Наложим на стационарные бифуркационные решения $T$-периодическое возмущение. Для этого исследования математическая постановка задачи такова:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathscr{F}(\mu, \mathbf{u}, \delta, t), \\
\mathscr{F}(\mu, \mathbf{u}, 0, t)=\mathbf{f}(\mu, \mathbf{u}) \text { не зависит от } t, \\
\mathscr{F}(\mu, \mathbf{u}, \delta, t)=\mathscr{E}(\mu, \mathbf{u}, \delta, t+T), \text { если } \delta
eq 0, \\
\mathscr{F}(\mu, 0,0, t) \equiv 0 .
\end{array}
\]

Предположим также, что нуль есть простое собственное значение оператора $\mathrm{f}_{t}(0 \mid \cdot)$; остальные собственные значения имеют отрицательные вещественные части. Напомним, что $\mathbf{f}_{u}\left(0 \mid \zeta_{0}\right)=0, \mathrm{f}_{u}^{*}\left(0 \mid \zeta_{0}^{*}\right)=0$, $\left\langle\zeta_{0}, \zeta_{0}^{*}\right\rangle=1$, и отметим, что предположение о строгой потере устойчивости решения $\mathbf{u} \equiv 0$ налагает на $\mathbf{f}_{a \mu}$ условие
\[
\sigma_{\mu}(0)=\left\langle\mathbf{f}_{a \mu}\left(0 \mid \zeta_{0}\right), \zeta_{0}^{*}\right\rangle>0 .
\]

Этих предположений достаточно, чтобы гарантировать существование стационарных бифуркационных решений ( $\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon)$ ), которые можно построить методами гл. VI.

Теперь мы будем рассматривать стационарное бифуркационное решение как $T$-периодическое решение (для любого $T$ ) и будем искать $T$-периодическое решение уравнения (IX.102), близкое к тривиальному решению. Снова определим
\[
\jmath(\mu)=-\frac{d}{d t}+\mathbf{f}_{n}(\mu \mid \cdot),
\]

где оператор § определен только на $T$-периодических векторах $\mathbf{u}(t)=\mathbf{u}(t+T)$. В силу наших предположений относительно операявляются простыми и, за исключением собственных значений (экспонент Флоке) $\sigma(0)= \pm 2 \pi i k / T, k \in Z$, все имеют отрицательные вещественные части. Для собственного значения $\sigma(\mu)$ оператора $\mathfrak{J}(\mu)$, $\sigma(0)=0$, выполняется условие (IX.104), а $\zeta_{0}$ и $\zeta_{0}^{*}$-стационарные векторы, такие, что
\[
\jmath_{0} \zeta_{0}=\jmath_{0}^{*} \zeta_{0}^{*}=0,\left[\zeta_{0}, \zeta_{0}^{*}\right]_{T}=1 .
\]

Для исследования возмущенной задачи можно использовать методы, изложенные в § VI.10, если имеет место аналог
\[
\left[\mathscr{F}_{\delta}(0,0,0, t), \xi_{0}^{*}\right]_{T}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left\langle\mathscr{F}_{\mathcal{S}}(0,0,0, t), \zeta_{0}^{*}\right\rangle d t
eq 0
\]

условия (VI.71). Тогда можно построить ряды
\[
\begin{array}{c}
\delta=\varepsilon \sum_{p+q \geqslant 0} e^{p} \mu^{q} \Delta_{p+1, q}, \\
\mathbf{u}(t)=\varepsilon \xi_{0}+\varepsilon \sum_{p+q \geqslant 1} \mathbf{u}_{p+1, q}(t) \varepsilon^{p} \mu^{q},
\end{array}
\]

где $\mathbf{u}_{p, q}(\cdot)-T$-периодические вектор-функции.
Если $\delta
eq 0$, то при выполнении условия (IX.105) бифуркационная диаграмма для стационарных решений разрушается и заменяется на две непересекающиеся ветви $T$-периодических решений, близких к стационарным бифуркационным решениям, как на рис. III.5.
Упражнения
IX. 1 .
\[
\frac{d u}{d t}=\mu u-u^{2}+\delta(a+\cos t), \quad u \in \mathbb{R}^{1} .
\]

Докажите, что бифуркационные кривые для $\delta=0$ расщепляются на непересекающиеся ветви $2 \pi$-периодических решений, если $a
eq 0$. Найдите ряды для $\mu(\varepsilon, \delta / \varepsilon)$, где оба параметра $\varepsilon$ и $\delta / \varepsilon$ являются малыми, которые имеют место для $a
eq 0$ и для $a=0$. Повторите упражнение для случая, когда $u^{2}$ заменяется на $u^{3}$.
IX.2. Рассмотрите эволюционные задачи вида $u=f(t, \mu, \delta, u)$, где $f(t, \mu, \delta, 0)=$ $=0$, зависящие от параметра $\delta$, описывающего возмущение, налагаемое на задачу, исследованную в этой главе. Пусть, далее, имеется множитель Флоке $\lambda=e^{\sigma(\mu, \delta)} \%$, где
\[
\boldsymbol{\sigma}(\mu, \delta)=i \omega_{0}+\mu \sigma_{\mu}+\delta \sigma_{\delta}+O\left[|\mu|^{2}+|\delta|^{2}\right] \text { и } \operatorname{Re} \sigma_{\mu}
eq 0 .
\]
(1) Вычислите $\sigma_{\mu}$ и $\sigma_{\delta}$, используя скалярные произведения.
(2) Пусть $\lambda(0,0)$ является простым и вещественным. Покажите, что $\lambda(0,0)=1$ или -1. Затем покажите, что $\lambda(\mu, \delta)$ остается вещественным, если $|\mu|+|\delta|$ мало. Вычислите к ритические значения $\mu^{(c)}(\delta)=\delta \mu_{\delta}+O\left(\delta^{2}\right)$, для которых $\lambda^{[}\left[\mu^{(c)}(\delta), \delta\right]=1$ или -1. Покажите, что если $\mu$ пересекает $\mu^{(c)}(\delta), \delta$ фиксировано, то $\lambda(\mu, \delta)$ пересекает единичную окружность в точках $\lambda=1$ или $\lambda=-1$ соответственно.
(3) Предположим, что $\lambda(0,0)$ простое, а $\omega_{0}=2 \pi m / n T$ и $0<m / n<1$ (как в этой главе) и $n \geqslant 3$. Вычислите критические значения $\mu^{(c)}(\delta)=\delta \mu_{\delta}+O\left(\delta^{2}\right)$, для которых $\left|\lambda\left[\mu^{(c)}(\delta), \delta\right]\right|=1$. Каким точкам единичной окружности соответствует значение $\lambda\left[\mu^{(c)}(\delta), \delta\right]$ ? Покажите, что условие $[\lambda(0,0)]^{n}=1$ не выполняется для $\delta
eq 0$. Omвem:
\[
\arg \left[\lambda\left(\mu^{(c)}(\delta), \delta\right)\right]=\omega_{0}+\delta \frac{\left(\operatorname{Im} \sigma_{\delta} \operatorname{Re} \sigma_{\mu}-\operatorname{Im} \sigma_{\mu} \operatorname{Re} \sigma_{\delta}\right)}{\operatorname{Re} \sigma_{\mu}}+O\left(\delta^{2}\right) .
\]