Устойчивость решений уравнения (II.25) можно установить из анализа знака выражения
\[
\begin{aligned}
\sigma(\varepsilon)= & -\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) F_{\mu}(\mu(\varepsilon), \varepsilon)= \\
= & -\frac{1}{2} \mu_{\varepsilon}(\varepsilon) F_{\mu \mu \mu}\left\{\frac{1}{3}\left(\mu_{\varepsilon}^{(1)} \mu_{\varepsilon}^{(2)}+\mu_{\varepsilon}^{(1)} \mu_{\varepsilon}^{(3)}+\mu_{\varepsilon}^{(2)} \mu_{\varepsilon}^{(3)}\right)-\right. \\
& \left.-\frac{2}{3} \mu_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)\left(\mu_{\varepsilon}^{(1)}+\mu_{\varepsilon}^{(2)}+\mu_{\varepsilon}^{(3)}\right)+\mu_{\varepsilon}^{2}\left(\varepsilon_{0}\right)\right\}\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)^{2}+O\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)^{\mathbf{3}},
\end{aligned}
\]

где при разложении $F_{\mu}(\mu(\varepsilon), \varepsilon)$ в ряд по степеням $\varepsilon-\varepsilon_{0}$ были использованы формулы (II.26), (II.27). Это выражение можно представить на каждой из трех ветвей в следующей форме:
\[
\begin{aligned}
{\left[\begin{array}{l}
\sigma^{(1)}(\varepsilon) \\
\sigma^{(2)}(\varepsilon) \\
\sigma^{(3)}(\varepsilon)
\end{array}\right]=} & -\frac{1}{6} F_{\mu \mu \mu}\left[\begin{array}{l}
\mu_{\varepsilon}^{(1)}(\varepsilon)\left(\mu_{\varepsilon}^{(1)}-\mu_{\varepsilon}^{(2)}\right)\left(\mu_{\varepsilon}^{(1)}-\mu_{\varepsilon}^{(3)}\right) \\
\mu_{\varepsilon}^{(2)}(\varepsilon)\left(\mu_{\varepsilon}^{(1)}-\mu_{\varepsilon}^{(2)}\right)\left(\mu_{\varepsilon}^{(3)}-\mu_{\varepsilon}^{(2)}\right) \\
\mu_{\varepsilon}^{(3)}(\varepsilon)\left(\mu_{\varepsilon}^{(1)}-\mu_{\varepsilon}^{(3)}\right)\left(\mu_{\varepsilon}^{(2)}-\mu_{\varepsilon}^{(3)}\right)
\end{array}\right]\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)^{2}+ \\
& +O\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)^{3},
\end{aligned}
\]

где без ограничения общности можно считать, что $\mu_{\varepsilon}^{(1)}>\mu_{\varepsilon}^{(2)}>\mu_{\varepsilon}^{(3)}$.
Из (II.57) легко определить распределение устойчивости на трех различных ветвях. Например, знак
\[
\frac{6 \sigma^{(j)}(\varepsilon)}{\mu_{\varepsilon}^{(j)}(\varepsilon) F_{\mu \mu \mu}}
\]

совпадает со знаком $(-1)^{\prime}$.
Мы оставляем в качестве упражнения для интересующегося читателя дальнейшие заключения о бифуркации и устойчивости в особой точке, в которой все вторые производные равны нулю. Здесь

Рис. I1.7. Бифуркация, устойчивость и области притяжения положенцем равновесия решений уравнения
\[
\frac{d u}{d t}=u(9-\mu u)\left(\mu+2 u-u^{2}\right)\left([\mu-10]^{2}+[u-3]^{2}-1\right) .
\]

Равновесное решение $\mu=9 / u$ в третьем квадранте и окружность являются изолированными решениями, которые нельзя получить из анализа бифуркации.

достаточно будет лишь отметить, что смена устойчивости на ветви, проходящей через такую точку, может происходить тогда и только тогда, когда $\mu_{\varepsilon}(\varepsilon)$ изменяет на ней знак.