В нашем исследовании равновесных решений (II.3) желательно ввести следующую классификацию точек.
(1) Регулярная точка уравнения $F(\mu, \varepsilon)=0$-это такая точка, для которой выполняются условия теоремы о неявной функции:
\[
F
eq 0 \text { или } F_{\varepsilon}
eq 0 .
\]

Если (II.4) выполняется, то можно найти единственную кривую $\mu=\mu(\varepsilon)$ или $\varepsilon=\varepsilon(\mu)$, проходящую через эту точку.
(2) Регулярная экстремальная точка -это точка, в которой $\mu_{\varepsilon}(\varepsilon)$ изменяет знак и $F_{\mu}(\mu, \varepsilon)
eq 0$.
(3) Особая точка кривой $F(\mu, \varepsilon)=0$-это точка, в которой
\[
F_{\mu}=F_{\varepsilon}=0 .
\]
(4) Двойная точка кривой $F(\mu, \varepsilon)=0$-это особая точка, через которую проходят две и только две ветви $F(\mu, \varepsilon)=0$, имеющие разные касательные. Мы будем предполагать, что в двойной точке все вторые производные от $F$ одновременно не обращаются в нуль.
(5) Особая экстремальная (двойная) точка кривой $F(\mu, \varepsilon)=0$ это двойная точка, в которой $\mu_{e}$ изменяет знак на одной ветви.
(6) Точка возврата кривой $F(\mu, \varepsilon)=0$-это точка касания второго порядка между двумя ветвями кривой. Две ветви кривой имеют в точке возврата одну и ту же касательную.
(7) Сопряженная точка – это изолированное особое точечное решение уравнения $F(\mu, \varepsilon)=0$.
(8) Особая точка высокого порядка кривой $F(\mu, \varepsilon)=0$-это особая точка, в которой все три вторые производные от $F$ равны нулю.

Замечания. Элементарная теория особых точек плоских кривых излагается во многих книгах по классическому анализу; например, см. R. Courant, Differential and Integral Calculus, Vol. II, Chap. III

(New York: Interscience, 1956). Для того, чтобы дополнить исследование бифуркации в $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}$, нам, кэоме того, понадобится провести исследование устойчивости бифуркационных решений (см. разд. II.8-II.14, содержащие результаты, опубликованные в работе: D. D. Joseph, Factorization theorems and repeated branching of solutions at a simple eigenvalue, Annals of the New York Academy of Sciences, 316, 150-167 (1979).