Сначала определим амплитуду как проекцию на собственное подпространство, ассоциированное с сопряженным собственным вектором $y_{\mathrm{t}}=y_{1}(0)$, принадлежащим собственному значению $\xi_{1}(0)=0$ :
\[
\varepsilon=\left\langle\mathbf{u}, \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\right\rangle .
\]
Затем будем разыскивать решения в виде степенных рядов по $\varepsilon$ :
\[
\left[\begin{array}{l}
\mathrm{u}(\varepsilon) \\
\mu(\varepsilon)
\end{array}\right]=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{\bar{n} !}\left[\begin{array}{l}
\mathbf{u}_{n} \\
\mu_{n}
\end{array}\right] .
\]
Будем предполагать, что $\mathbf{f}(\mu, \mathbf{u})$ аналитическая ${ }^{1}$ ) по ( $\left.\mu, \mathbf{u}\right)$ в окрест-
1) Если $f(\mu, u)$ достаточно гладкая, но не аналитическая, наше построение дает производные от $u(\varepsilon)$ и $\mu(\varepsilon)$ до некоторого порядка, а усеченные ряды Тейлора (VI.8) дают асимптотическое разложение решения.
ности $(0,0)$. После подстановки (VI.8) в (VI.1) находим в результате приравнивания нулю совокупностей членов одинакового порядка:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{f}_{u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)=0 \\
\mathbf{f}_{u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{2}\right)+2 \mu_{1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)+\mathbf{f}_{u u}\left(0\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right)=0 \\
\mathbf{f}_{u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{3}\right)+3 \mu_{1} \mathbf{f}_{u u u}\left(0\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right)+3 \mu_{1}^{2} \mathbf{f}_{u \mu \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)+ \\
+3 \mu_{1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{2}\right)+3 \mathbf{f}_{u a}\left(0\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{2}\right)+ \\
+3 \mu_{2} \mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)+\mathbf{f}_{u u a}\left(0\left|\mathbf{u}_{\mathbf{i}}\right| \mathbf{u}_{\mathbf{i}} \mid \mathbf{u}_{1}\right)=0
\end{array}
\]
(VI.9),
$(\mathrm{VI} .9)_{2}$
и вообще
\[
\mathbf{f}_{u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{n}\right)+n \mu_{n-1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)+\mathbf{k}_{n}=0,
\]
(V1.9),
где $\mathbf{k}_{n}$ зависит от членов более низкого порядка. Уравнения (VI.9) необходимо решить, принимая во внимание условие нормировки (VI.7), которое приводит к условиям
\[
\left\langle\mathbf{u}_{1}, \mathbf{y}_{1}\right\rangle=1,\left\langle\mathbf{u}_{n}, \mathbf{y}_{1}\right\rangle=0 \text { для } n>1 .
\]
Решение задачи (IV.9), и (VI.10) получаем немедленно, так как задача на собственные значения $\mathbf{f}_{n}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)=\mathbf{A}(0) \cdot \mathbf{u}_{1}=0$ с $\left\langle\mathbf{u}_{1}, \mathbf{y}_{1}\right\rangle=1$ имеет только одно решение:
\[
\mathrm{u}_{1}=\mathrm{x}_{1} \text {. }
\]
Таким путем мы исключаем решение $\mathrm{u}=0$ (VI.1).
Другие задачи в общем случае неразрешимы. Однако они могут быть сделаны разрешимыми, если должным образом выбрать производные от $\mu(\varepsilon)$. Метод такого выбора описывается ниже.
Теорема о разрешимости (альтернатива Фредгольма). Для заданного $\mathrm{g} \in \mathbb{R}^{2}$ уравнение
\[
\mathrm{f}_{u}(0 \mid \mathrm{u})=\mathrm{g}
\]
разрешимо относительно $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^{2}$ тогда и только тогда, когда
\[
\left\langle\mathrm{g}, \mathrm{y}_{1}\right\rangle=0 \text {. }
\]
Доказательство. Условие (Vl.13) необходимо, так как
\[
\left\langle\mathbf{f}_{u}(0 \mid \mathbf{u}), \mathbf{y}_{1}\right\rangle=\left\langle\mathbf{u}, \mathbf{f}_{u}^{*}\left(0 \mid \mathbf{y}_{1}\right)\right\rangle=0 .
\]
Для доказательства достаточности отметим, что $\mathbf{f}_{a}(0 \mid \mathbf{u})=\mathbf{A}(0) \cdot \mathbf{u}$, так что
\[
\begin{array}{l}
a_{0} u_{1}+b_{0} u_{2}-g_{1}=0, \\
c_{0} u_{1}+d_{0} u_{2}-g_{2}=0 .
\end{array}
\]
Расписывая в скалярной форме $\mathrm{f}_{u}^{*}\left(0 \mid \mathbf{y}_{1}\right)=\mathbf{A}^{T}(0) \cdot \mathrm{y}_{1}=0$, имеем
\[
\begin{array}{c}
a_{11} y_{11}+c_{11} y_{12}=0, \\
b_{0} y_{11}+d_{0} y_{22}=0, \\
\left\langle\mathbf{g}, \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\right\rangle=g_{1} y_{11}+g_{2} y_{12}=0 .
\end{array}
\]
Уравнения (VI.15) и (VI.16) показывают, что два уравнения (VI.14) линейно зависимы; в сущности, у нас одно уравнение, и его можно разрешить, например, относительно $u_{1}$ для любого заданного значения $u_{2}$. Для того чтобы сделать решение единственным, необходимо добавить какое-нибудь условие нормировки, например условие
\[
\left\langle\mathbf{u}, \mathbf{y}_{1}\right\rangle=u_{1} y_{11}+u_{2} y_{12}=k
\]
для любого $k$, скажем, равного 1 или 0 , как в (V1.10), или $\varepsilon$, как в (VI.7). Мы получим единственное решение ( $u_{1}, u_{2}$ ), решая (V1.14) и (VI.17). В действительности достаточно одного из уравнений (VI.14), другое будет удовлетворяться автоматически.
\[
2 \mu_{1}\left(\mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \mathbf{x}_{1}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle+\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(0\left|\mathbf{x}_{1}\right| \mathbf{x}_{1}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle=0 .
\]
Кроме того, из (IV.27) имеем
\[
\left.\left\langle\mathbf{f}_{\mu \mu}\left(0 \mid \mathbf{x}_{1}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle=\left\langle\mathbf{A}^{\prime}(0) \cdot \mathbf{x}_{1}, \mathbf{y}_{1}\right\rangle=\xi^{\prime}(0)\right\rangle 0 .
\]
Следовательно,
\[
2 \mu_{1} \xi_{1}^{\prime}(0)+\left\langle\mathbf{f}_{u t}\left(0\left|\mathbf{x}_{1}\right| \mathbf{x}_{1}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle=0 .
\]
Поскольку $\xi^{\prime}(0)
eq 0$, то (VI.20) 1 можно разрешить относительно $\mu_{1}$. Затем можно найти единственное $\mathbf{u}_{2}$, удовлетворяющее $(\mathrm{Vl.9})_{2}$ и (VI.10).
Тем же способом получаем
\[
\begin{aligned}
3 \mu_{2} \xi_{1}^{\prime}(0) & +3\left\langle\mathbf{f}_{u u}\left(0\left|\mathbf{x}_{1}\right| \mathbf{u}_{2}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle+\left\langle\mathbf{f}_{u u u}\left(0\left|\mathbf{x}_{1}\right| \mathbf{x}_{1} \mid \mathbf{x}_{1}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle+ \\
& +3 \mu_{1}\left\langle\mathbf{f}_{u u \mu}\left(0\left|\mathbf{x}_{1}\right| \mathbf{x}_{1}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle+3 \mu_{1}^{2}\left\langle\mathbf{f}_{u \mu \mu}\left(0 \mid \mathbf{x}_{1}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle+ \\
& +3 \mu_{1}\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{2}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle=0,
\end{aligned}
\]
что приводит к определению $\mu_{2}$ и $\mathbf{u}_{3}$ в результате решения (V1.9) и (VI.10). Вообще уравнение
\[
n \mu_{n-1} \xi_{1}^{\prime}(0)+\left\langle\mathbf{k}_{n}, \mathbf{y}_{1}\right\rangle=0
\]
служит для определения $\mu_{n}$ и $\mathbf{u}_{n-1}$ (в результате решения (VI.9) $)_{4}$ н (VI.10)) в виде функций от коэффициентов более низкогө порядка.
