Теория Флоке представляет собой линейную теорию устойчивости периодически зависящих от времени решений. Непосредственным объектом исследования теории Флоке служит линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Такие уравнения появляются при исследовании вынужденных $T$-периодических решений неавтономного линейного уравнения с $T$-периодическими коэффициентами или при исследовании устойчивости периодических решений стационарных (автономных) задач. Теория устойчивости более сложных решений, например квазипериодических, значительно труднее теории Флоке и не допускает элементарного анализа.
1) Такие члены приводятся к тройным произведениям, составленным из $b_{1}$ и $\bar{b}_{1}$, и всегда без труда могут быть учтены.

VII.6.1. Теория Флоке в $\mathbb{R}^{1}$

Начнем с анализа устойчивости $T$-периодических решений $U(t)=$ $=U(t+T)$ уравнения $\dot{V}=F(V, t)=F(V, t+T)$, где $F(0, t)=F(0$, $t+T)
eq 0$-известная $T$-периодическая функция. Положим $V=U(t)+u$. Тогда уравнение
\[
\begin{aligned}
\dot{u} & =F(U(t)+u, t)-F(U(t), t)= \\
& =f(u, t)=f(u, t+T)
\end{aligned}
\]

имеет «локальную форму», $f(0, t)=0$, и $f(u, t)$ допускает тейлоровское разложение: $f(u, t)=a_{1}(t) u+a_{2}(t) u^{2}+O\left(|u|^{3}\right)$, г де $a_{i}(t)=a_{i}(t+T)$. Линеаризованная эволюционная задача описывается уравнением
\[
\dot{v}=a_{1}(t) v,
\]

и
\[
v(t)=\left(\exp \int_{0}^{t} a_{1}(s) d s\right) v_{0} .
\]

Пусть $\varphi(t)$-решение уравнения (VII.11), для которого $v(0)=v_{0}=1$,
\[
\varphi(t)=\exp \int_{0}^{t} a_{1}(s) d s .
\]

Поскольку $a_{1}(t)=a_{1}(t+T)$, то имеем
\[
\int_{T}^{t+T} a_{1}(s) d s=\int_{0}^{t} a_{1}(s) d s
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\varphi(t+T)=\left(\exp \int_{T}^{t+T} a_{1}(s) d s\right)\left(\exp \int_{0}^{T} a_{1}(s) d s\right)=\varphi(t) \varphi(T), \\
\varphi(2 T)=\varphi(T) \varphi(T), \quad \varphi(n T)=\varphi^{n}(T) .
\end{array}
\]

Функция
\[
\varphi(T)=e^{\sigma T},
\]

удовлетворяющая функциональному уравнению (VII.13), называется множителем Флоке, а числа $\sigma$ называются экспонентами Флоке. Экспоненты определяются множителем неоднозначно:
\[
\sigma=\frac{1}{T} \ln \varphi(T)+\frac{2 k \pi i}{T}, \quad k \in Z .
\]

Экспоненты являются собственными значениями приводимого ниже дифференциального уравнения (VII.17). Определим функцию
\[
\zeta(t)=\varphi(t) e^{-\sigma t} \text {. }
\]

Тогда
\[
\zeta(t+T)=\varphi(t+T) e^{-\sigma t} e^{-\sigma T}=\varphi(t) e^{-\sigma t}=\zeta(t),
\]

и $\zeta(t)$ является $T$-периодической, а поскольку $\dot{\varphi}=a_{1}(t) \varphi$, то
\[
\sigma \zeta=-\dot{\zeta}+a_{1}(t) \zeta .
\]

Поэтому общее решение уравнения (VII.11) можно записать в виде
\[
v(t)=\zeta(t) e^{\sigma t} v_{0},
\]

где $\zeta(t)=\zeta(t+T)$. Если $\sigma<0$, то $v(t) \rightarrow 0$ экспоненциально. Если $\sigma>0$, то $v(t) \rightarrow \infty$. Эквивалентно, если $\varphi(T)=\exp \int_{0}^{T} a_{1}(s) d s<1$, то $v(t) \rightarrow 0$.

Покажем теперь, что если $\varphi(T)<1$ (или, что эквивалентно, если $\sigma<0$ ), то решение $u=0$ уравнения (VII.10) условно устойчиво. Доказательство почти совпадает с приведенным в § II. 7 для автономной задачи. Сначала перепишем (VII.10) в виде
\[
\dot{u}=a_{1}(t) u+b(t, u) \text {. }
\]

Это эквивалентно уравнению
\[
\begin{aligned}
u(t) & =\varphi(t) u_{0}+\int_{0}^{t} \varphi(t) \varphi^{-1}(s) b(s, u(s)) d s= \\
& =\zeta(t) e^{\sigma t} u_{0}+\int_{0}^{t} e^{\sigma(t-s)} \zeta(t) \zeta^{-1}(s) b(s, u(s)) d s,
\end{aligned}
\]

где $\varphi^{-1}=1 / \varphi, \zeta^{-1}=1 / \zeta$. Чтобы это увидеть, проще всего продифференцировать (VII.19). Получаем
\[
\begin{array}{c}
\dot{u}=\frac{d}{d t}\left(\zeta(t) e^{\sigma t}\right) u_{0}+b(t, u(t))+\int_{0}^{t} \frac{d}{d t}\left(\zeta(t) e^{\sigma t}\right) e^{-\sigma s} \zeta^{-1}(s) b(s, u(s)) d s, \\
\frac{d}{d t}\left(\zeta(t) e^{\sigma t}\right)=a_{1}(t) e^{\sigma t} \zeta(t)
\end{array}
\]

и
\[
\begin{aligned}
\dot{u} & =b(t, u(t))+a_{1}(t)\left\{\zeta(t) e^{\sigma t} u_{0}+\int_{0}^{t} e^{\sigma(t-s)} \zeta(t) \zeta^{-1}(s) b(s, u(s)) d s\right\}= \\
& =b(t, u(t))+a_{1}(t) u .
\end{aligned}
\]

Дальше доказательство совпадает с приведенным в § II.7. Мы находим, что решение $u=0$ экспоненциально устойчиво, если $u_{0}$ достаточно мало и $\sigma<0$.

VII.6.2. Теория Флоке в $\mathbb{R}^{2}$ и $\mathbb{R}^{n}$

Если $\mathbf{u}$-вектор, то теория Флоке обладает некоторыми новыми особенностями. Однако переход от $\mathbb{R}^{2}$ к $\mathbb{R}^{n}$ с $n>2$ не вносит новых свойств в обобщенную теорию Флоке. Поэтому мы можем излагать эту теорию для уравнения
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{A}(t) \cdot \mathbf{v},
\]

где $\mathbf{v}$-вектор с $n$ компонентами, а
\[
\mathbf{A}(t)=\mathrm{A}(t+T)
\]

есть $T$-периодическая ( $n \times n$ )-матрица, рассматривая случай $n=2$ в качестве примера.

Матрица $\mathbf{A}(t)$ может получаться в результате линеаризации неавтономного уравнения $\dot{\mathbf{V}}=\mathbf{F}(t, \mathbf{V})=\mathbf{F}(t+T, \mathbf{V}), \mathbf{F}(t, 0)
eq 0$, имеющего $T$-периодические решения $\mathbf{V}=\mathbf{U}(t)=\mathbf{U}(t+T)$. Линеаризация этого нелинейного уравнения, приведенного к «локальной форме», дает
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{V}=\mathbf{U}(t)+\mathbf{v}, \\
\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{F}(t, \mathbf{U}(t)+\mathbf{v})-\mathbf{F}(t, \mathbf{U}(t)) \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{f}(t, \mathbf{v}),
\end{array}
\]

где $\mathbf{f}(t, 0)=0$ и $\mathbf{f}(t+T, \mathbf{v})=\mathbf{f}(t, \mathbf{v})$. В этом случае
\[
\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{A}(t) \cdot \mathbf{v},
\]

где
\[
\mathbf{A}(t)=\mathbf{F}_{v}(t, \mathbf{U}(t) \mid \cdot)=\mathfrak{f}_{v}(t \mid \cdot) .
\]

Если $n>1$, то периодические решения $\mathbf{u}(t)=\mathbf{u}(t+T)$ могут ответвляться ${ }^{2}$ ) от стационарных решений $\mathbf{V}=\mathbf{V}_{0}$ автономных задач $\dot{\mathbf{V}}=\mathbf{F}(\mathbf{V}), \mathbf{F}(0)
eq 0$. Тогда возмущение $\mathbf{v}$ в $\mathbf{V}=\mathbf{V}_{0}+\mathbf{u}(t)+\mathbf{v}$ удовлетворяет $T$-периодической задаче, приводимой к локальной форме:
\[
\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{F}\left(\mathbf{V}_{0}+\mathbf{u}(t)+\mathbf{v}\right)-\dot{\mathbf{F}}\left(\mathbf{V}_{0}+\mathbf{u}(t)\right) \stackrel{\text { def }}{=} \mathrm{f}(\mathbf{u}(t), \mathbf{v})=\mathbf{f}(\mathbf{u}(t+T), \mathbf{v}),(\mathrm{VI} 1.24)
\]

где $\mathbf{f}(\mathbf{u}(t), 0)=0$. В этом случае
\[
\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{A}(t) \mathbf{v},
\]

где
\[
\mathbf{A}(t)=\mathrm{F}_{v}\left(\mathbf{V}_{0}+\mathbf{u}(t) \mid \cdot\right)=\mathrm{f}_{v}(\mathbf{u}(t) \mid \cdot) .
\]

В нашем изложении теории Ф.оке нет необходимости сохранять различие между периодическими матрицами $\mathbf{A}(t)=\mathbf{A}(t+T)$, которые $\qquad$
1) Мы можем иметь также периодические решения автономных задач, не происходящие от указанной бифуркации.

получаются из неавтономных $T$-периодических задач, и матрицами, получаемыми из автономных задач, имеющих периодическое решение. Однако это различие существенно, потому что неавтономная задача инвариантна по отношению к сдвигу начала отсчета времени на $t=T$, а автономная задача инвариантна по отношению к произвольному сдвигу начала отсчета времени. Математическим следствием этого различия является то обстоятельство, что $\dot{\mathbf{u}}(t)$ есть $T$-периодическое решение уравнения (VII.25), тогда как $\dot{\mathbf{U}}(t)$ не является $T$-периодическим решением уравнения (VII.23) (дальнейшее обсуждение этого вопроса см. в предпоследнем абзаце этого подраздела).

Пусть $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ суть линейно независимые решения уравнения $\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{A}(t) \cdot \mathbf{v}$ для $\mathbf{v}(t) \in \mathbb{R}^{2}$. Тогда любое решение является линейной комбинацией этих двух решений:
\[
\mathbf{v}(t)=a \mathbf{v}_{\mathbf{1}}(t)+b \mathbf{v}_{\mathbf{2}}(t) .
\]

Далее, $\mathbf{v}(t+T)$ удовлетворяет уравнению $\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{A}(t+T) \cdot \mathbf{v}=\mathbf{A}(t) \cdot \mathbf{v}$, если $\mathbf{v}(t)$-решение этого уравнения. Поэтому
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{v}_{1}(t+T)=a_{1} \mathbf{v}_{1}(t)+b_{1} \mathbf{v}_{2}(t), \\
\mathbf{v}_{2}(t+T)=a_{2} \mathbf{v}_{1}(t)+b_{2} \mathbf{v}_{2}(t) .
\end{array}
\]

Введем следующее определение фундаментального матричного решения в $\mathbb{R}^{n}$.

Пусть $v_{i}^{(j)}=\mathbf{e}_{j} \cdot \mathbf{v}_{i}(i, j=1,2, \ldots, n)$ есть $j$-я компонента вектора $\mathbf{v}_{i}$. Фундаментальное матричное решение представляет собой любую матрицу, столбцы которой являются компонентами линейно независимых решений уравнения $\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{A}(t) \mathbf{v}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$. Предположим, что
\[
\tilde{\mathbf{v}}(t)=\left[\mathbf{v}_{1}(t), \mathbf{v}_{2}(t), \ldots, \mathbf{v}_{n}(t)\right]
\]

есть фундаментальное матричное решение. Тогда
\[
\dot{\mathbf{V}}(t+T)=\mathbf{A}(t+T) \cdot \tilde{\mathbf{V}}(t+T)=\mathbf{A}(t) \tilde{\mathbf{v}}(t+T) .
\]

Поэтому $\dot{\mathbf{V}}(t+T)$ представляет собой фундаментальное матричное решение, если этим же свойством обладает $\tilde{\mathbf{V}}(t)$. Отсюда следует, что $\tilde{\mathbf{V}}(t+T)$ можно представить в виде линейных комбинаций столбцов матрицы $\tilde{\mathbf{V}}(t)$. Следовательно,
\[
\tilde{\mathbf{V}}(t+T)=\tilde{\mathbf{V}}(t) \cdot \mathbf{C},
\]

где $\mathbf{C}$-постоянная ( $n \times n$ )-матрица, которая на самом деле зависит от $\tilde{\mathbf{V}}(0)$ (и, конечно, является функционалом от $\mathbf{A}(t)$ ).
$B \mathbb{R}^{2}$ имеем
\[
\mathbf{C}=\left[\begin{array}{ll}
a_{1} & a_{2} \\
b_{1} & b_{2}
\end{array}\right],
\]

и (VII.30) есть не что иное, как (VII.27).

Пусть $\Phi(t)$ – фундаментальное матричное решение с начальным значением, равным единичной матрице:
\[
\Phi(0)=\mathbf{I} \quad\left(\Phi_{i j}=\delta_{i j}\right) .
\]

Тогда $\boldsymbol{\Phi}(t+T)=\boldsymbol{\Phi}(t) \cdot \mathbf{C}$, и поэтому при $t=0$
\[
\Phi(T)=\mathbf{C} .
\]

Значение при $t=T$ фундаментального матричного решения $\tilde{\mathbf{V}}(t)$, удовлетворяющего уравнению (VII.29) с начальным условием $\tilde{\mathbf{V}}(0)=\mathbf{I}$, называется матрицей монодромии. Соотношение (VII.30) можно переписать в виде
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{\Phi}(t+T) & =\boldsymbol{\Phi}(t) \Phi(T) \\
\boldsymbol{\Phi}(2 T) & =\boldsymbol{\Phi}^{2}(T), \\
\boldsymbol{\Phi}(3 T) & =\boldsymbol{\Phi}(2 T) \boldsymbol{\Phi}(T)=\boldsymbol{\Phi}^{3}(T)
\end{aligned}
\]

и
\[
\boldsymbol{\Phi}(n T)=\boldsymbol{\Phi}^{n}(T) .
\]

Собственные значения матрицы $\Phi(T)$ называются множителями Флоке. Находим, что
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\Phi}(T) \cdot \psi=\lambda(T) \psi, \\
\boldsymbol{\Phi}(n T) \cdot \psi=\lambda(n T) \Psi, \\
\boldsymbol{\Phi}^{n}(T) \cdot \psi=\lambda^{n}(T) \psi .
\end{array}
\]

Поскольку $\Phi(n T)=\Phi^{n}(T)$, то имеем $\lambda^{n}(T)=\lambda(n T)$, и поэтому можно определить экспоненту Флоке $\sigma=\xi+i \eta$ соотношением
\[
\lambda(T)=\exp \sigma T
\]

и записать задачу на собственные значения в виде
\[
\boldsymbol{\Phi}(T) \cdot \boldsymbol{\psi}=e^{\boldsymbol{\sigma}_{T}} \boldsymbol{\psi} .
\]

Если $\sigma$-экспонента Флоке, соответствующая $\lambda(T)$, то $\sigma+(2 \pi i k / T)$, $k \in Z$, является также экспонентой Флоке, соответствующей $\lambda(T)$.

Получим теперь для экспоненты задачу на собственные значения. Сначала определим вектор
\[
\mathbf{v}(t)=\Phi(t) \cdot \boldsymbol{\psi} .
\]

Отсюда тогда следует, что
\[
\begin{aligned}
\mathbf{v}(0) & =\boldsymbol{\psi}, \\
\mathbf{v}(t+T) & =\boldsymbol{\Phi}(t+T) \cdot \psi=\boldsymbol{\Phi}(t) \boldsymbol{\Phi}(T) \cdot \boldsymbol{\psi}= \\
& =e^{\sigma} T \boldsymbol{\Phi}(t) \cdot \psi=e^{\sigma} \mathbf{v}(t)
\end{aligned}
\]

и $\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{A}(t) \mathbf{v}$. Определим функцию
\[
\zeta(t)=e^{-\sigma_{i}} \mathbf{v}(t),
\]

которая является $T$-периодическсй:
\[
\begin{array}{c}
\zeta(t+T)=e^{-\sigma(t+T)} \mathbf{v}(t+T)=e^{-\sigma t} \mathbf{v}(t)=\zeta(t), \\
\dot{\zeta}=-\sigma \zeta+\dot{\mathbf{v}} e^{-\sigma !}=-\sigma \zeta+\mathbf{A}(t) \zeta .
\end{array}
\]
(VII.37)

Уравнения (VII.37). определяют для экспонент Флоке задачу на собственные значения.

Напомним теперь, что $\mathbf{v}(t)$ представляет собой малое возмущение $T$-периодического решения $\mathbf{U}(t)$ неавтономной задачи или периодического бифуркационного решения $\mathbf{u}(t)$ автономной задачи. Из представлений (VII.36) и (VII.34) находим, что
\[
\mathbf{v}(t+n T)=\boldsymbol{\Phi}(t) \boldsymbol{\Phi}(n T) \boldsymbol{\psi}=\lambda^{n} \boldsymbol{\Phi}(t) \boldsymbol{\psi},
\]

и заключаем, что $\mathbf{v}(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$ (для значений $t$, лежащих между $n T$ и $(n+1) T,\|\boldsymbol{\Phi}(t) \boldsymbol{\psi}\|$ ограничена сверху и снизу), если $|\lambda|=e^{\zeta T}<1$ для всех множителей Флоке $\lambda_{l}=e^{\sigma_{l} T}$, принадлежащих спектру матрицы $\Phi(T)$. Эквивалентное утверждение с использованием

Рис. VII.1. Множители Флоке и экспоненты Флоке. Повторяющиеся точки $i \eta_{0}+$ $+(2 \pi i k / T), k \in \mathbb{Z}$, на мнимой оси $\sigma$-плосхости отображаются в одни и те же точки комплексной $\lambda$-плоскости. Периодическое решение теряет устойчивость, когда пара комплексно-сопряженных экспонент пересекает мнимую ось $\sigma$-плоскости или пара комплексно-сопряженных множителей выходит из единичного круга. Экспонента, пересекающая мнимую ось в начале ( $\sigma=0$ ), соответствует множителю, выходящему из единичного круга в точке $\lambda=1$. Экспоненты, пересекающие мнимую ось в точках $\sigma= \pm i \pi / T$, соответствуют мнсжителю $\lambda=-1$. В определенном смысле пересечение единичной окружности является «типичным» (см. упражнение XI.2).

экспонент состоит в том, что $\mathbf{v}(t)=e^{\sigma t} \zeta(t), \zeta(t)=\zeta(t+T)$, стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$, если. $\xi_{n}=\operatorname{Re} \sigma_{n}<0$ для всех собственных значений $\sigma_{n}$ задачи (VII.37). На рис. VII. 1 графически представлено влияние на устойчивость множителей и экспонент Флоке.

В заключение отметим снова, что в автономном случае, когда $\mathbf{u}(t+T)=\mathbf{u}(t)$ удовлетворяет уравнению $\dot{\mathbf{u}}=\mathbf{f}(\mathbf{u})$, функция $\boldsymbol{\zeta}=\dot{\mathbf{u}}$, удовлетворяющая уравнению $\ddot{\mathbf{u}}=\mathfrak{f}_{t}(\mathbf{u} \mid \dot{\mathbf{u}})$, является собственной функ. цией задачи (VII.37) с собственным значением $\sigma=0$. Поэтому условная устойчивость решения $\mathbf{u}(t)$ (см. монографию Коддингтона и Левинсона, указанную в § IV.2) обеспечивает асимптотическую устойчивость не одного, а множества решений $\mathbf{u}(t+\alpha)$, зависящего от фазы $\alpha$. Если малые возмущения притягиваются к этому множеству, то говорят, что множество периодических решений обладает условной асимптотической орбитальнои́ устойчивостью.

Закончив это длинное отступление в область теории Флоке, мы готовы возвратиться к задаче устойчивости бифуркационных периодических решений.