Если $n
eq 1,2$, то имеем (см. (XI.15)) $\mathfrak{Z _ { 0 }}=\sqrt{ } \mathbf{Z}_{1}=\sqrt{\mathbf{Z}} \overline{\mathbf{Z}}_{1}=0$. Отсюда следует, что $\mathbf{Y}(s, \alpha)$ можно найти в форме разложения
\[
\mathbf{Y}(s, \alpha)=\alpha\left[e^{i \varphi(\alpha)} \mathbf{Z}_{1}(s)+e^{-i \varphi(\alpha)} \overline{\mathbf{Z}}_{1}(s)\right]+\chi(s, \alpha),
\]

при этом выполняется условие (XI.48),
\[
\left[\chi(\cdot, \alpha), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=0, \quad\left[\mathbf{Y}(\cdot, \alpha), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=\alpha e^{i \varphi(\alpha)} .
\]

а из (XI.57), что
\[
\left[\mathbf{Y}^{(1)}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=e^{i \varphi_{0}},
\]
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{Y}^{(\mathbf{1})}=e^{i \varphi_{0}} \mathbf{Z}_{1}+e^{-i \varphi_{0}} \overline{\mathbf{Z}}_{1}=\exp \left(i\left(\varphi_{0}+\frac{m}{n} s\right)\right) \boldsymbol{\Gamma}_{0}+ \\
+\exp \left(-i\left(\varphi_{0}+\frac{m}{n} s\right)\right) \overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0} . \\
\end{array}
\]

Для разрешимости уравнения (XI.59) необходимо и достаточно, чтобы
\[
\left[\int \mathbf{Y}^{(2)}, \mathbf{Z}_{l}^{*}\right]_{2 \pi n}=\left[\mathbf{Y}^{(2)}, \int^{*} \mathbf{Z}_{l}^{*}\right]_{2 \pi n}=0, \quad l=0,1,2 .
\]

Сначала запишем условия (XI.76) для уравнения (XI.59) для $l=1$. Так как $\mathrm{Y}^{(2)}$ – вещественная вектор-функция, то (XI.76) автоматически выполняются для $l=2$. Тогда, используя (XI.63), находим $2 \mu^{(1)}\left[\left(\mathcal{Y} \mathbf{Y}_{1}-\hat{\omega}_{1} \dot{\mathbf{Y}}_{1}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}-\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}_{1}\right| \mathbf{Y}_{1}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=0 .(\mathrm{XI.77})$
Уравнение (XI.77) можно упростить, замечая, что если $\mathscr{L}$ есть какой-нибудь линейный $2 \pi$-периодический оператор, $\mathbf{Z}_{1}=e^{i(m / n) s} \boldsymbol{\Gamma}_{0}(s)$,

\[
\begin{aligned}
\mathbf{Z}_{1}^{*}=e^{i(m / n) s} & \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{*}(s), \text { то } \\
& \quad\left[\mathscr{L} \overline{\mathbf{Z}}_{1}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=\left[e^{-2 i(m / n) s} \mathscr{L} \overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}, \Gamma_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}=0 .
\end{aligned}
\]

Теперь заменим $\mathbf{Y}^{(\mathbf{1})}$ в (X 1.77) ее разложением (XI.75) и используем уравнение (XI.19) для приведения уравнения (XI.77) к виду
\[
\begin{array}{l}
2 \mu^{(1)}\left(\gamma_{1}-\frac{i m}{n} \hat{\omega}_{\mathbf{i}}\right) e^{i \varphi_{0}}-e^{2 i \varphi_{0}}\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \mathbf{Z}_{1}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}- \\
-2\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Z}_{1}\right| \overline{\mathbf{Z}}_{1}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}-e^{-2 i \varphi_{0}}\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\overline{\mathbf{Z}}_{1}\right| \overline{\mathbf{Z}}_{1}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=0 .
\end{array}
\]

Вторые два члена в (XI.79)і равны нулю,
\[
\begin{array}{c}
{\left[e^{i(m / n) s} \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\Gamma}_{0}\right| \boldsymbol{\Gamma}_{0}\right), \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}=0,} \\
{\left[e^{-i(m / n) s} \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\Gamma_{0}\right| \bar{\Gamma}_{0}\right), \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}=0,}
\end{array}
\]

а последний член обращается в нуль, если $n
eq 3$ :
\[
\left[e^{-3 i(m / n) s} \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right| \overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right), \Gamma_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}=\lambda_{1} \delta_{n 3} .
\]

Поэтому получаем уравнение
\[
2 \mu^{(1)}\left(\gamma_{1}-i \frac{m}{n} \hat{\omega}_{i}\right)-e^{-3 i \varphi_{0} \lambda_{1} \delta_{n 3}}=0,
\]

которое, в сущности, совпадает с уравнением (IX.66). Отсюда находим, что $\mu^{(1)}=0$, за исключением случая, когда $n=3$. $6 \pi$-периодические решения $\psi(s, \alpha)=\psi(s+6 \pi n, \alpha)$, ответвляющиеся от решения $\hat{\mathbf{U}}(s, \mu(\alpha))=\hat{\mathbf{U}}(s+2 \pi, \mu(\alpha))$ при $\alpha=0$, имеют в точности те же самые периоды, что и $3 T$-периодические решения, найденные B § IX. 14.

Чтобы установить зависимость бифуркационных решений от реального времени, необходимо найти частоту $\Omega(\alpha)$. Вторую производную $\Omega_{2}$ от этой частоты можно найти из уравнения (XI.59), используя условие $\left[\int \mathbf{Y}^{(2)}, \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}=0$. Скалярные произведения членов, линейных по $\mathbf{Y}_{1}$, имеют вид $\left[e^{ \pm i(m / n) s} a(s)\right]_{2 \pi n}=0$, где $a(s)$ есть $2 \pi$ периодическая функция, а
\[
\begin{array}{c}
{\left[F_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(1)}\right), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}=2\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{\Gamma}_{0}\right| \overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{1}\right), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}=} \\
=2\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\Gamma}_{0}\right| \overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{2 \pi n} .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что для $n \in \mathbb{N}, n=1,2$ имеем
\[
\omega^{(2)}-\Omega^{(2)}=-\left[F_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\Gamma}_{0}\right| \overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{2 \pi n} .
\]

Теперь мы утверждаем, что за исключением вычисления частоты $\Omega(\alpha), 6 \pi$-периодическое ( $n=3$ ) относительно приведенного времени $s$ субгармоническое решение обладает всеми свойствами $3 T$-периодических решений, найденных в § IX.14., включая свойства устойчивости (неустойчивости для $\mu$, близких к $\mu_{0}$ ).

Поэтому обратим наше внимание на случаи субгармонической бифуркации, для которых $n
eq 1,2,3$. Для всех таких случаев имеем $\mu^{(1)}=U^{(1)}=\Omega^{(1)}=\omega^{(1)}=0$. Уравнение (XI.71) здесь также имеет место, но с $\mathbf{Y}^{(\mathbf{1})}=e^{i \varphi_{0}} \mathbf{Z}_{1}+e^{-i \varphi_{0}} \overline{\mathbf{Z}}_{1}$ Это уравнение разрешимо, если выполняются условия (XI.76) для $\mathbf{Y}^{(3)}$ с $l=0$ и $l=1$. Эти условия биортогональности при $l=0$ приводят к равенству
\[
\omega^{(3)}-\Omega^{(3)}=0 .
\]

Вывод уравнения (XI.82) аналогичен выводу (XI.73).
Второе и третье условия $\left[\sqrt{ } \mathbf{Y}^{(3)}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=\left[\int \mathbf{Y}^{(3)}, \overline{\mathbf{Z}}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=0$ разрешимости уравнения (XI.71) приводят к уравнению
\[
\begin{array}{c}
\mu^{(2)}\left[\left\{y \mathbf{Y}^{(1)}-\hat{\omega}_{1} \dot{\mathbf{Y}}^{(1)}\right\}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}= \\
=\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{\Gamma}_{0}\right| \mathbf{\Gamma}_{0}\right), \mathbf{Z}_{n}^{*}\right]_{2 \pi n}\left[\dot{\mathbf{Y}}^{(1)}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}+ \\
+\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(2)}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}- \\
-\frac{1}{3}\left[\mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(1)} \mid \mathbf{Y}^{(1)}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n} .
\end{array}
\]

Подставляя теперь (XI.75) в (XI.67) и используя (XI.82) получаем уравнение
\[
\begin{array}{l}
\int \mathbf{Y}^{(2)}+\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{\Gamma}_{0}\right| \overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right), \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{2 \pi} \mathbf{Z}_{0}- \\
\left.-\exp \left[2 i\left(\varphi_{0}+m / n\right) s\right)\right] \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\Gamma}_{0}\right| \boldsymbol{\Gamma}_{0}\right)- \\
-2 \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\Gamma}_{0}\right| \overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right)-\exp \left[\left(-2 i\left(\varphi_{0}+(m / n) s\right)\right] \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right| \overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right)=0 .\right.
\end{array}
\]

Тогда разложение (XI.74) приводит к выражению
\[
\mathbf{Y}^{(2)}=2 i \varphi^{(1)}\left(e^{i \varphi_{0}} \mathbf{Z}_{1}-e^{-i \varphi_{0} \overline{\mathbf{Z}}_{1}}\right)+\chi^{(2)} .
\]

Решение этого уравнения, ортогональное $\mathbf{Z}_{0}^{*}, \mathbf{Z}_{1}^{*}$ и $\overline{\mathbf{Z}}_{1}^{*}$, имеет вид
\[
\left.\chi^{(2)}=\zeta_{0}(s)+\exp \left[2 i\left(\varphi_{0}+m / n\right) s\right)\right] \zeta_{1}(s)+\exp \left[\left(-2 i\left(\varphi_{0}+(m / n) s\right)\right] \bar{\zeta}_{1}(s),\right.
\]

где $\zeta_{l}(s)=\zeta_{l}(s+2 \pi), l=0,1$ суть подлежащие определению периодические функции. В (XI.83) ряд членов после интегрирования обращаются в нуль. Пусть
\[
\mathrm{g}=e^{i(k / n) s} \hat{\mathrm{g}}(s), \quad \text { где } k= \pm m, \pm 3 m .
\]

Тогда
\[
\left[\mathbf{g}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=\left[\exp \left(-i\left(\frac{m}{n}-\frac{k}{n}\right) s\right) \hat{\mathbf{g}}, \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}=0,
\]

если $k-m
eq r n$, где $r \in Z$, а $0<m / n<1, n \geqslant 4$. Единственными значениями $k= \pm m, \pm 3 m$, для которых $r \in Z$, являются
\[
k=m, n \text { неограничено }
\]

и
\[
k=-3 m, n=4, m=1,3 \text {. }
\]

Поэтому можно вычислить
\[
\begin{array}{c}
{\left[\dot{\mathbf{Y}}^{(1)}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi}=e^{i \varphi_{0}}\left\{i \frac{m}{n}+\left[\dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}, \mathbf{\Gamma}_{0}^{*}\right]_{2 \pi}\right\},} \\
{\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(2)}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \chi^{(2)}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=} \\
=e^{-s i \varphi_{0}}\left[e^{-4 i(m / n) s} \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right| \bar{\zeta}_{1}\right), \mathbf{\Gamma}_{0}^{*}\right]_{2 \pi}+ \\
+\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\overrightarrow{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right| \zeta_{1}\right), \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{*}\right]_{2 \pi}+\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{\Gamma}_{0}\right| \zeta_{0}\right), \Gamma_{0}^{*}\right]_{2 \pi}
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
{\left[\mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(1)} \mid \mathbf{Y}^{(\mathbf{1})}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=} \\
=e^{-s i \varphi_{0}}\left[e^{-\Delta i(m / n) s} \mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right| \bar{\Gamma}_{0} \mid \bar{\Gamma}_{0}\right), \Gamma_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}+ \\
+3\left[\mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right| \boldsymbol{\Gamma}_{0} \mid \boldsymbol{\Gamma}_{0}\right), \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{*}\right]_{2 \pi n} . \\
\end{array}
\]

Используя эти выражения для членов в правой части уравнения (XI.83) и проводя упрощение его левой части с учетом (XI.19), находим, что
\[
\begin{array}{c}
\mu^{(2)}\left(\gamma_{1}-i \frac{m}{n} \hat{\omega}_{1}\right) e^{i \varphi_{0}}=\lambda_{2} e^{i \varphi_{0}}=0, \quad n \geqslant 5, \\
\mu^{(2)}\left(\gamma_{1}-i \frac{m}{n} \hat{\omega}_{1}\right) e^{i \varphi_{0}}=\lambda_{2} e^{i \varphi_{0}}+\lambda_{3} e^{-3 i \varphi_{0}}, \quad n=4,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{2}=\left[F_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\Gamma}_{0}\right| \boldsymbol{\Gamma}_{0}\right), z_{0}^{*}\right]_{2 \pi}\left\{i \frac{m}{n}+\left[\dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}, \dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right]_{2 \pi}\right\}+ \\
+\left[F_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right| \zeta_{1}\right), \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{*}\right]_{2 \pi}+\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\Gamma_{0}\right| \zeta_{0}\right), \Gamma_{0}^{*}\right]_{2 \pi}- \\
-\left[\mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right| \boldsymbol{\Gamma}_{0} \mid \boldsymbol{\Gamma}_{0}\right), \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{*}\right]_{2 \pi}, \\
\lambda_{3}=\left[e^{-i m s} \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\bar{\Gamma}_{0}\right| \bar{\xi}_{1}\right), \Gamma_{0}^{*}\right]_{2 \pi}- \\
-\frac{1}{3}\left[e^{-i m s} \mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right| \overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0} \mid \overline{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}\right), \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{*}\right]_{2 \pi}, \quad m=1,3 . \\
\end{array}
\]

Уравнение (XI.87) имеет вид уравнения (IX.80), а (XI.86) – вид уравнения (IX.101).