В случае (2) из § V. 2 мы ищем стационарные решения, которые ответвляются, если $\sigma (0)=0$-двойное собственное значение с индексом, равным двум, и $a_v=c_0=d_0=b_0-1=y_0=0$. Стационарные решения имеют вид (V.2), где $\lambda (\epsilon )$ и $y(\epsilon )$ определяются из двух нелинейных уравнений
$$g_1(\lambda ,\epsilon ,y)={\tilde{g}}_2(\lambda ,\epsilon ,y)\stackrel{\text{ def }}{=}\frac{g_2(\lambda ,\epsilon ,y)}{\epsilon }=0,$$

где
$$\begin{array}{l}{g}_1=y+\epsilon \{\lambda (a^{\prime }+b^{\prime }y)+{\alpha }_1+2{\beta }_{1}y+{\gamma }_1{y}^2\}+O\left({\epsilon }^2\right),\\ g_2=\lambda (c^{\prime }+d^{\prime }y)+{\alpha }_2+2{\beta }_{2}y+{\gamma }_2{y}^2+O(\epsilon ).\end{array}$$

Для решения (V.14) воспользуемся теоремой о неявной функции. Прежде всего заметим, что (V.14) удовлетворяются при
$$\begin{array}{l}\epsilon =y_0=0\text{, если тольхо }{\lambda }_0=-{\alpha }_{20}/c_0^{\prime }\text{, т. е. }\\ g_1(-{\alpha }_{20}/c_0^{\prime },0,0)=0,\\ {\tilde{g}}_2(-{\alpha }_2/c_0^{\prime },0,0)=0.\end{array}$$

Уравнения (V.14) можно разрешить относительно ( $\lambda (\epsilon ),y(\epsilon )$ ), когда $\epsilon$ мало и $(\lambda (\epsilon ),y(\epsilon ))$ близко к $(\lambda (0),y(0))=(-{\alpha }_{2u}/c_0^{\prime },0)$, если определитель матрицы
$$\tilde{\mathbf{J}}=\left[\begin{array}{ll}\frac{\partial g_1}{\partial \lambda }& \frac{\partial g_1}{\partial y}\\ \frac{\partial {\tilde{g}}_2}{\partial \lambda }& \frac{\partial {\tilde{g}}_2}{\partial y}\end{array}\right]$$
1) Эта задача при более общих предположениях исследована в статьө Landman K. A., Rosenblat S. Bifurcation from a multiple eigenvalue and stability of solutions, SIAM J. Appl. Math., 34, 743 (1978).

отличен от нуля при $(\lambda ,y,\epsilon )=(-{\alpha }_{20}/c_0^{\prime },0,0)$, т. е. если
$$\det \tilde{\mathbf{J}}=\det \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ c_0^{\prime }& {\lambda }_0{d}_0^{\prime }+2{\beta }_2\end{array}\right]=-c_0^{\prime }eq0.$$

Если $c_0^{\prime }=0$ и ${\alpha }_{20}eq0$, то можно найти стационарное бифуркационное решение в форме $(u_1(\mu ),u_2(\mu ))$. Построение этого решения дано в упр. V. 1 в конце этой главы.

Предполагая теперь $c_0^{\prime }eq0$, можно легко найти бифуркационное решение в виде ряда по степеням $\epsilon$. Коэффициенты этого степенного ряда можно вычислить в результате повторного дифференцирования (V.14) по $\epsilon$ при $\epsilon =0$. Для первых производных получаем выражения
$$\begin{array}{rl}{\frac{d{g}_1(\lambda (\epsilon ),\epsilon ,y(\epsilon ))}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}=& \frac{dy}{d\epsilon }+{\lambda }_0(a_0^{\prime }+{\alpha }_{10})=0,\\ {\frac{d{g}_2(\lambda (\epsilon ),\epsilon ,y(\epsilon ))}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}=& c_0^{\prime }\frac{d\lambda }{d\epsilon }+{\lambda }_0({\lambda }_0\frac{d{c}^{\prime }(0)}{d\mu }+d_0^{\prime }\frac{dy}{d\epsilon })+\\ & +2{\beta }_{20}\frac{dy}{d\epsilon }=0.\end{array}$$

Уравнение (V.18) дает $dy/d\epsilon$, а (V.19) определяет $d\lambda /d\epsilon$.
Другой метод построения решения, ответвляющегося от двойного собственного значения с индексом, равным двум, будет дан в § VI.I1. При этом бесконечномерные задачи проектируются в одномерные. Для бесконечномерных задач размерностью основной проекции является геометрическая кратность $n_1$, независимо от алгебраической кратности ${\mu }_1$ (см. § IV. 2 и § VI.11). В настоящем случае $n_1=1$ несмотря на то, что ${\mu }_1=2$; мы имеем один собственный вектор и двойное собственное значение.