Предположим теперь, что $\lambda_{0}^{b}=1$. Определяя коэффициент при $\boldsymbol{\varepsilon}^{4}$ в (Х.59), находим, что
\[
\begin{aligned}
\hat{\mathrm{\xi}}_{0}\left(\mu_{\mathrm{s}}+\mu_{2} \rho_{2}(\theta)\right)+3 \alpha_{10} \rho_{2}(\theta)+\alpha_{010} e^{s: \theta}+\bar{\alpha}_{010} e^{-s i \theta} & = \\
& =\rho_{2}^{\prime}(\theta)\left[\mu_{2} \hat{\omega}_{0}+\beta_{10}\right] .
\end{aligned}
\]
После вычисления среднего значения от (X.66) находим, что $\hat{\xi_{0}} \mu_{3}=0$; следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\mu_{8}=0, \\
\rho_{2}(\theta)=g_{1} e^{s i \theta}+\overline{g_{1}} e^{-s i \theta},
\end{array}
\]
где $g_{1}$-комплексная постоянная, удовлетворяющая уравнению
\[
g_{1}\left[2 \alpha_{10}-5 i\left(\mu_{2} \hat{\omega}_{0}+\beta_{10}\right)\right]+a_{010}=0 .
\]
Из (Х.68) можно определить $g_{1}$, если коэффициент при $g_{1}$ отличен от нуля. Поскольку из (Х.65) следует, что $\mu_{2}=0$, если $\alpha_{10}=0$, то заключаем, что (Х.68) можно разрешить относительно $g_{1}$, если не имеет места исключительный случай, когда $\alpha_{10}=\beta_{10}=0$. В этом исключительном случае не должна происходить бифуркация в инвариантный тор. Мы не будем рассматривать такие исключительные случаи.
Поступая как и выше, определим коэффициент при $\varepsilon^{5}$ в (X.59) и найдем, что
\[
\begin{array}{l}
\hat{\xi}_{0}\left[\mu_{4}+\mu_{8} \rho_{8}\right]+\hat{\xi}_{1} \mu_{2}^{2}+3 \alpha_{10} \rho_{2}^{2}+3 \alpha_{10} \rho_{3}+\alpha_{11} \mu_{2}+ \\
+\alpha_{20}+4 \rho_{2}\left(\alpha_{010} e^{s i \theta}+\bar{\alpha}_{010} e^{-s i \theta}\right)= \\
=\rho_{3}^{\prime}\left(\mu_{2} \hat{\omega}_{0}+\beta_{10}\right)+\rho_{2}^{\prime}\left(2 \beta_{10} \rho_{2}+\beta_{010} e^{s i \theta}+\bar{\beta}_{010} e^{-s i \theta}\right) . \\
\end{array}
\]
Среднее значение от (Х.69) есть
\[
\begin{array}{l}
\hat{\xi}_{0} \mu_{4}=\left(5 i \bar{g}_{1} \beta_{010}-5 i g_{1} \beta_{010}\right)-4\left(\alpha_{010} \bar{g}_{1}+\bar{\alpha}_{010} g_{1}\right)- \\
\quad-\mu_{2}^{2} \hat{\xi}_{1}-6 \alpha_{10}\left|g_{1}\right|^{2}-\alpha_{11} \mu_{2}-\alpha_{20},
\end{array}
\]
и из (Х.69) и (Х.70) находим
\[
\rho_{3}(\theta)=g_{2} e^{1 c i \theta}+\bar{g}_{2} e^{-i 0 i \theta},
\]
где $g_{2}$ вычисляется как $g_{1}$, если $\alpha_{10}$ и $\beta_{10}$ не равны нулю одновременно.
Переходя затем к коэффициенту при $\boldsymbol{\varepsilon}^{в}$, находим, что
\[
\begin{aligned}
\hat{\xi}_{0} \mu_{5}+2 \alpha_{10} \rho_{4}+F_{3} e^{1 s i \theta}+\bar{F}_{3} e^{-1 s i \theta}+F_{1} e^{5 i \theta}+\bar{F}_{1} e^{-5 i \theta} & = \\
& =\rho_{4}^{\prime}\left(\mu_{2} \hat{\omega}_{0}+\beta_{10}\right) .
\end{aligned}
\]
Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\mu_{5}=0, \\
\rho_{4}(\theta)=g_{80} e^{1 s i \theta}+\bar{g}_{30} e^{-1 s i \theta}+g_{31} e^{s i \theta}+\bar{g}_{31} e^{-s i \theta},
\end{array}
\]
где $g_{30}$ и $g_{31}$ определяются из требования тождественного по $\theta$ выполнения (X.71) после подстановки $\rho_{4}$ и (X.72), а $F_{3}, F_{1}$ легко можно выразить через известные коэффициенты.
В общем случае можно показать, используя метод математической индукции, что
\[
\begin{array}{c}
\mu_{2 p+1}=0, \\
\rho_{p+1}(\theta)=\sum_{q \geqslant 0}^{Q p} g_{p q} e^{5(p-2 q) i \theta}+\bar{g}_{p q} e^{b(2 q-p) i \theta},
\end{array}
\]
где $Q_{p}=(p-1) / 2$, если $p$ нечетно, и $Q_{p}=(p / 2)-1$, если $p$ четно. Все числа $g_{p q}$, подобно $g_{1}$ и $g_{2}$, можно определить в результате отождествления.
