В гл. IX и X были рассмстрены задачи устойчивости и бифуркации решения $\mathbf{u}=0$ эволюционной задачи, приведенной к локальной форме, $\dot{\mathbf{u}}=\mathbf{f}(t, \mu, \mathbf{u})=\mathbf{f}(t+T, \mu, \mathbf{u})$. В § І. 3 мы показали, как приведенная задача возникает при исследовании нетривиальных $T$-периодических решений $\mathbf{U}(t)=\mathbf{U}(t+T)$ эволюционных задач вида
\[
\dot{\mathbf{U}}=\mathbf{F}(t, \mu, \mathbf{U})=\mathbf{F}(t+T, \mu, \mathbf{U}),
\]
где $\mathbf{U}=0$ не является решением, потому что
\[
\mathbf{F}(t, \mu, 0)=\mathbf{F}(t+T, \mu, 0)
ot \equiv 0 .
\]
Для такого типа задач внешняя среда влияет на динамическую систему, описываемую уравнением (XI.1), через наложенное условие (XI.1) $)_{2}$. Такая динамическая система воспринимает внешнюю среду как в точности $T$-периодическую и вынуждена приспосабливать свою собственную эволюцию в соответствии с этим фактом.
Теперь мы хотим рассмотреть бифуркацию $T$-периодических решений в другом аспекте. Пусть имеется некоторое $T(\varepsilon)$-периодическое ( $T(\varepsilon)=2 \pi / \omega(\varepsilon)$ ) бифуркационное решение $\mathbf{U}(\omega(\varepsilon) t, \varepsilon)=\tilde{\mathbf{U}}(\mu(\varepsilon))+$ $+\mathbf{u}(\omega(\varepsilon) t, \varepsilon)=\mathbf{U}(\omega(\varepsilon) t+2 \pi, \varepsilon)$ автономной задачи
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathbf{F}(\mu, \tilde{\mathbf{U}}+\mathbf{u})=\mathbf{f}(\mu, \mathbf{u}), \\
\mathbf{F}(\mu, \tilde{\mathbf{U}})=0,
\end{array}
\]
для которой
\[
\mathbf{F}(\mu, 0)
eq 0 \text {. }
\]
На самом деле функции $\mathbf{u}(\omega(\varepsilon) t, \varepsilon), \omega(\varepsilon)$ и $\mu(\varepsilon)$, определяющие периодическое бифуркационное решение (решение Xопфа), в точности совпадают с функциями, которые были изучены в гл. VII и VIII. Нас интересует потеря устойчивости и вторичная бифуркация решения $\mathbf{U}(\omega(\varepsilon), t, \varepsilon)$. В сущности, нет необходимости предполагать, что $\mathbf{U}$ появляется в результате бифуркации. Достаточно, чтобы U представляло собой $T$-периодическое решение автономного уравнения, зависящего от некоторого параметра.
Задача, которая теперь составляет предмет нашего исследованиябифуркация периодических решений автономных задач,- очень близка к задаче бифуркации нетривиальных $T$-периодических решений, которая была изучена в гл. IX и X. Будег показано, что качественные свойства вторичной бифуркации периодических решений автономных задач и свойства первичной бифуркации нетривиальных $T$-периодических решений почти одни и те же. В обеих задачах мы находим субгармоническую бифуркацию в $n T$-периодические решения в рациональных точках при ${ }^{1}$ ) $n=1,2,3,4$, а в других точках получаем бифуркацию в асимптотически квазипериодические решения или, если выполняются весьма специфические условия слабого резонанса, в субгармонические решения с периодами, соответствующими целым числам $n \geqslant 5$, а распределение устойчивости на ветвях решений является одним и тем же для обеих задач.
Однако эти две задачи тождественно не совпадают. В автономной задаче внешняя среда сообщает «максимально симметричную» информацию, т. е. стационарную информацио, и поэтому решения нечувствительны к выбору начала отсчета времени. В нетривиальной $T$-периодической задаче определенная структура временно́й симметрии, $T$-периодичность, навязывается извне, и решения нечувствительны только к сдвигу начала отсчета времени на период $T$. Одно следствие этого различия состоит в том, что субгармонические решения, которые появляются в результате вторичной бифуркации из решения Хопфа (автономный случай), имеют определенные периоды, которые (1) зависят от амплитуды и (2) близки к периодам $n T$ ( $\varepsilon$ ) ( $n=1,2,3,4)$ решения Хопфа (но не В точности с ними совпадают), если $|\varepsilon|
eq 0$ мало. В нетривиальной $T$-периодической задаче субгармонические решения являются в точности $\tau=n T$-периодическими $(n=1,2,3,4)$, где $\tau$ не зависит от амплитуды $\varepsilon$.
Второе следствие этого различия техническое и связано с тем обстоятельством, что $\dot{\mathbf{u}}(s, \varepsilon)$ всегда является решением спектральной задачи (VIII.36), (VIII.38), связанной с анализом устойчивости решения Хопфа, и этому решению отвечает нулевое собственное значение. Это свойство имеет следующее значение. Бифуркационные решения $\{\mathbf{u}(s+\delta, \varepsilon), \mu(\varepsilon), \omega(\varepsilon)\}$ и $\{\mathbf{u}(s, \varepsilon), \mu(\varepsilon), \omega(\varepsilon)\}$ эквивалентны при переносе на $\delta$ начала отсчета времени. Назовем $\delta$ фазой бифуркационного решения. Разность двух бифуркационных решений
\[
\boldsymbol{\theta}(s, \varepsilon, \delta)=\mathrm{u}(s+\delta, \varepsilon)-\mathrm{u}(s, \varepsilon)
\]
удовлетворяет уравнению
\[
\begin{aligned}
\omega(\varepsilon) \dot{\Theta} & =f(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(s+\delta, \varepsilon))-f(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(s, \varepsilon))= \\
& =\mathrm{f}_{u}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(s, \varepsilon) \mid \boldsymbol{\theta})+O\left(\|\boldsymbol{\Theta}\|^{2}\right)
\end{aligned}
\]
и при $\delta \rightarrow 0$
\[
\boldsymbol{\theta}(s, \varepsilon, \delta) \sim \dot{\mathbf{u}}(s, \varepsilon) \delta .
\]
1) Здесь $n$ то же самое, что и в гл. IX.
Поэтому всегда можно избрать другой путь и, отправляясь от $\mathbf{u}(s, \varepsilon)$, построить «бифуркационное» решение $\mathbf{u}(s+\delta, \varepsilon)$, считая, что $\gamma(\varepsilon)=0$ является алгебраически простым собственным значением оператора $\sqrt{ }(\varepsilon)$ с собственным вектором $\mathbf{i}(s, \varepsilon)$. При исследовании чисто бифуркационных задач необходимо избегать вычислений этих фазовых сдвигов, и в математическом отношении это мы делаем, требуя, чтобы чисто субгармонические бифуркационные решения отличались от фазовых сдвигов решения $\mathbf{u}(s, \varepsilon)$. Математически это выражается условием (XI.48), смысл которого становится понятным после построения бифуркации на основе нашего метода.
Обозначения
В этой главе обозначения имеют много общего с обозначениями гл. IX. Некоторые незначительные отличия связаны с определениями
\[
\begin{array}{ll}
\hat{\omega}(\mu) t=s & \text { (см. §X X.1), } \\
\hat{\Omega}(\mu) t=s & \text { (см. §X X .8), }
\end{array}
\]
которые требуются для вычисления частот $\hat{\omega}$ и $\hat{\Omega}$. Некоторые символы, которые были также использованы в гл. IX, а здесь имеют несколько другой смысл, суть
\[
\begin{array}{cccc}
J_{0} & \text { и } & J_{0}^{*} & \text { в } \S X I .2, \\
\text { Ј и } \mathfrak{J}^{*} & \text { в } \S \text { XI.4. }
\end{array}
\]
Амплитуда $\alpha$ бифуркационного решения определяется по формуле (XI.45).
\[
\begin{array}{l}
(\cdot)_{n}=\frac{\partial^{n}(\cdot)}{\partial \mu^{n}} \quad \text { при } \mu=\mu_{0}, \\
(\cdot)^{n}=\frac{\partial^{n}(\cdot)}{\partial \alpha^{n}} \quad \text { при } \alpha=0,
\end{array}
\]
(и.ч.б.н.п.) = известные члены более низкого порядка.
