Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что в настоящем случае бифуркационным объектом является не отдельная траектория, а однопараметрическое семейство траекторий, лежащих на некотором торе в фазовом пространстве. Здесь под устойчивостью (неустойчивостью) понимается свойство притяжения (отталкивания)
самого тора, а не устойчивость (или неустойчивость) отдельной траектории на нем.

Разложение (X.2) показывает, что траектории сжимаются в Wнаправлениях фазового пространства, потому что экспоненты Флоке, соответствующие этим направлениям, остаются в левой части комплексной плоскости. Это говорит о том, что двумерная проекция $Z \zeta+\bar{Z} \bar{\zeta}$ или, что эквивалентно, образ этой проекции в $\mathbb{R}^{2}$ с координатами $(\rho, \theta)$, определяемыми соотношениями (X.38), управляет устойчивостью всего решения. Это предположение является установленным фактом, который можно вывести как следствие основной теоремы о многообразиях (см. O. Lanford III, Bifurcation of periodic solutions into invariant tori: the work of Ruelle and Takens, Nonlinear Problems in the Physical Sciences and Biology, Lecture Notes in Mathematics, No. 322, (New York-Heidelberg-Berlin: SpringerVerlag, 1973) pp. 159-192 или G. Iooss, Bifurcation of Maps and Applications, цитировано выше.)

Поэтому наше дифференциальное уравнение можно свести к двум уравнениям (X.56). Эти два уравнения выполняются асимптотически до членов $O\left(\varepsilon^{N}\right), N$ неограничено, и им удовлетворяют потоки на бифуркационном торе
\[
\rho(t)=\varepsilon R(\theta(t), \varepsilon),
\]

где $R$ можно построить до членов $O\left(\varepsilon^{N}\right)$, как в $\S$ X.5-10:
\[
R(\theta, \varepsilon)=1+\varepsilon R_{\mathbf{i}}(\theta)+\ldots .
\]

Чтобы исследовать устойчивость, возмутим тор, положив
\[
\rho=\varepsilon R(\theta(t), \varepsilon)+\rho^{\prime},
\]

где $\theta(t) \in[0,2 \pi)$-любое из решений уравнений (X.56) на торе. Комбинируя (X.123) с уравнением (X.56) для $\rho$, находим, что $\rho^{\prime}$ удовлетворяет уравнению
\[
\dot{\rho}^{\prime}=\varepsilon^{2}\left(\mu_{2} \hat{\xi}_{0}+3 \alpha_{10}\right) \rho^{\prime}+O\left(\varepsilon^{3}\right) \rho^{\prime}+O\left(\left|\rho^{\prime}\right|^{2}\right) .
\]

Напомним, что $\mu_{2} \hat{\xi}_{0}+3 \alpha_{10}=-2 \mu_{2} \hat{\xi}_{0}$, а $\hat{\xi}_{0}>0$ в силу предположения о строгой потере устойчивости решения $\mathbf{u}=0$. Отсюда следует, что $\left|\rho^{\prime}(t)\right| \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$, если $\mu_{2}>0$, а $\left|\rho^{\prime}(0)\right|$ достаточно мало, т. е. получаем устойчивость, если бифуркация тора является суперкритической. Если же $\mu_{2}<0$, то тор неустойчив. Малые возмушения тора притягиваются к суперкритическому тору и отталкиваются субкритическим тором.