Нас интересует решение $\mathbf{V}(t)$ автономной задачи $\dot{\mathbf{V}}=\mathbf{f}(\mu, \mathbf{V})$. Положим $\mathbf{V}=\mathbf{u}(s, \varepsilon)+\mathbf{v}(t), s=\omega(\varepsilon) t, \mu=\mu(\varepsilon)$, где $\mathbf{v}(t)$-малое возмущение решения $\mathbf{u}$. Используя тождество $\omega \dot{\mathbf{u}}=\mathfrak{f}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u})$, находим после линеаризации, что
\[
\dot{\mathbf{v}}=\mathrm{f}(\mu, \mathbf{u}+\mathbf{v})-\mathrm{f}(\mu, \mathrm{u}) \sim \mathrm{f}_{a}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(s, \varepsilon) \mid \mathbf{v}) .
\]

Уравнение (VIII.36) можно исследовать, используя метод Флоке (cм. § VII.6):
\[
\mathbf{v}(t)=e^{\gamma t \xi}(s), \quad s=\omega(\varepsilon) t,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\zeta(s)=\zeta(s+2 \pi), \quad \zeta \in \mathbb{P}_{2 \pi}, \\
\gamma \zeta+\omega(\varepsilon) \frac{d \zeta}{d s}=\mathrm{f}_{u}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u} \mid \zeta) .
\end{array}
\]

Полезно ввести оператор
\[
\mathfrak{J}(\varepsilon)(\cdot)=-\omega(\varepsilon) \frac{d(\cdot)}{d s}+f_{n}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(s, \varepsilon) \mid \cdot) .
\]

Тогда
\[
\gamma \zeta=\sqrt{\zeta} .
\]

Дифференцируя $\omega(\varepsilon) \dot{\mathbf{u}}(s, \varepsilon)=\mathrm{f}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(s, \varepsilon))$ сначала по $s$, получаем
\[
ภ(\varepsilon) \dot{\mathrm{u}}=0,
\]

а затем, дифференцируя по $\varepsilon$, находим
\[
\omega_{\varepsilon} \dot{\mathbf{u}}=\mu_{\varepsilon} \mathbf{f}_{\mu}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(s, \varepsilon))+J \mathbf{u}_{\varepsilon} .
\]

Конечно, мы предполагаем, что ряды (VIII.24) сходятся на интервале $I_{1}(\varepsilon)$, окружающем $\varepsilon=0$. Теперь, комбинируя (VIII.37-39), доказываем следующий результат.

Теорема о факторизации (общий случай). Имеют место следующие представления:
\[
\begin{array}{c}
\gamma=\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) \hat{\gamma}(\varepsilon), \\
\zeta(s, \varepsilon)=c(\varepsilon)\left\{\frac{\tau}{\gamma} \dot{\mathbf{u}}(s, \varepsilon)+\mathbf{u}_{\varepsilon}(s, \varepsilon)+\varepsilon \mu_{\varepsilon} \mathbf{q}(s, \varepsilon)\right\}, \\
\cdot \tau=\omega_{\varepsilon}(\varepsilon)+\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) \hat{\tau}(\varepsilon),
\end{array}
\]
летворяют уравнению
\[
\hat{\boldsymbol{\tau}} \dot{\mathbf{u}}+\hat{\gamma} \mathbf{u}_{\varepsilon}+\mathrm{f}_{\mu}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\cdot, \varepsilon))+\varepsilon\{\gamma \mathbf{q}-J \mathbf{q}\}=0
\]

и являются гладкими функциями на интервале $I_{2} \subseteq I_{1}$, содержащем точку $\varepsilon=0$. Более того, $\hat{\tau}(\varepsilon)$ и $\hat{\gamma}(\varepsilon) / \varepsilon$ суть четные функции и такие, что
\[
\hat{\gamma}_{\varepsilon}(0)=-\xi_{\mu}(0), \quad \hat{\tau}(0)=-\eta_{\mu}(0) .
\]

Интерпретация результатов исследования устойчивости для общего случая в точности совпадает с интерпретацией, данной в § VII. 9 для строго двумерной задачи. В частности, она показывает, что $\gamma(\varepsilon)$ меняет знак в каждой точке, в которой $\hat{\gamma}(\varepsilon)
eq 0$ и $\mu_{\varepsilon}(\varepsilon)$ меняет знак. (B $\mathbb{R}^{1}$ такие точки были названы регулярными экстремальными точками; см. § II.8.) Пусть такой точке соответствует значение $\varepsilon=\varepsilon_{0}$; предположим, что $c(\varepsilon)$ выбрана так, что $c(\varepsilon) \sim \mu_{\varepsilon}(\varepsilon)$ при $\boldsymbol{\varepsilon} \rightarrow \varepsilon_{0}$. Тогда
\[
\zeta(s, \varepsilon) \sim \frac{\omega_{\varepsilon}(\varepsilon)}{\hat{\gamma}(\varepsilon)} \dot{\mathbf{u}}(s, \varepsilon)+\mu_{\varepsilon} \mathbf{u}_{\varepsilon}(s, \varepsilon)+\varepsilon \mu_{\varepsilon}^{2}(\varepsilon) \mathbf{q}(s, \varepsilon) .
\]

Если $\omega_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)
eq 0$, то $\zeta\left(s, \varepsilon_{0}\right)=\omega_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right) \dot{\mathbf{u}}\left(s, \varepsilon_{0}\right) / \hat{\gamma}\left(\varepsilon_{0}\right)$-собственная функция оператора $\mathfrak{I}\left(\varepsilon_{0}\right)$. Имеет место следующая теорема ${ }^{1}$ ).

Теорема. Предположим, что при $\varepsilon_{0}
eq 0$ имеем $\gamma\left(\varepsilon_{0}\right)=0$ и $\hat{\gamma}\left(\varepsilon_{0}\right)
eq 0 ;$ тогда нулевое собственное значение оператора $\mathfrak{J}\left(\varepsilon_{0}\right)$ имеет алгебраическую кратность, по крайней мере равную $2 ; \mathbf{u}\left(s, \varepsilon_{0}\right)$ собственный вектор оператора $\left.\mathfrak{i} \varepsilon_{0}\right)$,
\[
\Im\left(\varepsilon_{0}\right) \dot{\mathbf{u}}\left(\cdot, \varepsilon_{0}\right)=0,
\]

и если $\omega_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)
eq 0$, то $\mathbf{u}_{\varepsilon}\left(s, \varepsilon_{0}\right)$ является обобщенным собственным вектором оператора $\sqrt{ }\left(\varepsilon_{0}\right)$ :
\[
\left[\Omega\left(\varepsilon_{0}\right) \mathbf{u}_{\varepsilon}\left(\cdot, \varepsilon_{0}\right)\right](s)=\omega_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right) \dot{\mathbf{u}}\left(s, \varepsilon_{0}\right) .
\]

Если $\omega_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)=0$, то геометрическая кратность нуля равна по крайней мере двум $и \dot{\mathbf{u}} u \mathbf{u}_{\varepsilon}$ являются собственными векторами оператора $\mathfrak{J}\left(\varepsilon_{0}\right)$.
Доказательство этой теоремы следует из тождества
\[
\mathfrak{J}(\varepsilon) \mathbf{u}_{\varepsilon}=\omega_{\varepsilon} \dot{\mathbf{u}}-\mu_{\varepsilon} \mathbf{f}_{\mu}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}) ;
\]

напоминаем, что здесь $\mu_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)=0$.
Некоторые результаты относительно бифуркации и устойчивости периодических решений, приведенные в примере VII.1, можно рассматривать как приложения сформулированной выше теоремы.

Пример VIII.1. (Периодические решения дифференциальных уравнений с частными производными.) Рассмотрим следующую систему
1) См. Джозеф Д. Д. и Нилд Д. A. \”Stability of bifurcating time-periodic and steady solutions of arbitrary amplitude\”.- Arch. Rational. Mech. Anal., 49, 321 (1973). См. также Д. Д. Джозеф \”Factorization theorems, stability and repeated bifurcation\”.- Arch. Rational. Mech. Anal., 99-118 (1977).

дифференциальных уравнений с частными производными:
$\frac{\partial U_{1}}{\partial t}=\frac{\partial^{2} U_{1}}{\partial x^{2}}+\left(\pi^{2}+\mu\right)\left(U_{1}-U_{2}\right)-U_{1}\left\{U_{1}^{2}+U_{2}^{2}+\frac{1}{\pi^{2}}\left[\left(\frac{\partial U_{1}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial U_{2}}{\partial x}\right)^{2}\right]\right\}$,
(VIII.45),
$\frac{\partial U_{2}}{\partial t}=\frac{\partial^{2} U_{2}}{\partial x^{2}}+\left(\pi^{2}+\mu\right)\left(U_{1}+U_{2}\right)-U_{2}\left\{U_{1}^{2}+U_{2}^{2}+\frac{1}{\pi^{2}}\left[\left(\frac{\partial U_{1}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial U_{2}}{\partial x}\right)^{2}\right]\right\}$,
где $U_{i}, i=1,2$, суть вещественные функции, определенные для $t \geqslant 0,0 \leqslant x \leqslant 1$, и удовлетворяющие граничным условиям
\[
U_{i}(t, 0)=U_{i}(t, 1)=0, \quad i=1,2 .
\]
(VIII.45)

В этом примере (как и в примере VI.2) возьмем $H=\left[L^{2}(0,1)\right]^{2}=$ $=\left\{\left(u_{1}, u_{2}\right): u_{i} \in L^{2}(0,1)\right\}$ со скалярным произведением
\[
\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\int_{0}^{1}\left[U_{1}(x) \bar{V}_{1}(x)+U_{2}(x) \bar{V}_{2}(x)\right] d x,
\]

где использовано обозначение $\mathbf{u}=\left(U_{1}(\cdot), U_{2}(\cdot)\right), \mathbf{v}=\left(V_{1}(\cdot), V_{2}(\cdot)\right)$. Систему (VIII.45) можно записать в $H$-пространстве в виде
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d \bar{t}}=\mathbf{f}(\mu, \mathbf{u})=\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{u})+\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}),
\]

где линейный оператор $\mathrm{f}_{t}(\mu \mid \cdot)$ и нелинейный оператор $\mathbf{N}(\mu, \cdot)$ определены на подпространстве пространства $H$, состоящем из $\mathbf{u}=\left(U_{1}(\cdot)\right.$, $\left.U_{2}(\cdot)\right)$, таких, что
\[
U_{i}(\cdot), \frac{\partial U_{i}(\cdot)}{\partial x}, \frac{\partial^{2} U_{i}(\cdot)}{\partial x^{2}} \text { принадлежат } L^{2}(0,1)
\]

и $U_{i}(0)=U_{i}(1)=0$.
Эволюционное уравнение (VIII47) в $H$ представляет собой форму записи (VIII.45) в гильбертовом пространстве, если
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \cdot)=\mathbf{f}_{u}(0 \mid \cdot)+\mu \mathbf{f}_{u \mu}(0 \mid \cdot), \\
\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u})=\mathbf{C}(\mathbf{u}, \mathbf{u}, \mathbf{u})=\frac{1}{6} \mathbf{f}_{u \vec{u}}(0|\mathbf{u}| \mathbf{u} \mid \mathbf{u}), \\
{\left[\mathbf{f}_{u}(0 \mid \mathbf{u})\right](x) }=\left(\frac{\partial^{2} U_{1}(x)}{\partial x^{2}}+\pi^{2}\left(U_{1}(x)-U_{2}(x)\right), \frac{\partial^{2} U_{2}(x)}{\partial x^{2}}+\right. \\
\left.+\pi^{2}\left(U_{1}(x)+U_{2}(x)\right)\right), \\
{\left[\mathbf{f}_{u u}(0 \mid \mathbf{u})\right](x) }=\left(U_{1}(x)-U_{2}(x), U_{1}(x)+U_{2}(x)\right), \\
{[\mathbf{C}(\mathbf{u}, \mathbf{u}, \mathbf{u})](x) }=-\left\{U_{1}^{2}(x)+U_{2}^{2}(x)+\frac{1}{\pi^{2}}\left[\left(\frac{\partial U_{1}(x)}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial U_{2}(x)}{\partial x}\right)^{2}\right]\right\} \times \\
\times\left(U_{1}(x), U_{2}(x)\right) .
\end{array}
\]

Спектр оператора $\mathrm{f}_{u}(\mu \mid \cdot)$ можег быть вычислен точно: это есть множество собственных значений $\left\{\lambda_{k}^{ \pm}=-k^{2} \pi^{2}+(1 \pm i)\left(\pi^{2}+\mu\right)\right\}$; где $k$-любое положительное целое число. Собственный вектор, отвечающий $\lambda_{k}^{ \pm}$, есть
\[
\zeta_{0}^{(k)}(x)=\sin (k \pi x)(i, 1) .
\]

Собственное значение с наибольшей вещественной частью представляет собой собственное значение с $k=1$. Если $\mu=0$, то эта наибольшая вещественная часть обращается в нуль; $\pm i \pi^{2}$ являются простыми собственными значениями оператора $\mathbf{f}_{u}(0 / \cdot)$;
\[
\zeta_{0}(x)=\sin (\pi, x)(i, 1)
\]
– собственный вектор для $i \pi^{2}$, а $\bar{\zeta}_{0}$ – собственный вектор для $-i \pi^{2}$. Поэтому имеем
\[
\omega_{0}=\pi^{2}, \quad \sigma_{\mu}=1+i,
\]

и потеря устойчивости строгая, т. е. $\xi_{\mu}=1>0$.
Оператор, сопряженный $\mathrm{f}_{a}(\mu \mid \cdot)$ относительно скалярного произведения в $H$, есть $\mathbf{f}_{u}^{*}(\mu \mid \cdot) \stackrel{\text { def }}{=}\left[\mathrm{f}_{a}(\mu \mid \cdot)\right]^{*}$. Легко проверить, что
\[
\begin{array}{l}
{\left[\mathrm{f}_{u}^{*}(\mu \mid \mathbf{u})\right](x)=\left(\frac{\partial^{2} U_{1}(x)}{\partial x^{2}}+\right.}\left(\pi^{2}+\mu\right)\left[U_{1}(x)+U_{2}(x)\right], \\
\left.\frac{\partial^{2} U_{2}(x)}{\partial x^{2}}+\left(\pi^{2}+\mu\right)\left[U_{2}(x)-U_{1}(x)\right]\right) .
\end{array}
\]

Читатель может проверить, что $\xi_{0}=\zeta_{0}^{*}$, где
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{f}_{u}^{*}\left(0 \mid \zeta_{0}^{*}\right)=-i \pi^{2} \xi_{0}^{*},\left\langle\zeta_{0}, \zeta_{n}^{*}\right\rangle=1, \\
\left\langle\mathbf{f}_{a \mu}\left(0 \mid \zeta_{0}\right), \zeta_{0}^{*}\right\rangle=1+i=\sigma_{\mu} .
\end{array}
\]

Для получения бифуркационного периодического решения используем метод степенных рядов, изложенный выше. В настоящем случае условия разрешимости Фредгольма (VIII.35) принимают вид
\[
\mu_{2} \sigma_{\mu}-i \omega_{2}=-6\left\langle\mathrm{C}\left(\zeta_{0}, \zeta_{0}, \bar{\zeta}_{0}\right), \zeta_{0}^{*}\right\rangle=8 .
\]

Поэтому
\[
\mu_{2}=\omega_{2}=8
\]

и уравнения
\[
\begin{aligned}
{[u(s, \varepsilon)](x) } & =2 \varepsilon \sin \pi x(-\sin s, \cos s)+O\left(\varepsilon^{3}\right), \\
\mu(\varepsilon) & =4 \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{4}\right), \\
\omega(\varepsilon) & =\pi^{2}+4 \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{4}\right)
\end{aligned}
\]

дают искомое бифуркационное периодическое решение. В действительности члены более высокого порядка в (VIII.51) тождественно равны нулю, а остающаяся приведенная часть является точным решением уравнений (VIII.45).

Iример VIII.2. (Бифуркация в функциональных дифференциальных уравнениях.) Рассмотрим функциональное дифференциальное уравнение
\[
\frac{d U(t)}{d t}=-\left(\frac{\pi}{2}+\mu\right) U(t-1)[1+U(t)],
\]

называемое уравнением Хатчинсона-Райта. (Систематическое исследование этого уравнения можно найти в книге Дж. Хейла «Функциональные дифференциальные уравнения» (J. K. Hale, Functional Differential Equations, New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1977). B (VIII.52) $U(t)$ – неизвестная вещественная функция, зависящая от значений $U(s)$ для $t-1 \leqslant s \leqslant t$. Поэтому можно рассматривать $U(s)$ как элемент пространства
\[
C=\{\text { непрерывные функции на }[-1,0]\},
\]

а операторы на этом пространстве, соответствующие уравнению (VIII.52), можно определить так:
\[
\begin{array}{l}
{\left[\mathrm{f}_{a}(\mu \mid \varphi)\right](\theta)=\left\{\begin{array}{ll}
d \dot{\varphi}(\theta) / d \theta, & \text { если }-1 \leqslant \theta<0, \\
-(\pi / 2+\mu) \varphi(-1), & \text { если } \theta=0,
\end{array}\right. \text { (VIII. }} \\
{[\mathbf{N}(\mu, \varphi)](\theta)=\left(\frac{\pi}{2}+\mu\right) \times\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { если }-1 \leqslant \theta<0, \\
-\varphi(-1) \varphi(0), & \text { если } \theta=0 .
\end{array}\right.}
\end{array}
\]

Уравнение (VII.52) может быть записано в виде
\[
d \mathbf{u} / d t=\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{u})+\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}),
\]

где
\[
[\mathbf{u}(t)](\theta) \stackrel{\text { def }}{=} U(t+\theta) .
\]

Из этого определения следует, что (VIII.55) можно записать в виде
\[
\frac{d U(t+\theta)}{d t}=\left\{\begin{array}{ll}
d U(t+\theta) / d \theta, & \text { если }-1 \leqslant \theta<0, \\
-(\pi / 2+\mu) U(t-1)(1+U(t)), & \text { если } \theta=0 .
\end{array}\right.
\]

Спектр линейного оператора $f_{u}(\mu \mid \cdot)$ состоит лишь \{из собственных значений $\sigma$ конечной кратности, удовлетворяющих уравнению
\[
\sigma+\left(\frac{\pi}{2}+\mu\right) e^{-\sigma}=0 .
\]

Для $\mu=0$ получаем два собственных значения: $\pm i \omega_{0}, \omega_{0}=\pi / 2$, остальные собственные значения имеют отрицательные вещественные части. Дифференцируя (VIII.56) по $\mu$ при $\mu=0$, находим, что
\[
\sigma_{\mu}(0)=\left(i+\frac{\pi}{2}\right)\left(1+\frac{\pi^{2}}{4}\right)^{-1},
\]

так что условие Хопфа $\xi_{\mu}>0$ выполнено.

Для исследования бифуркации нам нужно определить сопряженный оператор по отношению к дуальному произведению (см. цитированную книгу Дж. Хейла)
\[
\langle\varphi, \psi\rangle=\varphi(0) \bar{\psi}(0)-\frac{\pi}{2} \int_{-1}^{0} \varphi(\xi) \bar{\psi}(\xi+1) d \xi
\]

между всеми элементами $\varphi \in C$ и зсеми элементами
\[
\psi \in C^{*}=\{\text { непрерывные функции на }[0,1]\} \text {. }
\]

Тогда отсюда следует, что оператор, сопряженный $\mathbf{f}_{u}(\mu / \cdot)$ по отношению к (VII.58), дается формулами
\[
\left[\mathbf{f}_{u}^{*}(\mu \mid \psi)\right](\theta)=\left\{\begin{array}{ll}
-d \psi(\theta) / d \theta, & \text { если } 0<\theta \leqslant 1, \\
-(\pi / 2+\mu) \psi(1), & \text { если } \theta=0 .
\end{array}\right.
\]

Поэтому имеем дуальные задачи на собственные значения:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{f}_{a}\left(0 \mid \zeta_{0}\right)=i \frac{\pi}{2} \zeta_{0}, \\
\mathbf{f}_{u}^{*}\left(0 \mid \zeta_{0}^{*}\right)=-i \frac{\pi}{2} \zeta_{0}^{*}, \\
\left\langle\zeta_{0}, \zeta_{0}^{*}\right\rangle=1,
\end{array}
\]

которым удовлетворяют
\[
\begin{array}{l}
\zeta_{0}(\theta)=\exp i \frac{\pi}{2} \theta, \\
\zeta_{0}^{*}(\theta)=\frac{1}{1-i(\pi / 2)} \exp i \frac{\pi}{2} \theta .
\end{array}
\]

Читатель может проверить, что
\[
\left\langle\mathrm{f}_{t u \mu}\left(0 \mid \zeta_{0}\right), \zeta_{0}^{*}\right\rangle=\frac{i}{1+i(\pi / 2)}=\sigma_{\mu}(0) .
\]

Используем теперь альтернативу Фредгольма (VII.32) для вычисления рядов (VIII.24), дающих периодическое по времени решение, которое ответвляется от нулевого решения. Находим, что $\mu_{1}=\omega_{1}=0$,
\[
\begin{array}{l}
{\left[\mathbf{u}_{1}(s)\right](\theta)=\zeta_{0}(\theta) e^{i s}+\bar{\zeta}_{0}(\theta) e^{-i s},} \\
\mathbf{f}_{u u}\left(0\left|\zeta_{0}\right| \bar{\zeta}_{0}\right)=0 \\
\omega_{0} \frac{d \mathbf{u}_{2}}{d s}=\mathbf{f}\left(0 \mid \mathbf{u}_{2}\right)+e^{2 i s \mathfrak{f}_{u u}\left(0\left|\zeta_{0}\right| \zeta_{0}\right)+e^{-2 i s} \mathbf{f}_{u u}\left(0\left|\bar{\zeta}_{0}\right| \bar{\zeta}_{0}\right)} \\
{\left[\mathbf{u}_{2}(s)\right](\theta)=\zeta_{2}(\theta) e^{2 i s}+\bar{\zeta}_{2}(\theta) e^{-2 i s},} \\
\zeta_{2}(\theta)=\frac{8-4 i}{5 \pi} e^{i \pi \theta},-1 \leqslant \theta \leqslant 0 .
\end{array}
\]

Поэтому
\[
\left[\mathbf{u}_{2}(s)\right](\theta)=\frac{4(2-i)}{5 \pi} \mathrm{e}^{i \pi \theta} e^{2 i s}+\frac{4(2+i)}{5 \pi} e^{-i \pi \theta} e^{-2 i s},
\] и (VIII.35) можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
\mu_{2} \tau_{\mu}-i \omega_{2}=-4\left\langle\mathrm{f}_{t u}\left(0\left|\bar{\zeta}_{0}\right| \frac{2-i}{5 \pi} e^{i \pi \theta}\right), \xi_{0}^{*}\right)=\frac{2[3 \pi-2+i(6+\pi)]}{5 \pi\left(1+\left(\pi^{2} / 4\right)\right)}, \\
\mu_{2}=\frac{4(3 \pi-2)}{5 \pi^{2}}>0, \omega_{2}=-\frac{8}{5 \pi^{2}} .
\end{array}
\]

Собирая наши результаты, находим, что главная часть бифуркационного решения дается уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\mu=\varepsilon^{2} \frac{\mu_{2}}{2}+O\left(\varepsilon^{4}\right), \\
\omega=\frac{\pi}{2}+\varepsilon^{2} \frac{\omega_{2}}{2}+O\left(\varepsilon^{4}\right) .
\end{array}
\]

и
\[
U(t)=[\mathbf{u}(\omega t)](0)=2 \varepsilon \cos \omega t+4 \varepsilon^{2} \operatorname{Re}\left\{\frac{2-i}{5 \pi} e^{2 i \omega t}\right\}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Пример VIII.3. (Бифуркация в уравнениях, не приведенных к локальной форме.)
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=f(\dot{x}, x, \mu),
\]

где $\dot{x} \stackrel{\text { def }}{=} d x / d t$, а функция $f$ обладает необходимой степенью гладкости по отношению ко всем ее аргументам для малых их значений. Кроме того, предположим, что
\[
f(0,0,0)=f_{x}(0,0,0)=f_{\dot{x}}(0,0,0)=0,
\]

и используем разложение
\[
f\left(u_{1}, u_{2}, \mu\right)=\sum_{p, q_{1}, q_{2}} \mu^{p} u_{1}^{q_{1}} u_{2}^{q_{2}} f_{p q_{1} q_{2}},
\]

где $f_{000}=f_{010}=f_{001}=0$, и это разложение проведено до членов такого порядка, который допускается гладкостью функции $f$. Уравнение (VIII.60) можно записать в $\mathbb{R}^{2}$ следующим образом. Определим
\[
\mathbf{U}=\left[\begin{array}{l}
u_{1} \\
u_{2}
\end{array}\right] \stackrel{\mathrm{de}:}{=}\left[\begin{array}{c}
x \\
\dot{x}
\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2} .
\]

Тогда
\[
\frac{d \mathbf{U}}{d t}=\mathbf{A}_{0} \mathbf{U}+\mathbf{F}(\mu, \mathbf{U}),
\]

где
\[
\mathbf{A}_{0}=\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-\omega_{0}^{2} & 0
\end{array}\right] \quad \text { и } \quad \mathbf{F}(\mu, \mathbf{U})=\left[\begin{array}{c}
0 \\
f\left(u_{1}, u_{2}, \mu\right)
\end{array}\right] .
\]

Здесь $\mathbf{U}=0$, вообще говоря, не является установившимся решением (VIII.63), за исключением случая, когда $\mu=0$. Однако существование установившегося решения при $\mu
eq 0$ может быть гарантировано теоремой о неявной функции в $\mathbb{R}^{2}$, и его можно построить, используя разложения в ряды
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{U}(\mu)=\sum_{n \geqslant 1} \mu^{n} \mathbf{U}_{n}, \\
\mathbf{F}(\mu, \mathbf{U})=\sum_{p, q} \mu^{p} \mathbf{F}_{p q}(\mathbf{U}, \ldots, \mathbf{U}), \quad \mathbf{F}_{00}=\mathbf{F}_{01}=0,
\end{array}
\]

где $\mathbf{F}_{p q}$ есть $q$-линейная по $\mathbf{U}$ и симметрическая функция. Получаем
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{A}_{0} \mathbf{U}_{1}+F_{10}=0, \\
A_{0} \mathbf{U}_{2}+F_{20}+F_{11}\left(\mathbf{U}_{1}\right)+F_{02}\left(\mathbf{U}_{1}, \mathbf{U}_{1}\right)=0,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{aligned}
\mathbf{F}_{p 0} & =\left[\begin{array}{c}
0 \\
f_{p 00}
\end{array}\right], \\
\mathbf{F}_{02}(\mathbf{U}, \mathbf{V}) & =\left[\begin{array}{c}
0 \\
f_{020} u_{1} v_{1}+\frac{1}{2} f_{011}\left(u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}\right)+f_{002} u_{2} v_{2}
\end{array}\right], \\
\mathbf{F}_{11}(\mathbf{U}) & =\left[\begin{array}{c}
0 \\
f_{110} u_{1}+f_{101} u_{2}
\end{array}\right] .
\end{aligned}
\]

Поэтому
\[
\mathbf{U}_{1}=\left[\begin{array}{c}
f_{100} / \omega_{0}^{2} \\
0
\end{array}\right] \text {, }
\]

и так далее.
Поскольку собственными значениями матрицы $\mathbf{A}_{0}$ являются $\pm i \omega_{0}$, то нам нужно рассмотреть возможность бифуркации Хопфа в периодические решения. В теоретической части этой главы мы сначала привели задачу к локальной форие (см. § I.3) и использовали предположение о том, что потеря устойчивости решения $\mathbf{u}=0$ является строгой. В нашем случае $\mathbf{U}=0$ не является решением для всех $\mu$, близких к нулю, и нам необходимо сформулировать снова условие того, что решение $\mathbf{U}(\mu)$ теряет устойчивость строго, когда $\mu$, возрастая, проходит через нуль. Сначала произведем линеаризацию
$\mathbf{A}+\mathbf{F}_{U}(\mu, \mathbf{U}(\mu) \mid \cdot)=\mathbf{A}_{0}+\mu\left[\mathbf{F}_{\mathbf{i i}}(\cdot)+2 \mathbf{F}_{02}\left(\mathbf{U}_{\mathbf{i}}, \cdot\right)\right]+O\left(\mu^{2}\right)$. (VIII.66) Собственные векторы, соответствующие собственным значениям $\pm i \omega_{0}$, суть $\zeta_{0}=\left(1, i \omega_{0}\right)$ и $\bar{\zeta}_{0}$. Точно так же находим сопряженные собственные векторы
\[
\zeta_{0}^{*}=\left(\frac{1}{2}, \frac{i}{2 \omega_{0}}\right) \text { и } \bar{\zeta}_{0}^{*} .
\]

Собственное значение $\sigma(\mu)$, отхсдящее от собственного значения $i \omega_{0}$, удовлетворяет соотношению (VIII.14); поэтому
\[
\begin{array}{l}
\sigma_{\mu}(0)=\left\langle\mathbf{F}_{11}\left(\zeta_{0}\right)+2 \mathbf{F}_{v 2}\left(\mathbf{U}_{1}, \zeta_{0}\right), \zeta_{0}^{*}\right\rangle= \\
=-\frac{i}{2 \omega_{0}}\left[f_{110}+f_{101} i \omega_{0}+2 f_{020}\left(\frac{f_{100}}{\omega_{0}^{2}}\right)+i f_{011}\left(\frac{f_{100}}{\omega_{0}}\right)\right] .
\end{array}
\]

Условие Хопфа имеет вид
\[
2 \operatorname{Re} \sigma_{\mu}(0)=f_{101}+\frac{f_{011} f_{100}}{\omega_{0}^{2}}>0 .
\]

Предположим теперь, что условие (VIII.68) выполнено и
\[
\begin{array}{c}
\mu=\sum_{n \geqslant 1} \mu_{n} \varepsilon^{n}, \\
\omega=\omega_{0}+\sum_{n \geqslant 1} \omega_{n} \varepsilon^{n}, \\
U=\sum_{n \geqslant 1} \mathbf{V}_{n} \varepsilon^{n}, \quad \mathbf{V}_{n}(s)=\mathbf{V}_{n}(s+2 \pi) .
\end{array}
\]

Приравнивая члены при одинаковых степенях \& в обеих частях уравнения
\[
\omega \frac{d \mathbf{U}}{d s}-\mathbf{A}_{0} \mathbf{U}=\mathbf{F}(\mu, \mathbf{U}),
\]

находим, что
\[
\rrbracket_{0} \mathbf{V}_{1}=\mu_{1} \mathbf{F}_{10} .
\]

Поэтому получаем
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{V}_{1}=\xi_{0} e^{i s}+\bar{\zeta}_{3} e^{-i s}+\mu_{1} \mathbf{U}_{1}, \\
\Omega_{0} \mathbf{V}_{2}+\omega_{1} \frac{d \mathbf{V}_{1}}{d s}=\mu_{2} \mathbf{F}_{16}+\mathbf{F}_{02}\left(\mathbf{V}_{1}, \mathbf{V}_{1}\right)+\mu_{1} \mathbf{F}_{11}\left(\mathbf{V}_{1}\right)+\mu_{1}^{2} \mathbf{F}_{20}
\end{array}
\]

и, используя (VIII.67),
\[
i \omega_{1}=\mu_{1} \sigma_{\mu}(0) .
\]

Находим, что
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1}=\mu_{1}=0, \\
\mathbf{V}_{1}=\zeta_{0} e^{i s}+\bar{\zeta}_{0} e^{-i s}, \\
\mathbf{V}_{2}=\rrbracket_{0}^{-1} \mathbf{F}_{02}\left(\mathbf{V}_{1}, \mathbf{V}_{1}\right)+\mu_{2} \mathbf{U}_{1},
\end{array}
\]

где $\rrbracket_{0}^{-1}$-оператор, обратный $\mathfrak{I}_{0}$ на подпространстве, ортогональном к $\xi_{0}^{*} e^{i s}, \bar{\zeta}_{0}^{*} e^{-i s}$.
Теперь определим $\omega_{2}$ и $\mu_{2}$, применяя (VIII.67) к уравнению
\[
\begin{array}{l}
\int_{0} \mathbf{V}_{3}+\omega_{2} \frac{d \mathbf{V}_{1}}{d s}=\mu_{3} \mathbf{F}_{10}+2 \mathbf{F}_{02}\left(\mathbf{V}_{1}, \mathbf{V}_{2}\right)+\mu_{2} \mathbf{F}_{11}\left(\mathbf{V}_{1}\right)+ \\
+\mathbf{F}_{03}\left(\mathbf{V}_{1}, \mathbf{V}_{1}, \mathbf{V}_{1}\right) .
\end{array}
\]

Следовательно, $\mathbf{V}_{2}$ и $\mathbf{V}_{3}$ суть функции от $\mu_{2}$. Продолжая этот процесс, получаем ряды (VIII.69), дающие бифуркацию Xопфа, где, как обычно, $\mu$ и $\omega$ представляют собой четные функции относительно $\varepsilon$.
Замечания
Исследованы следующие специальные задачи бифуркации Xопфа (рис. VIII.1):
(1) Четыре простых собственных значения, две пары комплексно-сопряженных, пересекают мнимую ось одновременно. Э:а задача исследована Йоссом (G. Iooss, Direct bifurcation of a steady solution of the Navier-Stokes equations into an invariant torus, Turbulence and Navier Stokes Equations, Lecture Notes in Mathematics, No. 565, New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1975, pp.69-84).

(2) Два простых комплексно-сопряженных собственных значения пересекают мнимую ось в критической точке, но не строго; например, $\xi(0)=\xi^{\prime}(0)=\xi^{\prime \prime}(0)=0$, $\xi^{\prime \prime \prime}(0)
eq 0$. Эта задача исследована Кильхёфером (H. Kielhöfer, Generalized Hopf bifurcation in Hilbert space, Math. Methods in Applied Sciences, в печати).

Рис. VIII.1. Бифуркация Хопфа в специальных случаях.
(3) Два кратных собственных значения пересекают мнимую ось в критической точке: H. Kielhöfer, Hopf bifurcation at multiple eigenvalues, Arch. Rational Mech. Anal, 69, 53-83 (1979).

Более общими и интересными для приложений являются задачи, в которых различные собственные значения пересекают мнимую ось почти одновременно. В таких исследованиях удобно вводить два возмущающих параметра, как в работе Ленгфорда (W. F. Langford, Periodic and steady-state mode interactions lead to tori, SIAM J. Appl. Math., 37, 22-48; 1979). При наличии дополнительной симметри смотрите результаты Кинера (J. Keener, Secondary bifurcation in nonlinear diffusion reaction equations, Stud. Appl. Math., 55, 187-211, 1976), Xолмса (P.Holmes, Unfolding a degenerate nonlinear oscillator: a codimension two bifurcation, New York Academy of Sciences Proceedings, Dec., 1979) и Йocca и Ленгфорда ‘G. looss, W. Langiord, Conjectures on the routes to turbulence via bifurcations, New York Academy of Sciences Proceedings, Dec., 1979). Указанные авторы исследовали случай (4), когда пара простых комплексно-сопряженных собственных значений и одно вещественное простое собственное значение пересекают мнимую ось почти одновременно, и случай (5), который также представляет интерес, когда две пары комплексно-сопряенных собственных значений пересекают мнимую ось почти одновременно.

Другой интересный специальный класс задач обладает инвариантностью по отношению к некоторой группе преобразований и приводит к волноподобным решениям. В задачах, инвариантных относнтельно поворотов вокруг оси, бифуркационное решение зависи от $\theta$ и $t$ только в комбинации $\theta$ – $t$. В задачах, инвариантных относительно переносов вдоль оси $x$ на периоды $2 \pi / \alpha$, решение зависит ог $x$ и $t$ через $\alpha x-\omega t$, где $C=\omega / \alpha$-волновая скорость (см. § XI.19).