Анализ асимптотических решений на бифуркационном торе можно провести, исследуя автономные уравнения (X.35) методом степенных рядов, который был использован в гл. VIII. По своей структуре искомые решения представляют собой суперпозицию $T$-периодических функций и преобразования $y=e^{i \omega_{0} t} x(s)$, где, как и выше, $s$ есть приведенное время, связанное с $t$ отображением, зависящим от амплитуды,
\[
\varepsilon^{2} \Omega(\varepsilon) t=s,
\]

которое отображает $2 \pi /\left(\varepsilon^{2} \Omega(\varepsilon)\right)$-интервалы по $t$ в $2 \pi$-интервалы по $s$.
Здесь будем преднолагать, что редукция к автономному уравнению (Х.35) фактически ограничивается на некотором $N$ или что $N=\infty$, но правая часть уравнения (Х.35) является аналитической по $x$ и $\bar{x}$, если $\mu$ мало́. Принимая какое-нибудь одно из эквивалентных определений амплитуды $\varepsilon$ переменной $x$, можно выполнить приводимое ниже формальное построение, т. е., предполагая аналитичность правой части (Х.35) по $x$ и $\bar{x}$, можно использовать теорему о неявной функшии для доказательства того, что ряды (X.154) по степеням $\varepsilon$ сходятся к единственному решению уравнения (X.35), если $\varepsilon$ мало́.
Пусть $a(\cdot) \in \mathbb{P}_{2 \pi}, b(\cdot) \in \mathbb{P}_{2 \pi}$. Тогда
\[
[a, b]_{2 \pi}=\frac{1}{2 \pi} \int_{i}^{2 \pi} a(s) \stackrel{\rightharpoonup}{b}(s) d s .
\]

Амплитуду бифуркационного решения можно определить следуюшим образом:
\[
\varepsilon=\left[x, e^{i s}\right]_{2 \pi} .
\]

Функции $\mu(\varepsilon), \Omega(\varepsilon)$ и $x(s, \varepsilon) \in \mathrm{P}_{2 \pi}$, удовлетворяющие уравнению (Х.35), ищем в виде
\[
\mu=\varepsilon^{2} \bar{\mu}(\varepsilon), \quad \Omega=\Omega(\varepsilon), \quad x=\varepsilon \dot{\chi}(s, \varepsilon),
\]

где
\[
\begin{aligned}
\Omega \frac{d \tilde{\chi}}{d s} & =\tilde{\mu} \hat{\sigma} \tilde{\chi}+\sum_{q \geqslant 1} \tilde{\chi}|\tilde{\chi}|^{2 q} a_{q} \varepsilon^{2 q-2}+ \\
& +\sum_{k>0} \sum_{q \geqslant 0}|\tilde{\chi}|^{2 q}\left\{a_{q, k} \tilde{\chi}^{1+k n} \varepsilon^{2 q+k n-2}+a_{q,-k} \tilde{\chi}^{k n-1} \varepsilon^{2 q+k n-4}\right\} .(X .151)
\end{aligned}
\]

Функция $\tilde{\chi}(s, \varepsilon)$, удовлетворяющая уравнению (X.151), инвариантна по отношению к переносу начала отсчета координаты $s$ и по отношению к поворотам функции $\bar{\chi}(s, \varepsilon)$ на углы, кратные $2 \pi / n$, т. е. если $\bar{\chi}(s, \varepsilon)$ является решением (X.151), то решением также будет $\bar{\chi}(s+\varphi, \varepsilon)$ для любого $\varphi$, а также $\tilde{\chi}(s, \varepsilon) e^{2 \pi i / n}$.
Предыдущий анализ уравнения (X.35) показывает, что
\[
x=\rho e^{i \theta}=\varepsilon e^{i s}\left\{1+\varepsilon \chi_{1}(s)+\ldots\right\},
\]

где $\chi_{1}(\cdot) \in \mathbb{P}_{2 \pi}$. Поэтому положим
\[
\bar{\chi}(s, \varepsilon)=e^{i s} \chi(s, \varepsilon),
\]

где, с учетом (X.149),
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \chi(s, \varepsilon) d s=1 .
\]

Фактически мы уже знаем и сейчас снова докажем, что функция $\chi(s, \varepsilon)$ является не только $2 \pi$-периодической, но и $2 \pi / n$-периодической. Здесь отметим, что решение $\chi(\cdot) \in \mathbb{P}_{2 \pi}, \mu(\varepsilon)$ и $\Omega(\varepsilon)$ уравнения
\[
\begin{array}{l}
(i \Omega-\tilde{\mu} \hat{\sigma}) \chi+\Omega \frac{d \chi}{d s}=\sum_{a \geqslant 1} \chi|\chi|^{2 q} a_{q} \varepsilon^{2 q-2}+ \\
+\sum_{k>0} \sum_{q \geqslant 0}|\chi|^{2 q}\left\{a_{q, k} e^{i k n s} \chi^{1+k n} \varepsilon^{2 q+k \cdot 2-2}+\right. \\
\left.+a_{q,-k} e^{i k n s} \bar{\chi}^{k n-1} \varepsilon^{2 q+k n-4}\right\} \\
\end{array}
\]

является аналитическим по $\varepsilon$, если $\varepsilon$ мало́; оно единственно и его можно построить в виде степенных рядов:
\[
\begin{aligned}
\chi(s, \varepsilon) & =\chi_{0}(s)+\varepsilon \chi_{1}(s)+\varepsilon^{2} \chi_{2}(s)+\ldots, \\
\hat{\mu}(\varepsilon) & =\tilde{\mu}_{0}+\varepsilon \tilde{\mu}_{1}+\varepsilon^{2} \tilde{\mu}_{2}+\ldots, \\
\Omega(\varepsilon) & =\Omega_{\iota t}+\varepsilon \Omega_{1}+\varepsilon^{2} \Omega_{2}+\ldots,
\end{aligned}
\]

где коэффициенты рядов определяются из уравнений, которые получаются в результате подстановки (X.154) в (X.152) и (X.153) и приравнивая в левых и правых частях получаемых уравнений коэффициентов при одинаковых степенях в. Для упрощения записи будем предполагать, что $\hat{\sigma}, a_{l}$ и $a_{l k}$ не зависят от $\mu$. Находим, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \chi_{0}(s) d s=1, \\
\left(i \Omega_{0}-\tilde{\mu_{0}} \hat{\sigma}\right) \chi_{0}+\Omega_{0} \frac{d \chi_{0}}{d s}=\left|\chi_{0}\right|^{2} \chi_{0} a_{1} .
\end{array}
\]

Поэтому $\chi_{0}=1$ и
\[
i \Omega_{0}=\tilde{\mu}_{0} \hat{\sigma}+a_{1},
\]

где, по предположению, потеря устойчивости решения $\mathbf{u}=0$ является строгой $(\operatorname{Re} \hat{\sigma}
eq 0$ ) и слабо резонансная субгармоническая бифуркация не имеет места ( $\Omega_{0}
eq 0$ ). При этих предположениях уравнение (Х.157) можно разрешить стносительно $\tilde{\mu}_{0}$ и $\Omega_{0}$.
Коэффициенты при \& в (X.152) и (X.153) равны нулю, если
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \chi_{1}(s) d s=0, \\
\left(i \Omega_{1}-\tilde{\mu}_{1} \hat{\sigma}\right)+\left(i \Omega_{0}-\tilde{\mu} \hat{\sigma}\right) \chi_{1}+\Omega_{0} \frac{d \chi_{1}}{d s}=\left(\bar{\chi}_{1}+2 \chi_{1}\right) a_{1}+g_{1},
\end{array}
\]

или, используя (X.157),
\[
\Omega_{0} \frac{d \chi_{1}}{d s}=\left(\chi_{1}+\bar{\chi}_{1}\right) a_{1}+g_{1}-\left(i \Omega_{1}-\tilde{\mu_{1}} \hat{\sigma}\right),
\]

где
\[
\begin{array}{ll}
g_{1}=a_{0,-1} e^{-5 i} & \text { при } n=5, \\
g_{1}=0 & \text { при } n>5 .
\end{array}
\]

Следующие замечания поясняют процедуру, которая используется для решения уравнений (X.160) и (X.161). Линейная задача
\[
\Omega_{0} \frac{d y}{d s}-(y+\bar{y}) a_{1}=\hat{g} \in \mathbb{P}_{2 \pi},
\]

где $\hat{\boldsymbol{g}}(s)$ имеет среднее значение, равное нулю,
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \hat{g}(s) d s=0,
\]

имеет единственное $2 \pi$-периодическое решение $y(s)$ с равным нулю средним значением. Если $\hat{g}(s) \in \mathbb{P}_{2 \pi / n}$, то $y(s) \in \mathbb{P}_{2 \pi / n}$. Чтобы это доказать, отметим, что
\[
\Omega_{0} \frac{d(y+\bar{y})}{d s}-2 \operatorname{Re}\left(a_{1}\right)(y+\bar{y})=2 \operatorname{Re} \hat{g}(s) .
\]

Так как уравнение (X.164) не имеет $2 \pi$-периодических решений $(y+\bar{y})(s)$, если $\hat{g}(s)=0$, и среднее значение $\operatorname{Re} \hat{g}(s)$ равно нулю, то его единственное решение $y(s)+\bar{y}(s)$ также имеет равное нулю среднее значение. Тогда решение $y$ уравнения (X.162) определяется единственным образом и имеет среднее значение, равное нулю.

Возвращаясь теперь к уравнєнию (X.160), мы можем построить функцию $\hat{g}=g_{1}-\left(i \Omega_{1}-\tilde{\mu}_{1} \hat{\sigma}\right)$ с нулевым средним значением тогда и только тогда, когда $\tilde{\mu}_{1}=\Omega_{1}=0$. Тогда если $n=5$, то
\[
\chi_{1}(s)=A e^{5 i s}+B e^{-5 i s},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
A=\frac{a_{1} \bar{a}_{0,-1}}{5 i \Omega_{0}\left(5 i \Omega_{0}-a_{1}-\bar{a}_{1}\right)}, \\
B=\frac{-a_{0,-1}\left(5 i \Omega_{0}+\bar{a}_{1}\right)}{5 i \Omega_{0}\left(5 i \Omega_{0}+a_{1}+\bar{a}_{1}\right)} .
\end{array}
\]

Решения более высокого порядка представляются в виде полиномов от $e^{ \pm 5 \text { is }}$.

Уравнения для определения функций $\chi_{l}(s)$ для $l>1$ имеют вид уравнения (X.160). Значения $\tilde{\mu}_{n}$ и $\Omega_{n}$ получаем в результате такого их выбора, для которого среднее значение функции $\chi_{l}(s)$ равно нулю. Если $n>5$, то для $0 \leqslant l \leqslant n-5$ не существует неоднородных членов с нулевыми средними значениями. Для этих значений $l$ имеем $\chi_{l}(s)=0$, а первой отличной от нуля функцией $\chi_{l}(s), l>0$, будет та, для которой $l=n-4$.

Построение в этом дополнении функции $\chi(s, \varepsilon)$ уже показывает, что $\chi(s, \varepsilon)$, является $2 \pi / n$-периодической по $s$. Это уменьшение $\tilde{\chi}(s, \varepsilon)$ уравнения (X.151) относительно переноса и поворота Так как решение $\tilde{\chi}(\cdot, \varepsilon)$ является единственным с точностью до сдвига по $s$ и поворота функции $\tilde{\chi}$ на угол $2 \pi / n$, то существует $\varphi$, такое что
\[
\tilde{\chi}(s+\varphi, \varepsilon)=e^{i(s+\varphi)} \chi(s+\varphi, \varepsilon)=e^{i s} e^{2 \pi i / n} \chi(s, \varepsilon),
\]

где
\[
\chi(\cdot, \varepsilon)=1+\varepsilon \chi_{1}(\cdot)+\varepsilon^{2} \chi_{2}(\cdot)+\ldots .
\]

Поэтому
\[
e^{i(s+\varphi)}\left\{1+\varepsilon \chi_{1}(s+\varphi)+\ldots\right\}=e^{i(s+(2 \pi / n))}\left\{1+\varepsilon \chi_{1}(s)+\ldots\right\} .
\]

Следовательно, $\varphi=2 \pi / n$ и
\[
\chi_{l}\left(s+\left(\frac{2 \pi}{n}\right)\right)=\chi_{l}(s) \text { для } l \geqslant 1 .
\]