Нас интересуют стационарные решения, которые ответвляются от решения $\mathbf{u}=0$, где $\mathbf{u}$ в $H$ удовлетворяет эволюционному уравнению
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathbf{f}(\mu, \mathbf{u})=\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{u})+\frac{1}{2} \mathbf{f}_{t u}(\mu|\mathbf{u}| \mathbf{u})+O\left(\|\mathbf{u}\|^{3}\right) .
\]

Устойчивость $\mathbf{u}=0$ определяется знаком вещественной части $\sigma(\mu)$, где $\sigma(\mu)$-собственное значение $f_{u}(\mu \mid \cdot)$ с наибольшей вещественной частью
\[
\sigma(\mu) \zeta=\mathrm{f}_{a}(\mu \mid \zeta) \text { для } \zeta \text { в } H .
\]

Предполіожим, что для критического значения $\sigma(0)$ является двойным собственным значением с индексом, равным двум, линейного оператора
\[
\mathrm{f}_{u}(0 \mid \cdot) \stackrel{\text { def }}{=} \mathrm{f}_{u}(\cdot) .
\]

Так как $\sigma(0)=0$-двойное собственное значение с индексом 2 , то имеем следующую жорданову цепочку уравнений для собственных векторов и обобщенных собственных векторов (см. дополнения IV. 1 и IV.2):
\[
\begin{array}{ll}
\mathbf{f}_{a}\left(\zeta_{1}\right)=0, & \mathbf{f}_{u}^{*}\left(\zeta_{2}^{*}\right)=0, \\
\mathbf{f}_{u}\left(\zeta_{2}\right)=\zeta_{1}, & \mathbf{f}_{u}^{*}\left(\zeta_{1}^{*}\right)=\zeta_{2}^{*},
\end{array}
\]

где $\mathbf{f}_{u}^{*} \stackrel{\text { def }}{=}\left[\mathrm{f}_{a}(0 \mid \cdot)\right]^{*}$ – линейный сопряженный оператор, определенный относительно скалярного произведения $\langle\cdot, \cdot\rangle$ в $H_{1}$
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\xi_{1}, \xi_{2}^{*}\right\rangle=\left\langle\mathrm{f}_{a}\left(\xi_{2}\right), \xi_{2}^{*}\right\rangle=\left\langle\xi_{2}, \mathbf{f}_{u}^{*}\left(\xi_{2}^{*}\right)\right\rangle=0, \\
\left\langle\xi_{1}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle=\left\langle\mathrm{f}_{a}\left(\xi_{2}\right), \xi_{1}^{*}\right\rangle=\left\langle\zeta_{2}, \mathbf{f}_{u}^{*}\left(\zeta_{1}^{*}\right)\right\rangle=\left\langle\xi_{2}, \zeta_{2}^{*}\right\rangle .
\end{array}
\]

Выберем $\zeta_{2}$ и $\xi_{1}^{*}$ так, чтобы $\left\langle\zeta_{1}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle=\left\langle\xi_{2}, \zeta_{2}^{*}\right\rangle=1,\left\langle\zeta_{2}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle=0$. Теперь будем искать решения, которые ответвляются от $\mathbf{u}=0$, в виде рядов по степеням амплитуды как проекции
\[
\varepsilon=\left\langle\mathbf{u}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle,
\]
T. e.
\[
\left[\begin{array}{l}
\mathrm{u}(\varepsilon) \\
\mu(\varepsilon)
\end{array}\right]=\sum_{n=1} \frac{\varepsilon^{n}}{n !}\left[\begin{array}{l}
\mathrm{u}_{n} \\
\mu_{n}
\end{array}\right] .
\]

Находим, что
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{f}_{a}\left(\mathbf{u}_{1}\right)=0, \quad\left\langle\mathbf{u}_{1}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle=1, \\
\mathbf{f}_{u}\left(\mathbf{u}_{2}\right)+2 \mu_{1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(\mathbf{u}_{1}\right)+\mathbf{f}_{a u}\left(0\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right)=0, \\
\left\langle\mathbf{u}_{2}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle=0
\end{array}
\]

и .
\[
\mathbf{f}_{a}\left(\mathbf{u}_{n}\right)+n \mu_{n-1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(\mathbf{u}_{1}\right)+t_{n}=0,\left\langle\mathbf{u}_{n}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle=0,
\]

где $f_{n}$ зависит от производных от $\mu$ и и более низкого порядка. так как, если $\tilde{\mathbf{u}}_{n}$-решение уравнения, которое не удовлетворяет условию ортогональности, то $\mathbf{u}_{n}=\tilde{u}_{n}-\left\langle\tilde{u_{n}}, \xi_{i}^{*}\right\rangle \xi_{1}$ удовлетворяет и уравнению, и условию ортогональности.
Уравнение (VI.91) показывает, что
\[
u_{1}=\zeta_{i} \text {. }
\]

Для построения полного решення нам необходим следующий результат.

Лемма (альтернатива Фредгольма, когда нуль есть двойное собственное значение с индексом, равным двум, оператора $\mathrm{f}_{a}(\cdot)$ ). У равнение
\[
\mathrm{f}_{n}(\varphi)=\psi, \varphi \in H
\]

разрешимо тогда и только тогда, когда
\[
\left\langle\boldsymbol{\psi}, \zeta_{i}^{*}\right\rangle=0 .
\]

Критерий (VI.95) не отличается от (VI.61); неоднородные члены в (VI.92) должны быть ортогональны всем независимым нуль-векторам оператора $\mathbf{f}_{u}^{*}$. В двойном собственном значении с индексом Риса, равным двум, существует только один нуль-вектор. В вопросе разрешимости имеет значение только геометрическая кратность. Необходимость условия (VI.95) очевидна. Доказательство достаточности (VI.95) для разрешимости в $\mathbb{R}^{n}$ следует из линейной алгебры. Для более общих задач требование (VI.95) имеет в точности ту форму, которую принимает альтернатива Фредгольма, определенная в § VI.9, для собственного значения с индексом, равным двум.
Записывая (VI.95) для (VI.91), находим, что
\[
2 \mu_{1} C_{0}^{\prime}+\left\langle\mathbf{f}_{n a}\left(0\left|\zeta_{1}\right| \zeta_{1}\right), \zeta_{2}^{*}\right\rangle=0,
\]

а для порядка $n$
\[
n \mu_{n-1} C_{0}^{\prime}+\left\langle\mathcal{\psi}_{n}, \zeta_{2}^{*}\right\rangle=0,
\]

где
\[
C_{0}^{\prime}=\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}\left(\zeta_{1}\right), \zeta_{2}^{*}\right\rangle .
\]

Наше бифуркационное предположение
\[
C_{v}^{\prime}
eq 0
\]

эквивалентно предположению (V.17), которое мы делали в $\mathbb{R}^{2}$. Поэтому, если $C_{0}^{\prime}
eq 0$, то можно вычислить ряды (VI.90) (на каждом шаге определяются $\mu_{n-1}, \mathbf{u}_{n}$ ).

Обращаясь теперь к анализу устойчивости бифуркационного решения (VI.90), введем в рассмотрение спектральную задачу
\[
\gamma \boldsymbol{\psi}=\mathbf{f}_{a}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon) \mid \boldsymbol{\psi})
\]

для малых возмущений $e^{\gamma t} \boldsymbol{\psi}$ решения $\mathbf{u}(\varepsilon)$. Подставляя разложение (VI.90) в (VI.99), находим, что
\[
\gamma \psi=\mathbf{f}_{n}(\boldsymbol{\psi})+\varepsilon\left[\mu_{1} \mathbf{f}_{u \mu}(\psi)+\mathbf{f}_{u u}\left(0\left|\zeta_{1}\right| \psi\right)\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) \cdot \boldsymbol{\psi} .
\]

Разложим $\Psi$ в виде
\[
\psi=\alpha_{1} \xi_{1}+\alpha_{2} \xi_{2}+W,
\]

где
\[
\alpha_{i}=\left\langle\psi, \zeta_{i}^{*}\right\rangle, \quad\left\langle\mathbf{W}, \zeta_{i}^{*}\right\rangle=0, \quad i=1,2 .
\]

Замечая, что
\[
\left\langle\mathbf{f}_{u}(\boldsymbol{\Psi}), \zeta_{2}^{*}\right\rangle=0,\left\langle\mathbf{f}_{u}(\boldsymbol{\psi}), \zeta_{1}^{*}\right\rangle=\left\langle\boldsymbol{\psi}, \zeta_{2}^{*}\right\rangle=\alpha_{2},
\]

и используя (VI.97), уравнение (VI.100) можно записать в виде системы:
\[
\begin{array}{l}
\gamma \alpha_{1}=\alpha_{2}+\varepsilon\left(a_{1} \alpha_{1}+b_{1} \alpha_{2}\right)+O(\varepsilon) \cdot \mathbf{W}+O\left(\varepsilon^{2}\right) \cdot \boldsymbol{\psi}, \\
\gamma \alpha_{2}=-\varepsilon \mu_{1} C_{0}^{\prime} \alpha_{1}+\varepsilon b_{2} \alpha_{2}+O(\varepsilon) \cdot \mathbf{W}+O\left(\varepsilon^{2}\right) \cdot \boldsymbol{\psi}, \\
\gamma \mathbf{W}=\mathbf{f}_{n}(\mathbf{W})+O(\varepsilon) \boldsymbol{\psi} .
\end{array}
\]

В силу того, что $\gamma$ близко к нулю ( $O \sqrt{\varepsilon}$ ), а оператор $\mathbf{f}_{u}$ обратим в пространстве, ортогональном $\left\{\xi_{1}^{*}, \zeta_{2}^{*}\right\}$, (VI.103) приводит к оценке $\mathbf{W}=O(\varepsilon) \cdot \psi$. Подставляя это выражение для $\mathbf{W}$ в (VI.103), и (VI.103) $)_{2}$, можно проверить ${ }^{1}$ ), что $\gamma$ является собственным значением $(2 \times 2)$-матрицы
\[
\left[\begin{array}{cr}
\varepsilon \alpha_{1}+O\left(\varepsilon^{2}\right) & 1+\varepsilon b_{1}+O\left(\varepsilon^{2}\right) \\
-\varepsilon \mu_{1} C_{0}^{\prime}+O\left(\varepsilon^{2}\right) & \varepsilon b_{2}+O\left(\varepsilon^{2}\right)
\end{array}\right] .
\]

Поэтому имеем
\[
\gamma_{ \pm}= \pm V=\varepsilon \mu_{1} C_{0}^{\prime}+\frac{1}{2} \varepsilon\left(a_{1}+b_{2}\right)+O\left(|\varepsilon|^{3 / 2}\right) .
\]

Здесь мы получили в $\mathbb{R}^{2}$ как проекции результаты, связанные с анализом устойчивости в случае двойного собственного значения с индексом Риса, равным двум, которые в точности совпадают с результатами, полученными в § V. 6 для того же случая в $\mathbb{R}^{2}$. Полученные в § V. 6 результаты исследования устойчивости и рис. V. 1 полностью описывают все выводы, которые следуют из (VI.105).