathbf{u}_{\mu \varepsilon}$ ортогональны $\zeta^{*}$. Условие разрешимости (VI.68) приводит к равенствам
\[
\begin{array}{c}
\Delta_{\varepsilon \varepsilon}=-\frac{\left\langle\mathscr{F}_{n u}(\zeta \mid \mathscr{\zeta}), \zeta^{*}\right\rangle}{\left\langle\mathscr{F}_{\delta}, \zeta^{*}\right\rangle}, \\
\Delta_{\mu \varepsilon}=-\frac{\left\langle\mathscr{F}_{\mu u}(\zeta), \zeta^{*}\right\rangle}{\left\langle\mathscr{F}_{\delta}, \zeta^{*}\right\rangle}=-\frac{\sigma_{\mu}(0)}{\left\langle\mathscr{F}_{\delta}, \zeta^{*}\right\rangle}
eq 0 .
\end{array}
\]

Если $\Delta_{\varepsilon \varepsilon}$ и $\Delta_{\mu \varepsilon}$ удовлетворяют (V1.79) и (VI.80), то (VI.77) и (VI.78) можно единственным образом разрешить. Обращаясь теперь к третьим производным, находим
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{F}_{n}\left(\mathbf{u}_{\varepsilon \varepsilon \mathcal{E}}\right)+\Delta_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon} \mathscr{F}_{\delta}+3 \Delta_{\varepsilon \varepsilon} \mathscr{F}_{u \delta}(\zeta)+3 \mathscr{F}_{u u}\left(\zeta \mid \mathbf{u}_{\varepsilon \mathcal{E}}\right)+\mathscr{F}_{u u n}(\zeta|\zeta| \zeta)=0, \\
\mathscr{F}_{u}\left(\mathbf{u}_{\mu \varepsilon \varepsilon}\right)+\Delta_{\mu \varepsilon \varepsilon} \mathscr{F}_{\delta}+\mathscr{F}_{\delta \mu} \Delta_{\varepsilon \varepsilon}+\mathscr{F}_{\mu u}\left(u_{\varepsilon \varepsilon}\right)+2 \mathscr{F}_{u \delta}(\zeta) \Delta_{\mu \varepsilon}+ \\
+2 \mathscr{F}_{a u}\left(\zeta \mid \mathbf{u}_{\mu \varepsilon}\right)+\mathscr{F}_{\mu u t}(\zeta, \zeta)=0 \text {, } \\
\mathscr{F}_{u}\left(\mathbf{u}_{\mu \mu \varepsilon}\right)+\Delta_{\mu \mu \varepsilon} \mathscr{F}_{,}+\mathscr{F}_{\mu \mu u}(\zeta)+2 \mathscr{F}_{\mu u}\left(\mathbf{u}_{\mu \varepsilon}\right)+2 \mathscr{F}_{\mu \delta} \Delta_{\mu \varepsilon}=0 . \\
\end{array}
\]

Среди векторов, ортогональных $\zeta^{*}$, эти уравнения имеют единственворяется условие (VI.68).
Продолжая этот процесс далее, получим ряд Тейлора
\[
\begin{aligned}
\Delta(\mu, \varepsilon)=\frac{1}{2}\left[\Delta_{\varepsilon \varepsilon} \varepsilon^{2}+2 \Delta_{\varepsilon \mu} \varepsilon \mu\right] & +\frac{1}{3 !}\left[\Delta_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon} \varepsilon^{3}+3 \Delta_{\mu \varepsilon \varepsilon} \mu \varepsilon^{2}+\right. \\
& \left.+3 \Delta_{\mu \mu \varepsilon} \mu^{2} \varepsilon\right]+O\left[\varepsilon(|\mu|+|\varepsilon|)^{3}\right] .
\end{aligned}
\]

Уравнение (VI.84) имеет вид (III.26). Теперь мы переходим к отысканию функции $\mu(\varepsilon, \delta$ ) методом последовательных приближений в $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}$. Итак, задача отыскания изолированных решений, разрушающих бифуркацию в двойной точке, приведена к одномерной задаче. Мы оставляем читателю в качестве упражнения доказательство того, что задача устойчивости изолированных решений может быть сведена к одномерной задаче, как в (III.32).