Обратимся теперь к случаю (б) из § XI.4. Нуль является двойным с индексом два собственным значением оператора $J_{0}$ с правильным и обобщенным собственными векторами и сопряженными собственными векторами, удовлетворяющими уравнениям и условиям (XI.28-30). Снова будем искать $2 \pi$-периодическое бифуркационное решение $\boldsymbol{\psi}(s, \alpha)$ и $\Omega(\alpha)$ в виде рядов (XI.49). Амплитуда $\alpha$ определяется скалярным произведением
\[
\alpha=\left[\mathbf{Y}(s, \alpha), \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi} .
\]

Уравнение (XI.88) для определения членов первого порядка имеет место и для рассматриваемого здесь случая, однако теперь
\[
\begin{aligned}
\left(\omega^{(1)}-\Omega^{(1)}\right) & =\left[J_{0} \mathbf{Y}^{(1)}, \mathbf{\Gamma}_{00}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\mathbf{Y}^{(1)}, J_{0}^{*} \boldsymbol{\Gamma}_{00}^{*}\right]_{2 \pi}= \\
& =\left[\mathbf{Y}^{(1)}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=1 .
\end{aligned}
\]

Поскольку из (XI.51) $)_{2}$ следует, что $\left[\mathbf{Y}^{(1)}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}=0$, то пюлучаем
\[
\begin{array}{c}
\Omega^{(1)}=\mu^{(1)} \hat{\omega}_{1}-1 \\
\mathbf{Y}^{(1)}=\Gamma_{01}=\mathbf{U}^{(1)}-\psi^{(1)}=\mu^{(1)} \hat{\mathbf{U}}_{1}-\psi^{(1)} .
\end{array}
\]

Здесь построим уравнение для определения $\mathbf{Y}^{(2)}$, вычитая (XI.53) из (XI.52), и используя (XI.96, 97) и (XI.63):
\[
\begin{aligned}
\left(\omega^{(2)}-\Omega^{(2)}\right) \boldsymbol{\Gamma}_{00}+2 \dot{\boldsymbol{\psi}}_{1} & =J_{0} \mathbf{Y}^{(2)}+2 \mu^{(1)}\left\{\mathcal{y} \boldsymbol{\Gamma}_{01}-\hat{\omega}_{1} \dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{01}\right\}- \\
& -\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\Gamma}_{01}\right| \boldsymbol{\Gamma}_{01}\right) .
\end{aligned}
\]

Это уравнение разрешимо, если выполняется условие $\left[J_{0} \mathbf{Y}^{(2)}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=$ $=0$. Используя (XI.97) и (XI.42), находим, что
\[
\begin{array}{c}
2 \mu^{(1)}\left[\dot{\hat{\mathbf{U}}}_{1}, \boldsymbol{\Gamma}_{01}^{*}\right]_{2 \pi}-2\left[\dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{01}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=2 \mu^{(1)}\left(\tilde{\gamma}_{1}+\left[\dot{\hat{\mathbf{U}}}_{1}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}\right)- \\
-\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\Gamma}_{01}\right| \boldsymbol{\Gamma}_{01}\right), \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi} .
\end{array}
\]

Поэтому
\[
2 \mu^{(1)} \tilde{\gamma}_{1}=\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\Gamma_{01}\right| \Gamma_{01}\right), \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}-2\left[\dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{01}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi} .
\]

Так как по предположению $\tilde{\gamma}_{1}>0$, то уравнение (XI.99) разрешимо относительно $\mu^{(1)}$.

Чтобы вычислить значение (1) ${ }^{(2)}-\Omega^{(2)}$, спроектируем уравнение (XI.98) на $\Gamma_{00}^{*}$. Используя (XI.95), находим, что
\[
\begin{array}{c}
{\left[J_{0} \mathbf{Y}^{(2)}, \boldsymbol{\Gamma}_{00}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\mathbf{Y}^{(2)}, J_{0}^{*} \boldsymbol{\Gamma}_{00}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\mathbf{Y}^{(2)}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=0} \\
\omega^{(2)}-\Omega^{(2)}+2 \mu^{(1)}\left[\dot{\hat{\mathbf{U}}}_{1}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}-2\left[\dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{01}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}= \\
=2 \mu^{(1)}\left[\left\{\mathcal{y} \boldsymbol{\Gamma}_{01}-\hat{\omega}_{1} \dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{01}\right\}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}- \\
-\left[\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}, \Gamma_{01} \mid \Gamma_{01}\right), \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi} .
\end{array}
\]

Из уравнения (XI.100) нельзя определить $\Omega^{(2)}$, если не известно значение $\omega^{(2)}=\mu^{(2)} \hat{\omega}_{1}+\left(\mu^{(1)}\right)^{2} \hat{\omega}_{2}$. Поэтому нам необходимо найти $\mu^{(2)}$.

Чтобы найти $\mu^{(2)}$, сначала построим уравнение для определения $\mathrm{Y}^{(3)}$, вычитая (XI.53) из (XI.52) и и используя (XI.97):
\[
\begin{array}{c}
\left(\omega^{(3)}-\Omega^{(3)}\right) \mathbf{\Gamma}_{00}+3\left(\omega^{(2)}-\Omega^{(2)}\right) \dot{\mathbf{U}}^{(1)}+3 \Omega^{(2)} \dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{01}+3\left(\omega^{(1)}-\Omega^{(1)}\right) \dot{\mathbf{U}}^{(2)}+ \\
+3 \Omega^{(1)} \dot{\mathbf{Y}}^{(2)}=J_{0} \mathbf{Y}^{(3)}+3 \mu^{(2)} \mathbf{F}_{v \mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \boldsymbol{\Gamma}_{01}\right)+3 \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{\Gamma}_{01}\right| \mathbf{U}^{(2)}\right)+ \\
+3 \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{U}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(2)}\right)-3 \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\Gamma}_{01}\right| \mathbf{Y}^{(2)}\right)+ \\
+3 \mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{U}^{(1)}\right| \mathbf{U}^{(1)} \mid \mathbf{\Gamma}_{01}\right)-3 \mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{U}^{(1)}\right| \mathbf{\Gamma}_{01} \mid \boldsymbol{\Gamma}_{01}\right)+ \\
+\mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{\Gamma}_{01}\right| \boldsymbol{\Gamma}_{01} \mid \boldsymbol{\Gamma}_{01}\right)+3 \mu^{(1)} \mathbf{F}_{v \mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \mathbf{Y}^{(2)}\right)+ \\
+3\left(\mu^{(1)}\right)^{2} \mathbf{F}_{v \mu \mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \mathbf{\Gamma}_{01}\right)+6 \mu^{(1)} \mathbf{F}_{v v \mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{\Gamma}_{01}\right| \mathbf{U}^{(1)}\right)- \\
-3 \mu^{(1)} \mathbf{F}_{v v \mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{\Gamma}_{01}\right| \mathbf{\Gamma}_{01}\right) .
\end{array}
\]

Неизвестными в этом уравнении являются $\Omega^{(3)}, \mathbf{Y}^{(3)}$ и $\mu^{(2)}$. Чтобы определить коэффициент при $\mu^{(2)}$, отметим, что
\[
\begin{array}{c}
\omega^{(1)}-\Omega^{(1)}=1, \quad \mathbf{U}^{(2)}=\mu^{(2)} \hat{\mathbf{U}}_{1}+\left(\mu^{(1)}\right)^{2} \hat{\mathbf{U}}_{2}, \\
\Omega^{(2)}=\mu^{(2)} \hat{\omega}_{1}+(\text { к. ч. б. н. п. })- \\
-3\left(\omega^{(1)}-\Omega^{(1)}\right) \dot{\mathbf{U}}^{(2)}-3 \Omega^{(2)} \dot{\Gamma}_{01}+3 \mu^{(2)} \mathbf{F}_{v \mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \Gamma_{01}\right)+ \\
+3 \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\Gamma}_{01}\right| \mathbf{U}^{(2)}\right)=3 \mu^{(2)}\left\{y \Gamma_{01}-\dot{\hat{U}}_{1}-\hat{\omega}_{1} \dot{\Gamma}_{01}\right\}+\text { (и. ч. б. н. п.). }
\end{array}
\]

Поэтому уравнение (XI.101) можно записать в виде
\[
\left(\omega^{(3)}-\Omega^{(3)}\right) \Gamma_{00}=J_{6} \mathbf{Y}^{(3)}+3 \mu^{(2)}\left\{y \Gamma_{01}-\dot{\hat{U}}_{1}-\hat{\omega}_{1} \dot{\Gamma}_{01}\right\}+\text { (и. ч. б. н. п.). }
\]

Уравнение (XI.103) разрешимо, если $\left[J_{0} \mathbf{Y}^{(3)}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=0$. Поэтому, используя (XI.42), находим, что
\[
3 \mu^{(g)} \tilde{\gamma}_{1}+\left[\left(\text { и. ч. б. н. п. м.), } \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=0 .\right.
\]

С другой стороны, из (XI.95) следует, что
\[
\left[J_{0} \mathbf{Y}^{(3)}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\mathbf{Y}^{(3)}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=0,
\]

так что
\[
\omega^{(3)}-\Omega^{(3)}=3 \mu^{(\boldsymbol{z})}\left[\left\{\mathcal{y} \Gamma_{01}-\dot{\hat{\mathbf{U}}}_{1}-\hat{\omega}_{1} \dot{\Gamma}_{01}\right\}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}+\left[\text { (и. ч. б. н. п.), } \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi} .
\]

Вычисление членов более высокого порядка малости проводится аналогичным способом.