Дадим теперь некоторые простые примеры, в которых два конических сечения пересекаются или в четырех точках (включая начало), или в двух различных простых точках, не лежащих в бесконечности (см. упражнения для других случаев). Ограничимся, кроме того, случаем, когда нулевое решение устойчиво при $\mu<0$ и теряет устойчивость при $\mu>0$
Пример V.I
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{1}}{d t}=\mu u_{1}-\mu u_{2}-u_{1}^{2}+u_{2}^{2}, \\
\frac{d u_{2}}{d t}=\mu u_{2}+u_{1} u_{2} .
\end{array}
\]

Конические сечения $\S$ V. 8 пересекаются в точках $(0,0), A=(1,0)$, $B=(-1,2), C=(-1,-1)$. Линейная теория устойчивости может быть применена для каждой точки.

Находим, что $(0,0)$ есть узел (устойчивый при $\mu<0$ и неустойчивый при $\mu>0$ ), а $\mu A, \mu B, \mu C$ представляют собой седловые точки, и поэтому бифуркационные решєния неустойчивы с обеих сторон от $\mu=0$.
Пример V. 2
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{1}}{d t}=3 \mu u_{1}-5 \mu u_{2}-u_{1}^{2}+u_{2}^{2}, \\
\frac{d u_{2}}{d t}=2 \mu u_{1}-u_{1} u_{2} .
\end{array}
\]

Конические сечения $\S$ V. 8 пересекаются в точках $(0,0)$ и $A=(0,5)$. Начало и бифуркационное решение $\mu A$ являются фокусами с одним и тем же характером устойчивости. (Устойчивые при $\mu<0$ и неустойчивые при $\mu>0$.)
Пример V. 3
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{1}}{d t}=3 \mu u_{1}-3 \mu u_{2}-u_{1}^{2}+u_{2}^{2}, \\
\frac{d u_{2}}{d t}=\mu u_{1}-u_{1} u_{2} .
\end{array}
\]

Конические сечения $\S$ V. 8 пересекаются в точках $(0,0), A=(2,1)$, $B=(0,3), C=(1,1)$. Бифуркационное решение $\mu B$ и начало являются фокусами с одинаковым характером устойчивости (устойчивые при $\mu<0$ и неустойчивые при $\mu>0$ ). Бифуркационное решение $\mu \mathrm{A}$ представляет собой узел, устойчивый при $\mu>0$ и неустойчивый при $\mu<0$, а решение $\mu C$ есть седловая точка, неустойчивая как при $\mu>0$, так и при $\mu<0$.
Пример V. 4
\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{1}}{d t}=\mu u_{1}-u_{1}^{2}-u_{1} u_{2}, \\
\frac{d u_{2}}{d t}=-2 \mu u_{1}+2 \mu u_{2}+u_{1} u_{2}-u_{2}^{2} .
\end{array}
\]

Конические сечения $\S$ V. 8 пересекаются в точках $(0,0), A=(-1,2)$, $B=(0,2), C=(1 / 2,1 / 2)$. Бифуркационное решение $\mu B$ представляет собой узел, подобный началу, но с противоположным характером устойчивости (устойчивый при $\mu>0$ и неустойчивый при $\mu<0$ ). Два других бифуркационных решения представляют собой седловые точки (неустойчивые как при $\mu>0$, так и при $\mu<0$ ).

\[
\begin{array}{l}
\frac{d u_{1}}{d t}=\mu u_{2}+u_{1} u_{2}, \\
\frac{d u_{2}}{d t}=-\mu u_{1}+\mu u_{2}+u_{1}^{9}+u_{2}^{2} .
\end{array}
\]

Конические сечения § V. 8 пересекаются в точках $(0,0)$ и $A=(1,0)$. Начало является фокусом (устойчивым при $\mu<0$ и неустойчивым при $\mu>0$ ), а бифуркационное решение $\mu A$ представляет собой седло (неустойчивое как при $\mu<0$, так и при $\mu>0$ ).

Комментарий к примерам V.1-5. Некоторые общие свойства устойчивости бифуркационных решений можно установить из следующей геометрической интерпретации задачи на собственные значения для $\mathcal{y}_{0}$. Рассмотрим точки пересечения двух конических сечений
\[
\hat{f}_{10}\left(\hat{u}_{10}, \hat{u}_{20}\right)=0, \hat{f}_{20}\left(\hat{u}_{10}, \hat{u}_{20}\right)=0
\]

и предположим, что во всех таких точках не происходит взаимного касания кривых. Тогда
\[
\begin{aligned}
\operatorname{det} \mathcal{Y}_{0} & =\frac{\partial \hat{f}_{20}}{\partial \hat{u}_{10}} \frac{\partial \hat{f}_{20}}{\partial \hat{u}_{20}}-\frac{\partial \hat{f}_{10}}{\partial \hat{u}_{20}} \frac{\partial \hat{f}_{20}}{\partial \hat{u}_{10}}= \\
& =\left(
abla \hat{f}_{10} \wedge
abla \hat{f}_{20}\right) \cdot \hat{k}=\gamma_{10} \gamma_{20},
\end{aligned}
\]

где $\hat{k}=\hat{i} \wedge \hat{j}$, $\hat{i}$ и $\hat{j}$-ортонормированные базисные векторы, направленные вдоль координатных осей, а
\[

abla \hat{f}_{l 0}=\left(\frac{\partial \hat{f}_{t 0}}{\partial \hat{u}_{10}}, \frac{\partial \hat{f}_{l 0}}{\partial \hat{u}_{20}}\right)
\]
– вектор градиента $\hat{f_{t 0}}$ в точке пересечения и, следовательно, ортогональный коническому сечению ( $\hat{f}_{t 0}=0$ ).

Қаждое коническое сечение имеет однозначную кривизну (кри* визна равна нулю, если коническое сечение является произведением прямых), поэтому если взять две последовательные (невырожденные) точки пересечения на одной регулярной дуге какого-либо из этих конических сечений (см. рис. V.6), то векторы $
abla \hat{f}_{1 v} \wedge
abla \hat{f}_{20}$ будут иметь противоположные направления в этих Рис. V.6. точках.

Для случая пересекающихся гипербол мы должны проводить раз. личие между случаем, когда асимптоты гипербол перемежаются, как на рис. V.7, и противоположным случаем, представленным на рис. V.8. По этим рисункам замечаем, что знаки $\operatorname{det} \mathscr{y}_{0}$ в точках пересечения

Рис. V.8.
(включая начало) имеют следующие распределения:
1) $(+,+,+,-)$, или $(-,-,-,+)$, или $(+,+)$, или $(-,-)$

для двух гипербол с перемежающимися асимптотами и
2) (+, +, -, -) или (+, -) в другом случае.
Этот результат строго доказан в статье Маклеода и Саттингера (1973) (ссылку см. в § V.7).

В примере V. 1 определитель имеет знаки (,,,+—$)$, в прнмере V. 2 -знаки $(+,+)$, в примере V. $3(+,+,+,-)$; при этом во всех примерах началу приписывается знак «十».

В примере V. 5 знаки имеют распределение $(+,-)$, тогда как для примера V. 4 имеем $(+,+,-,-)$, где началу соответствует знак «+».

Устойчивость решения, для которого якобиан имеет знак «+», остается неопределенной, и из этих результатов нельзя установить

Рис. V.9.

связь между устойчивостью различных решений, для которых якобиан имеет знак «十».
Пример V.6. Рассмотрим дифференциальную систему в $\mathbb{R}^{2}$
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d t}=\mu x_{1}-x_{1}^{2}-2 x_{1} x_{2}, \\
\frac{d x_{2}}{d t}=(\mu-\sigma) x_{2}+x_{1} x_{2}+x_{2}^{2},
\end{array}
\]

где $\sigma$-фиксированный параметр, а $\mu$-бифуркационный параметр. Если $\sigma=0$, то нуль-двойное полупростое собственное значение линеаризованного оператора при $\mu=0$. Если считать, что $\sigma>0$, то решения можно представить как на рис. V.9. Эти решения даются значениями
(1) $x_{1}=0$,
\[
x_{2}=0 \text {; }
\]
(2) $x_{1}=0$,
\[
x_{2}=\sigma-\mu \text {; }
\]
(3) $x_{1}=\mu$,
\[
x_{2}=0 \text {; }
\]
(4) $x_{1}=2 \sigma-3 \mu$, $x_{2}=2 \mu-\sigma$.

Точки $x_{1}=0, x_{2}=\sigma / 3$ при $\mu=2 \sigma / 3$ и $x_{1}=\sigma / 2, x_{2}=0$ при $\mu=\sigma / 2$ являются точками вторичной бифуркации.

Для определения характера устойчивости стационарного решения установим знаки вещественных частей двух собственных значений для этого решения. Эти знаки указаны на рис. V.9. Решение (4) устойчиво (,– ) для суперкритических точек $\mu>\sigma / 2$ вблизи точки $\left(x_{1}, x_{2}\right)=(\sigma / 2,0)$ вторичной бифуркации и неустойчиво $(+,+)$ для субкритических точек $\mu<2 \sigma / 3$, близких к точке $\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0, \sigma / 3)$ вторичной бифуркации. Между этими двумя точками два комплексносопряженных собственных значения пересекают мнимую ось. Для того чтобы это показать, положим
\[
\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(2 \sigma-3 \mu+x_{1}^{\prime}, 2 \mu-\sigma+x_{2}^{\prime}\right),
\]

где $\left(x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right)$ удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}^{\prime}}{d t}=(3 \mu-2 \sigma)\left(x_{1}^{\prime}+2 x_{2}^{\prime}\right)-x_{1}^{\prime 2}-2 x_{1}^{\prime} x_{2}^{\prime}, \\
\frac{d x_{2}^{\prime}}{d t}=(2 \mu-\sigma)\left(x_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}\right)+x_{1}^{\prime} x_{2}^{\prime}+x_{2}^{\prime 2} .
\end{array}
\]

Собственные значения линеаризованной системы удовлетворяют соотношениям
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{1} \gamma_{2}=(2 \mu-\sigma)(2 \sigma-3 \mu)>0, \\
\gamma_{1}+\gamma_{2}=5 \mu-3 \sigma .
\end{array}
\]

Если $\mu=3 \sigma / 5$, то два собственных значения лежат на мнимой оси.
В гл. VII и VIII будет показано, что при пересечении парой комплексно-сопряженных собственных значений мнимой оси рождается периодическое по времени решение исходной задачи. Это обстоятельбифуркация является вырожденной: она имеет место для единственного значения $\mu=3 \sigma / 5$. Если в дифференциальной системе добавить члены более высокого порядка, то получим невырожденную бифуркацию Хопфа, как показано на рис. V.9.