Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Устойчивость решений уравнения (II.25) можно установить из анализа знака выражения
\[
\begin{aligned}
\sigma(\varepsilon)= & -\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) F_{\mu}(\mu(\varepsilon), \varepsilon)= \\
= & -\frac{1}{2} \mu_{\varepsilon}(\varepsilon) F_{\mu \mu \mu}\left\{\frac{1}{3}\left(\mu_{\varepsilon}^{(1)} \mu_{\varepsilon}^{(2)}+\mu_{\varepsilon}^{(1)} \mu_{\varepsilon}^{(3)}+\mu_{\varepsilon}^{(2)} \mu_{\varepsilon}^{(3)}\right)-\right. \\
& \left.-\frac{2}{3} \mu_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)\left(\mu_{\varepsilon}^{(1)}+\mu_{\varepsilon}^{(2)}+\mu_{\varepsilon}^{(3)}\right)+\mu_{\varepsilon}^{2}\left(\varepsilon_{0}\right)\right\}\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)^{2}+O\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)^{\mathbf{3}},
\end{aligned}
\]
где при разложении $F_{\mu}(\mu(\varepsilon), \varepsilon)$ в ряд по степеням $\varepsilon-\varepsilon_{0}$ были использованы формулы (II.26), (II.27). Это выражение можно представить на каждой из трех ветвей в следующей форме:
\[
\begin{aligned}
{\left[\begin{array}{l}
\sigma^{(1)}(\varepsilon) \\
\sigma^{(2)}(\varepsilon) \\
\sigma^{(3)}(\varepsilon)
\end{array}\right]=} & -\frac{1}{6} F_{\mu \mu \mu}\left[\begin{array}{l}
\mu_{\varepsilon}^{(1)}(\varepsilon)\left(\mu_{\varepsilon}^{(1)}-\mu_{\varepsilon}^{(2)}\right)\left(\mu_{\varepsilon}^{(1)}-\mu_{\varepsilon}^{(3)}\right) \\
\mu_{\varepsilon}^{(2)}(\varepsilon)\left(\mu_{\varepsilon}^{(1)}-\mu_{\varepsilon}^{(2)}\right)\left(\mu_{\varepsilon}^{(3)}-\mu_{\varepsilon}^{(2)}\right) \\
\mu_{\varepsilon}^{(3)}(\varepsilon)\left(\mu_{\varepsilon}^{(1)}-\mu_{\varepsilon}^{(3)}\right)\left(\mu_{\varepsilon}^{(2)}-\mu_{\varepsilon}^{(3)}\right)
\end{array}\right]\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)^{2}+ \\
& +O\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)^{3},
\end{aligned}
\]
где без ограничения общности можно считать, что $\mu_{\varepsilon}^{(1)}>\mu_{\varepsilon}^{(2)}>\mu_{\varepsilon}^{(3)}$.
Из (II.57) легко определить распределение устойчивости на трех различных ветвях. Например, знак
\[
\frac{6 \sigma^{(j)}(\varepsilon)}{\mu_{\varepsilon}^{(j)}(\varepsilon) F_{\mu \mu \mu}}
\]
совпадает со знаком $(-1)^{\prime}$.
Мы оставляем в качестве упражнения для интересующегося читателя дальнейшие заключения о бифуркации и устойчивости в особой точке, в которой все вторые производные равны нулю. Здесь
Рис. I1.7. Бифуркация, устойчивость и области притяжения положенцем равновесия решений уравнения
\[
\frac{d u}{d t}=u(9-\mu u)\left(\mu+2 u-u^{2}\right)\left([\mu-10]^{2}+[u-3]^{2}-1\right) .
\]
Равновесное решение $\mu=9 / u$ в третьем квадранте и окружность являются изолированными решениями, которые нельзя получить из анализа бифуркации.
достаточно будет лишь отметить, что смена устойчивости на ветви, проходящей через такую точку, может происходить тогда и только тогда, когда $\mu_{\varepsilon}(\varepsilon)$ изменяет на ней знак.
