На следующем этапе нашего анализа укажем алгоритм построения функции $\mu(\varepsilon, \delta)$. Рассмотрим два случая:
(1) $\tilde{F}(\mu, \varepsilon, \delta)$ имеет общий вид и $F_{\mu \mu}
eq 0$.
(2) $\tilde{F}(\mu, \varepsilon, \delta)$ имеет локальную форму (см. § 1.3) т. е. $\tilde{F}(\mu, 0,0)=0$ для всех $\mu$ из интервала, содержащего нуль.
Случай (1). $F_{\mu \mu}
eq 0$. Введем новый параметр
\[
\tilde{\delta}=\frac{\delta}{\varepsilon^{2}},
\]

имеющий знак $\delta$. Коэффициенты эазложения
\[
\mu(\varepsilon, \delta)=\mu_{1}(\tilde{\delta}) \varepsilon+\mu_{2}(\tilde{\delta}) \varepsilon^{2}+o\left(|\varepsilon|^{2}\right)
\]

изолированных решений, разрушающих двойную точку бифуркации, можно вычислить отождествлением членов до порядка $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Если $\tilde{F}(\cdot, \cdot, \cdot)$ аналитична в окрестности $(0,0,0)$, то все члены ряда Тейлора для (III.18) можно вычислить в результате отождествления. Если $\tilde{F}$ достаточно гладкая, но не аналитическая, то можно вычислить единственное асимптотическсе представление вида (III.18) с конечным числом членов (полином Тейлора). Для нахождения $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ подставим (III.17) и (III.18) в (III.11) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$ :
\[
\begin{array}{c}
\tilde{\delta}=a+2 b \mu_{1}+c \mu_{1}^{2}, \\
0=2 b \mu_{2}+2 c \mu_{1} \mu_{2}+d+e \mu_{1}+f \mu_{1}^{3}+g \mu_{1}^{3} .
\end{array}
\]

Уравнение (III.19) имеет два корня:
\[
\begin{array}{l}
\mu_{1}^{+}(\tilde{\delta})=-\frac{b}{c}+\frac{1}{c} \sqrt{\frac{D}{4 F_{\delta}^{2}}+\tilde{\delta} c}, \\
\mu_{1}^{-}(\tilde{\delta})=-\frac{b}{c}-\frac{1}{c} \sqrt{\frac{D}{4 F_{\delta}^{2}}+\tilde{\delta} c} .
\end{array}
\]

Для каждого из двух корней $\mu_{1}^{+}$и $\mu_{1}^{-}$существуют единственные значения $\mu_{2}^{+}$и $\mu_{2}^{-}$, даваемые уравнением (III.20), если
\[
\frac{D}{4 F_{\delta}^{2}}+\tilde{\delta} c
eq 0
\]

и единственные изолированные решения, разрушающие бифуркацию и определяемые уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\mu^{+}(\varepsilon, \delta)=\mu_{1}^{+}(\tilde{\delta}) \varepsilon+\mu_{2}^{+} \varepsilon^{2}+o\left(|\varepsilon|^{2}\right), \\
\mu^{-}(\varepsilon, \delta)=\mu_{1}^{-}(\tilde{\delta}) \varepsilon+\mu_{2}^{-} \varepsilon^{2}+o\left(|\varepsilon|^{2}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\left[\begin{array}{l}
\mu_{1}^{+}(\tilde{\delta}) \\
\mu_{1}^{-}(\tilde{\delta})
\end{array}\right] \varepsilon=-\frac{F_{\varepsilon \mu}}{F_{\mu \mu}}\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right]+h(\varepsilon, \delta)\left[\begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array}\right] \stackrel{\operatorname{def}}{=}\left[\begin{array}{c}
\hat{\mu}_{1}^{+}(\varepsilon, \delta) \\
\hat{\mu}_{1}^{-}(\varepsilon, \delta)
\end{array}\right]
\]

и
\[
\begin{array}{c}
h(\varepsilon, \delta)=-\frac{1}{F_{\mu \mu}} \sqrt{D \varepsilon^{2}-2 F_{\delta} F_{\mu \mu} \delta} \cdot\left(\operatorname{sgn}\left(\varepsilon F_{\delta}\right)\right), \\
\operatorname{sgn}\left(\varepsilon F_{\delta}\right)=\left\{\begin{array}{l}
+1, \text { если } \varepsilon F_{\delta}>0, \\
-1, \text { если } \varepsilon F_{\delta}<0 .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Следовательно, ( $\hat{\mu}_{1}^{+}(\varepsilon, \delta), \hat{\mu}_{1}^{-}(\varepsilon, \delta)$ ) представляет собой первое приближение для $\mu^{+}(\varepsilon, \delta)$ и $\mu^{-}(\varepsilon, \delta)$. Чтобы найти второе приближение, разрешим (III.20) относительно $\mu_{2}$ и при фиксированном $\tilde{\delta}=\delta / \varepsilon^{2}$ найдем, что
\[
\begin{array}{r}
{\left[\begin{array}{c}
\mu^{+}(\varepsilon, \delta) \\
\mu^{-}(\varepsilon, \delta)
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
\hat{\mu}_{1}^{+}(\varepsilon, \delta) \\
\hat{\mu}_{1}^{-}(\varepsilon, \delta)
\end{array}\right]-\frac{1}{2 c h(\varepsilon, \delta)}\left\{d \varepsilon^{3}\left[\begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array}\right]+e \varepsilon^{2}\left[\begin{array}{l}
\hat{\mu}_{1}^{+}(\varepsilon, \delta) \\
-\hat{\mu}_{1}^{-}(\varepsilon, \delta)
\end{array}\right]+\right.} \\
\left.+f \varepsilon\left[\begin{array}{l}
\left(\hat{\mu}_{1}^{+}(\varepsilon, \delta)\right)^{2} \\
-\left(\hat{\mu}_{1}^{-}(\varepsilon, \delta)\right)^{2}
\end{array}\right]+g\left[\begin{array}{l}
\left(\hat{\mu}_{1}^{+}(\varepsilon, \delta)\right)^{3} \\
-\left(\hat{\mu}_{1}^{-}(\varepsilon, \delta)\right)^{3}
\end{array}\right]\right\}+o\left(|\varepsilon|^{2}\right),(\text { III.25) }
\end{array}
\]

если $\varepsilon \rightarrow 0$.
Случай (2). $\tilde{F}(\mu, 0,0)=0$ для $\mu$ из интервала, содержащего нуль. В этом случае $\varepsilon=0$-решение бифуркационной задачи и $c=g=0$. Легко проверить, что в этом случае
\[
\Delta(\mu, 0)=0,
\]

так что $\varepsilon$ входит множителем в правую часть (III.11). Чтобы найти кривую $\mu=\mu(\varepsilon, \delta)$, которая разрушает бифуркацию, снова введем параметр $\hat{\delta}$ :
\[
\begin{array}{c}
\delta=\varepsilon \hat{\delta}=\Delta(\mu, \varepsilon)=\varepsilon \hat{\Delta}(\mu, \varepsilon), \\
\hat{\delta}=\hat{\Delta}(\mu, \varepsilon)=a \varepsilon+2 b \mu+d \varepsilon^{2}+e \varepsilon \mu+f \mu^{2}+o\left[(|\varepsilon|+|\mu|)^{2}\right] .
\end{array}
\]

Уравнение (III.27) можно разрешить относительно $\mu$ методом рядов, использованным в случае (1), или методом последовательных приближений, описываемым ниже:
\[
\mu=\frac{1}{2 b}\left\{\hat{\delta}-a \varepsilon-d \varepsilon^{2}-e \varepsilon \mu-f \mu^{2}\right\}+o\left[(|\varepsilon|+|\mu|)^{2}\right] .
\]

Первое приближение дает формула
\[
\mu \sim \mu^{(1)}=\frac{1}{2 b}\{\hat{\delta}-a \varepsilon\}=\frac{1}{2 b}\left\{\frac{\delta}{\varepsilon}-a \varepsilon\right\} .
\]

Знаменатель $b=-F_{\text {е }} / F_{\delta}=-V \bar{D} / F_{\delta}
eq 0$. Следовательно, (II.29) дает два изолированных решения, разрушающих бифуркацию. Например, если $a=0$ как в (II.16) (пример III.3), то получаем два бифуркационных решения, если $\delta=0$ : $\varepsilon=0$ и $\mu=0$. Изолированные решения, разрушающие эти бифуркационные решения при $\delta
eq 0$, да-

Рис. III.7. Гипербола, разрушающая двойную точку бифуркации в первом приближении, если $a=0$.
Рис. III.8. Второе приближение для рис. III.7.

ются уравнением гиперболы $\mu=\delta /(2 b \varepsilon)$ (рис. III.7). Второе приближение определяется уравнением
\[
\begin{aligned}
\mu \sim \mu^{(2)} & =\frac{1}{2 b}\left\{\hat{\delta}-a \varepsilon-d \varepsilon^{2}-e \varepsilon \mu^{(1)}-f \mu^{(1)^{2}}\right\}= \\
& =\frac{1}{2 b}\left\{\frac{\delta}{\varepsilon}-a \varepsilon-d \varepsilon^{2}-\frac{e}{2 b}\left(\delta-a \varepsilon^{2}\right)-\frac{f}{4 b^{2}}\left(\frac{\delta}{\varepsilon}-a \varepsilon\right)^{2}\right\} .
\end{aligned}
\]

Например, если $a=0$, то получаем два бифуркационных решения при $\delta=0$. Эти бифуркационные решения локально определяются уравнениями
\[
\varepsilon=0 \text { и } \mu=-\frac{d}{2 b^{2}} \varepsilon^{2},
\]

которые соответствуют односторонней бифуркации, если $d /(2 b)
eq 0$ (на рис. III. $8 d /(2 b)<0$ ). Изолированные решения, разрушающие бифуркацию при $\delta
eq 0$, определяются уравнением (III.30). В суперкритическом случае диаграмма, представленная на рис. III.7, с учетом второго приближения принимает вид, показанный на рис. III.8.

Необходимо добавить, что случаи (1) и (2) исключают некоторые возможности; например, случай $F_{\mu \mu}=0, F_{\mu \mu \mu}
eq 0$, который всегда можно получить из (1) в некоторых новых переменных ( $\left.\mu^{\prime}, \varepsilon^{\prime}\right)$, вводимых при ортогональном преобразовании ( $\mu, \varepsilon$ )-плоскости. Требуемое ортогональное преобразование устраняет смешанное произведение ( $\mu \varepsilon$ в уравнении гиперболы (II.13)) и возвращает нас к случаю $F_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}}
eq 0$.