В случае (2) из § V. 2 мы ищем стационарные решения, которые ответвляются, если $\sigma(0)=0$-двойное собственное значение с индексом, равным двум, и $a_{v}=c_{0}=d_{0}=b_{0}-1=y_{0}=0$. Стационарные решения имеют вид (V.2), где $\lambda(\varepsilon)$ и $y(\varepsilon)$ определяются из двух нелинейных уравнений
\[
g_{1}(\lambda, \varepsilon, y)=\tilde{g}_{2}(\lambda, \varepsilon, y) \stackrel{\text { def }}{=} \frac{g_{2}(\lambda, \varepsilon, y)}{\varepsilon}=0,
\]
где
\[
\begin{array}{l}
g_{1}=y+\varepsilon\left\{\lambda\left(a^{\prime}+b^{\prime} y\right)+\alpha_{1}+2 \beta_{1} y+\gamma_{1} y^{2}\right\}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
g_{2}=\lambda\left(c^{\prime}+d^{\prime} y\right)+\alpha_{2}+2 \beta_{2} y+\gamma_{2} y^{2}+O(\varepsilon) .
\end{array}
\]
Для решения (V.14) воспользуемся теоремой о неявной функции. Прежде всего заметим, что (V.14) удовлетворяются при
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon=y_{0}=0 \text {, если тольхо } \lambda_{0}=-\alpha_{20} / c_{0}^{\prime} \text {, т. е. } \\
g_{1}\left(-\alpha_{20} / c_{0}^{\prime}, 0,0\right)=0, \\
\tilde{g}_{2}\left(-\alpha_{2} / c_{0}^{\prime}, 0,0\right)=0 . \\
\end{array}
\]
Уравнения (V.14) можно разрешить относительно ( $\lambda(\varepsilon), y(\varepsilon)$ ), когда $\varepsilon$ мало и $(\lambda(\varepsilon), y(\varepsilon))$ близко к $(\lambda(0), y(0))=\left(-\alpha_{2
u} / c_{0}^{\prime}, 0\right)$, если определитель матрицы
\[
\tilde{\mathbf{J}}=\left[\begin{array}{ll}
\frac{\partial g_{1}}{\partial \lambda} & \frac{\partial g_{1}}{\partial y} \\
\frac{\partial \tilde{g}_{2}}{\partial \lambda} & \frac{\partial \tilde{g}_{2}}{\partial y}
\end{array}\right]
\]
1) Эта задача при более общих предположениях исследована в статьө Landman K. A., Rosenblat S. Bifurcation from a multiple eigenvalue and stability of solutions, SIAM J. Appl. Math., 34, 743 (1978).
отличен от нуля при $(\lambda, y, \varepsilon)=\left(-\alpha_{20} / c_{0}^{\prime}, 0,0\right)$, т. е. если
\[
\operatorname{det} \tilde{\mathbf{J}}=\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
c_{0}^{\prime} & \lambda_{0} d_{0}^{\prime}+2 \beta_{2}
\end{array}\right]=-c_{0}^{\prime}
eq 0 .
\]
Если $c_{0}^{\prime}=0$ и $\alpha_{20}
eq 0$, то можно найти стационарное бифуркационное решение в форме $\left(u_{1}(\mu), u_{2}(\mu)\right)$. Построение этого решения дано в упр. V. 1 в конце этой главы.
Предполагая теперь $c_{0}^{\prime}
eq 0$, можно легко найти бифуркационное решение в виде ряда по степеням $\varepsilon$. Коэффициенты этого степенного ряда можно вычислить в результате повторного дифференцирования (V.14) по $\varepsilon$ при $\varepsilon=0$. Для первых производных получаем выражения
\[
\begin{aligned}
\left.\frac{d g_{1}(\lambda(\varepsilon), \varepsilon, y(\varepsilon))}{d \varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}= & \frac{d y}{d \varepsilon}+\lambda_{0}\left(a_{0}^{\prime}+\alpha_{10}\right)=0, \\
\left.\frac{d g_{2}(\lambda(\varepsilon), \varepsilon, y(\varepsilon))}{d \varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}= & c_{0}^{\prime} \frac{d \lambda}{d \varepsilon}+\lambda_{0}\left(\lambda_{0} \frac{d c^{\prime}(0)}{d \mu}+d_{0}^{\prime} \frac{d y}{d \varepsilon}\right)+ \\
& +2 \beta_{20} \frac{d y}{d \varepsilon}=0 .
\end{aligned}
\]
Уравнение (V.18) дает $d y / d \varepsilon$, а (V.19) определяет $d \lambda / d \varepsilon$.
Другой метод построения решения, ответвляющегося от двойного собственного значения с индексом, равным двум, будет дан в § VI.I1. При этом бесконечномерные задачи проектируются в одномерные. Для бесконечномерных задач размерностью основной проекции является геометрическая кратность $n_{1}$, независимо от алгебраической кратности $\mu_{1}$ (см. § IV. 2 и § VI.11). В настоящем случае $n_{1}=1$ несмотря на то, что $\mu_{1}=2$; мы имеем один собственный вектор и двойное собственное значение.
