Для того чтобы доказать бифуркацию в периодические решения при выполнении условий (VII.4), заметим, что $\bar{\zeta}$ и $\bar{\zeta}$ независимы и поэтому любой вещественный двумерный вектор $\mathbf{u}=\left(u_{1}, u_{2}\right)$ можно представить в виде
\[
u_{i}=a(t) \zeta_{i}+\bar{a}(t) \bar{\xi}_{i} \text {. }
\]

Подставляя эти соотношения в (VII.1) и используя (VI.2), находим
\[
\begin{array}{l}
\dot{a} \zeta_{i}+\dot{\bar{a} \zeta_{i}}=\sigma(\mu) \zeta_{i}+\bar{\sigma}(\mu) \bar{\zeta}_{i}+a^{2} B_{i j k} \zeta_{j} \zeta_{k}+2|a|^{2} B_{i j k} \zeta_{i} \bar{\zeta}_{k}+ \\
+\bar{a}^{2} B_{i j k} \bar{\zeta}_{i} \bar{\zeta}_{k}+O\left(|a|^{3}\right) .
\end{array}
\]

Используем теперь свойства ортогональности (VII.3) для приведения последних уравнений к одному комплексному амплитудному уравнению:
\[
\dot{a}=
ot(\mu, a)=\sigma(\mu) a+\alpha(\mu) a^{2}+2 \beta(\mu)|a|^{2}+\gamma(\mu) \bar{a}^{2}+O\left(|a|^{3}\right),
\]

где, например, $\alpha(\mu)=B_{i j k}(\mu) \zeta_{j} \zeta_{k} \bar{\zeta}_{i}^{*}$. (Для простоты в этой главе отбросим в $
eq(\mu, a)$ кубические члены. В бифуркационном решении наличие этих членов скажется во втором порядке, однако их учет не приводит к каким-либо новым особенностям. В гл. VIII мы сохраним отбрасываемые здесь члены.) Устойчивость по первому приближению решения $a=0$ уравнения (VII.5) определяется уравнением $\dot{a}=\sigma(\mu) a, a=\mathrm{const} \times e^{\sigma(\mu) t}$. В критической точке $(\mu=0)$ решение $a=\mathrm{const} \times e^{i \omega_{0} t}$ является $2 \pi$-периодичным по $s=\omega_{0} t$.