В нашем исследовании равновесных решений (II.3) желательно ввести следующую классификацию точек.
(1) Регулярная точка уравнения $F(\mu ,\epsilon )=0$-это такая точка, для которой выполняются условия теоремы о неявной функции:
$$Feq0\text{ или }{F}_{\epsilon }eq0.$$

Если (II.4) выполняется, то можно найти единственную кривую $\mu =\mu (\epsilon )$ или $\epsilon =\epsilon (\mu )$, проходящую через эту точку.
(2) Регулярная экстремальная точка -это точка, в которой ${\mu }_{\epsilon }(\epsilon )$ изменяет знак и $F_{\mu }(\mu ,\epsilon )eq0$.
(3) Особая точка кривой $F(\mu ,\epsilon )=0$-это точка, в которой
$$F_{\mu }=F_{\epsilon }=0.$$
(4) Двойная точка кривой $F(\mu ,\epsilon )=0$-это особая точка, через которую проходят две и только две ветви $F(\mu ,\epsilon )=0$, имеющие разные касательные. Мы будем предполагать, что в двойной точке все вторые производные от $F$ одновременно не обращаются в нуль.
(5) Особая экстремальная (двойная) точка кривой $F(\mu ,\epsilon )=0$ это двойная точка, в которой ${\mu }_e$ изменяет знак на одной ветви.
(6) Точка возврата кривой $F(\mu ,\epsilon )=0$-это точка касания второго порядка между двумя ветвями кривой. Две ветви кривой имеют в точке возврата одну и ту же касательную.
(7) Сопряженная точка — это изолированное особое точечное решение уравнения $F(\mu ,\epsilon )=0$.
(8) Особая точка высокого порядка кривой $F(\mu ,\epsilon )=0$-это особая точка, в которой все три вторые производные от $F$ равны нулю.

Замечания. Элементарная теория особых точек плоских кривых излагается во многих книгах по классическому анализу; например, см. R. Courant, Differential and Integral Calculus, Vol. II, Chap. III

(New York: Interscience, 1956). Для того, чтобы дополнить исследование бифуркации в ${\mathbb{R}}^{\mathbf{1}}$, нам, кэоме того, понадобится провести исследование устойчивости бифуркационных решений (см. разд. II.8-II.14, содержащие результаты, опубликованные в работе: D. D. Joseph, Factorization theorems and repeated branching of solutions at a simple eigenvalue, Annals of the New York Academy of Sciences, 316, 150-167 (1979).