Наложим на стационарные бифуркационные решения $T$-периодическое возмущение. Для этого исследования математическая постановка задачи такова:
$$\begin{array}{c}\frac{d\mathbf{u}}{dt}=\mathcal{F}(\mu ,\mathbf{u},\delta ,t),\\ \mathcal{F}(\mu ,\mathbf{u},0,t)=\mathbf{f}(\mu ,\mathbf{u})\text{ не зависит от }t,\\ \mathcal{F}(\mu ,\mathbf{u},\delta ,t)=\mathcal{E}(\mu ,\mathbf{u},\delta ,t+T),\text{ если }\delta eq0,\\ \mathcal{F}(\mu ,0,0,t)\equiv 0.\end{array}$$

Предположим также, что нуль есть простое собственное значение оператора ${\mathrm{f}}_t(0\mid \cdot )$; остальные собственные значения имеют отрицательные вещественные части. Напомним, что ${\mathbf{f}}_u(0\mid {\zeta }_0)=0,{\mathrm{f}}_u^{\ast }(0\mid {\zeta }_0^{\ast })=0$, $⟨{\zeta }_0,{\zeta }_0^{\ast }⟩=1$, и отметим, что предположение о строгой потере устойчивости решения $\mathbf{u}\equiv 0$ налагает на ${\mathbf{f}}_{a\mu }$ условие
$${\sigma }_{\mu }(0)=⟨{\mathbf{f}}_{a\mu }(0\mid {\zeta }_0),{\zeta }_0^{\ast }⟩>0.$$

Этих предположений достаточно, чтобы гарантировать существование стационарных бифуркационных решений ( $\mu (\epsilon ),\mathbf{u}(\epsilon )$ ), которые можно построить методами гл. VI.

Теперь мы будем рассматривать стационарное бифуркационное решение как $T$-периодическое решение (для любого $T$ ) и будем искать $T$-периодическое решение уравнения (IX.102), близкое к тривиальному решению. Снова определим
$$ȷ(\mu )=-\frac{d}{dt}+{\mathbf{f}}_n(\mu \mid \cdot ),$$

где оператор § определен только на $T$-периодических векторах $\mathbf{u}(t)=\mathbf{u}(t+T)$. В силу наших предположений относительно операявляются простыми и, за исключением собственных значений (экспонент Флоке) $\sigma (0)=\pm 2\pi ik/T,k\in Z$, все имеют отрицательные вещественные части. Для собственного значения $\sigma (\mu )$ оператора $\mathfrak{J}(\mu )$, $\sigma (0)=0$, выполняется условие (IX.104), а ${\zeta }_0$ и ${\zeta }_0^{\ast }$-стационарные векторы, такие, что
$${ȷ}_0{\zeta }_0={ȷ}_0^{\ast }{\zeta }_0^{\ast }=0,{[{\zeta }_0,{\zeta }_0^{\ast }]}_T=1.$$

Для исследования возмущенной задачи можно использовать методы, изложенные в § VI.10, если имеет место аналог
$${[{\mathcal{F}}_{\delta }(0,0,0,t),{\xi }_0^{\ast }]}_T=\frac{1}{T}{\int }_0^T⟨{\mathcal{F}}_{\mathcal{S}}(0,0,0,t),{\zeta }_0^{\ast }⟩dteq0$$

условия (VI.71). Тогда можно построить ряды
$$\begin{array}{c}\delta =\epsilon \sum _{p+q⩾0}{e}^p{\mu }^q{\mathrm{\Delta }}_{p+1,q},\\ \mathbf{u}(t)=\epsilon {\xi }_0+\epsilon \sum _{p+q⩾1}{\mathbf{u}}_{p+1,q}(t){\epsilon }^p{\mu }^q,\end{array}$$

где ${\mathbf{u}}_{p,q}(\cdot )-T$-периодические вектор-функции.
Если $\delta eq0$, то при выполнении условия (IX.105) бифуркационная диаграмма для стационарных решений разрушается и заменяется на две непересекающиеся ветви $T$-периодических решений, близких к стационарным бифуркационным решениям, как на рис. III.5.
Упражнения
IX. 1 .
$$\frac{du}{dt}=\mu u-u^2+\delta (a+\cos t),u\in {\mathbb{R}}^1.$$

Докажите, что бифуркационные кривые для $\delta =0$ расщепляются на непересекающиеся ветви $2\pi$-периодических решений, если $aeq0$. Найдите ряды для $\mu (\epsilon ,\delta /\epsilon )$, где оба параметра $\epsilon$ и $\delta /\epsilon$ являются малыми, которые имеют место для $aeq0$ и для $a=0$. Повторите упражнение для случая, когда $u^2$ заменяется на $u^3$.
IX.2. Рассмотрите эволюционные задачи вида $u=f(t,\mu ,\delta ,u)$, где $f(t,\mu ,\delta ,0)=$ $=0$, зависящие от параметра $\delta$, описывающего возмущение, налагаемое на задачу, исследованную в этой главе. Пусть, далее, имеется множитель Флоке $\lambda =e^{\sigma (\mu ,\delta )}\mathrm{\%}$, где
$$\mathit{\sigma }(\mu ,\delta )=i{\omega }_0+\mu {\sigma }_{\mu }+\delta {\sigma }_{\delta }+O[|\mu {|}^2+|\delta {|}^2]\text{ и }\mathrm{Re}{\sigma }_{\mu }eq0.$$
(1) Вычислите ${\sigma }_{\mu }$ и ${\sigma }_{\delta }$, используя скалярные произведения.
(2) Пусть $\lambda (0,0)$ является простым и вещественным. Покажите, что $\lambda (0,0)=1$ или -1. Затем покажите, что $\lambda (\mu ,\delta )$ остается вещественным, если $|\mu |+|\delta |$ мало. Вычислите к ритические значения ${\mu }^{(c)}(\delta )=\delta {\mu }_{\delta }+O\left({\delta }^2\right)$, для которых ${\lambda }^{[}[{\mu }^{(c)}(\delta ),\delta ]=1$ или -1. Покажите, что если $\mu$ пересекает ${\mu }^{(c)}(\delta ),\delta$ фиксировано, то $\lambda (\mu ,\delta )$ пересекает единичную окружность в точках $\lambda =1$ или $\lambda =-1$ соответственно.
(3) Предположим, что $\lambda (0,0)$ простое, а ${\omega }_0=2\pi m/nT$ и $0<m/n<1$ (как в этой главе) и $n⩾3$. Вычислите критические значения ${\mu }^{(c)}(\delta )=\delta {\mu }_{\delta }+O\left({\delta }^2\right)$, для которых $\left|\lambda [{\mu }^{(c)}(\delta ),\delta ]\right|=1$. Каким точкам единичной окружности соответствует значение $\lambda [{\mu }^{(c)}(\delta ),\delta ]$ ? Покажите, что условие $[\lambda (0,0){]}^n=1$ не выполняется для $\delta eq0$. Omвem:
$$\arg \left[\lambda ({\mu }^{(c)}(\delta ),\delta )\right]={\omega }_0+\delta \frac{(\mathrm{Im}{\sigma }_{\delta }\mathrm{Re}{\sigma }_{\mu }-\mathrm{Im}{\sigma }_{\mu }\mathrm{Re}{\sigma }_{\delta })}{\mathrm{Re}{\sigma }_{\mu }}+O\left({\delta }^2\right).$$