Перейдем теперь к рациональному случаю с $n>5$ и рассмотрим уравнение (X.59), в котором
\[
\rho=\varepsilon R(\theta, \varepsilon), \quad \mu=\varepsilon^{2} \tilde{\mu}(\varepsilon),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
{\left[\begin{array}{l}
R(\theta, \varepsilon) \\
\tilde{\mu}(\varepsilon)
\end{array}\right]=\sum_{l=0}\left[\begin{array}{l}
R_{t}(\theta) \\
\tilde{\mu}_{t}
\end{array}\right] e^{l}, \quad \bar{\mu}_{l}=\mu_{t+2}, \quad R_{l}=\rho_{t+1},} \\
R_{0}=1, \quad \bar{\mu}_{0}=-\frac{\alpha_{10}}{\hat{\xi}_{0}} .
\end{array}
\]

Находим, что приближенное решение (X.54) удовлетворяет уравнению
\[
\begin{aligned}
\tilde{\mu} L(\mu) R & +\sum_{q \geqslant 0}^{2 q+3<N} \varepsilon^{2 q} L^{\langle 2 q+3\rangle}(\mu) R^{s q+3}+ \\
& +\sum_{k>0} \sum_{q \geqslant 0}^{2 q-1+k n \leqslant N} e^{2 q-4+k n} L^{\langle 2 q, k\rangle}(\mu, \theta) R^{2 q-1+k n}=0,
\end{aligned}
\]

где
\[
L(\mu)=\hat{\xi}(\mu)-\hat{\omega}(\mu) \frac{d}{d \theta}, \quad L^{2 q+3}(\mu)=\alpha_{q+1}(\mu)-\frac{\beta_{q+1}(\mu)}{2 q+3} \frac{d}{d \theta}
\]

и
\[
\begin{aligned}
L^{\langle\mathbf{2} q, k\rangle}(\mu, \theta)=\alpha_{q k}(\mu) e^{i k n \theta}+ & \bar{\alpha}_{q k}(\mu) e^{-i k n \theta}- \\
& -\frac{1}{2 q-1+k n}\left[\beta_{q k}(\mu) e^{i k n \theta}+\bar{\beta}_{q k}(\mu) e^{-i k n \theta}\right] \frac{d}{d \theta} .
\end{aligned}
\]

Первый отличный от нуля член в последней сумме в (X.91) есть член, для которого $q=0, k=1$ и
\[
\varepsilon^{2 q-4+k n}=\varepsilon^{n-4} .
\]

Поэтому можно отождествлять коэффициенты при последовательных степенях $\varepsilon^{l}, l<n-4$ без рассмотрения последней суммы в (X.91). Для вычисления этих коэффициентов положим
\[
\begin{array}{c}
R^{m}(\theta, \varepsilon)=\sum_{p=0}\left[R^{m}(\theta)\right]_{p} \varepsilon^{p}, \\
\tilde{\mu}(\varepsilon) L\left(\varepsilon^{2} \tilde{\mu}(\varepsilon)\right)=\sum_{p=0}[\tilde{\mu} L(\mu)]_{p} \varepsilon^{p}, \\
\varepsilon^{2 q} L^{\langle 2 q+3\rangle}\left(\varepsilon^{2} \tilde{\mu}\right)=\sum_{p=0} \varepsilon^{2 q+p}\left[L^{\langle 2 q+3\rangle}(\mu)\right]_{p} .
\end{array}
\]

После отождествления находим, что
\[
\sum_{v=l+p}[\tilde{\mu} L(\mu)]_{l} R_{p}+\sum_{v=2 q+p+1}\left[L^{\langle 2 q+3\rangle}(\mu)\right]\left[R^{2 q+3}(\theta)\right]_{p}=0
\]

для $v=0,1, \ldots, n-5, q \geqslant 0, p \geqslant 0, l \geqslant 0$. Эта задача в действительности єовпадает с задачей (X.50) до членов порядка $O\left(8^{n-5}\right)$. Следовательно, $R_{0}=1$,
\[
\begin{array}{l}
R_{l}(\theta)=0, \quad 0<l<n-4, \\
\tilde{\mu}_{2 l-1}=0, \quad 2 l-1 \leqslant n-5, \\
\mu_{2 l-1}=0, \quad 2 l-1 \leqslant n-3 .
\end{array}
\]

Докажем теперь, что
\[
R_{n-4}(\theta)=\rho_{n-3}(\theta)=g_{10} e^{i n \theta}+\bar{g}_{10} e^{-i n \theta},
\]

где $g_{10}$-постоянная, зависящая от резонансного числа $n$. Для доказательства равенств (X.96) определим в (X.91) коэффициент при $\varepsilon^{v}$ для $v \geqslant n-4$ и найдем, что
\[
\begin{array}{l}
\sum_{
u=l+p}[\tilde{\mu} L(\mu)]_{l} R_{p}+\sum_{v=2 q+p+l}\left[L^{\langle 2 q+3\rangle}(\mu)\right]_{l}\left[R^{2 q+3}(\theta)\right]_{p}+ \\
+\sum_{2 q+k n-4+l+p=v}\left[L^{\langle 2 q, k\rangle}(\mu, \theta)\right]_{l}\left[R^{2 q+k n-1}\right]_{p}=0 .
\end{array}
\]

Необходимо рассмотреть два случая.
(1) $n$ четное и $v=n-4$. Тогда, используя (X.94), можно записать (X.97) в виде
\[
\begin{array}{l}
{[\tilde{\mu} L(\mu)]_{n-4} R_{0}+[\tilde{\mu} L(\mu)]_{0} R_{n-4}+\left[L^{\langle 8\rangle}(\mu)\right]_{0}\left[R^{3}\right]_{n-4}+} \\
+\sum_{n-4=2 q+l}\left[L^{\langle 2 q+3\rangle}(\mu)\right]_{l}\left[R^{2 q+3}\right]_{0}+\left[L^{\langle 0,1\rangle}(\mu, \theta)\right]_{0}\left[R^{n-1}\right]_{0}=0,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
{[\tilde{\mu} L(\mu)]_{n-4}=\tilde{\mu}_{n-4} L_{0}+\text { ч.н.п., }} \\
R_{0}=\left[R^{n-1}\right]_{0}=1,[\tilde{\mu} L(\mu)]_{0}=\tilde{\mu}_{0}\left(\hat{\xi}_{0}-\hat{\omega}_{0} \frac{d}{d \theta}\right), \\
{\left[L^{\langle 3\rangle}(\mu)\right]_{0}\left[R^{3}\right]_{n-4}=3 \alpha_{10} R_{n-4}-\beta_{10} R_{n-4}^{\prime},} \\
{\left[L^{\langle 0,1\rangle}(\mu, \theta)\right]\left[R^{n-1}\right]_{0}=L^{\langle 0,1\rangle}(0, \theta)=\alpha_{010} e^{i n \theta}+\bar{\alpha}_{010} e^{-i n \theta},} \\
\tilde{\mu}_{l}=\mu_{t+2} .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\mu_{n-2} \hat{\xi}_{0}+\text { ч.н.п. }+\left(\mu_{2} \hat{\xi}_{0}+3 \alpha_{10}\right) R_{n-4}-\left(\beta_{10}+\mu_{2} \hat{\omega}_{0}\right) R_{n-4}^{\prime}+ \\
\quad+\sum_{n=2 q+l+4}\left[L^{\langle 2 q+3\rangle}(\mu)\right]_{l}+\alpha_{010} e^{i n \theta}+\bar{\alpha}_{010} e^{-i n \theta}=0,
\end{array}
\]

где оператор $\left[L^{\langle 2 q+3\rangle}(\mu)\right]_{l}$ действует на постоянную единичную функцию. Среднее значение от (X.99) есть
\[
\mu_{n-2} \hat{\xi}_{0}+\text { ч.н.п. }+\sum_{a=2 q+l+4}^{Y}\left[L^{\langle 2 q+\beta\rangle}(\mu)\right]_{l}=0 .
\]

Это уравнение определяет $\mu_{n-2}$ через члены более низкого порядка. Тогда из уравнения (X.99) следует, что $R_{n-4}(\theta)$ имеет вид, указываемый формулой (X.96).
(2) $n$ нечетное и $v=n-4$. Здесь вторые два члена в (X.100) обращаются в нуль, потому что $\mu_{2 l-1}=0$ для $2 l-1<n-2$, и, следовательно, $\mu_{n-2}$ также равно нулю.

Теперь покажем, что если $n$ четное ( $n \geqslant 6$ ), то
\[
R_{2 m+1}(\theta)=\rho_{2 m}(\theta)=0
\]

для всех $m$ таких, что $2 m<N$ (напомним, что $N$ неограничено и поэтому все производные по $\varepsilon$ от $\rho(\theta, \varepsilon)$ равны нулю в каждом приближении). Это следует из того обстоятельства, что при четном $n$ уравнение (X.91) содержит только четные степени \&. Аналогично доказывается, что
\[
\mu_{2 m-1}=0,
\]

если $n$ четное.
Уравнение ( $\mathrm{X} .102$ ) справедливо также и для $n$ нечетного ( $n \geqslant 5$ ). Предположим, что $\mu_{l}=0$, если $l<v$ и $l$ нечетное. Тогда все производные нечетного порядка по в от функций, зависящих от $\mu$, должны обращаться в нуль, и среднее от (X.97) можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\mu_{v} \hat{\xi}_{0}+\sum_{v=2 q+2 l+2 p+1}\left[L^{\langle 2 q+3\rangle}(\mu)\right]_{2 l}{\overline{\overline{R^{2 q+3}}}}_{2 p+1}+ \\
+\sum_{2 q+k n-4+2 l+p=v}{\overline{\left[\overline{\left.L^{\langle 2 q, k\rangle}(\mu, \theta)\right]_{2 l}\left[R^{2 q+k n-1}\right.}\right.}}_{p}=0 . \\
\end{array}
\]

Теперь $R_{t}(\theta), l>0$, представляет собой четный (нечетный) полином относительно гармоник $e^{i n \theta}$, если $l$ четное (нечетное), и $\overline{\bar{R}}_{l}=0$. Тогда $\left[R^{m}(\theta)\right]_{l}(m \geqslant 1)$ также является полиномом относительно $e^{i n \theta}$, и $\overline{\bar{R}}^{m}=0$, если $l$ нечетное. Аналогично, $\left[L^{\langle 2 q . k\rangle}(\mu, \theta)\right]_{2 l}\left[R^{2 q+k n-1}\right]_{p}$ есть полином относительно гармоник $e^{i n \theta}$ со средним значением, равным нулю, если $k+p$ нечетное. Так как $v$ и $n$ – нечетные числа, то $k n+p$ нечетное, если таковым является $k+p$. Отсюда следует, что усредненные члены в (X.103) равны нулю и $\tilde{\mu}_{v}=0$, если $v$ нечетное.
Вообще говоря, имеем
\[
\mu=\sum_{p=1}^{2 p} \mu_{2 p} \varepsilon^{2 p}+O\left(\varepsilon^{N+1}\right)
\]

и, если $\lambda_{0}^{n}=1, n \geqslant 5$, а $n$ нечетнсе,
\[
\begin{array}{l}
\rho(\theta, \varepsilon)=\varepsilon+\varepsilon^{n-3}\left(g_{10} e^{i n \theta}+\bar{g}_{10} e^{-i n \theta}\right)+\varepsilon^{n-2}\left(g_{20} e^{i n \theta}+\bar{g}_{20} e^{-2 i n \theta}\right)+ \\
+\varepsilon^{n-1}\left(g_{30} e^{3 i n \theta}+\bar{g}_{30} e^{-3 i n \theta}+g_{81} e^{i n \theta}+\bar{g}_{81} e^{-i n \theta}\right)+O\left(\varepsilon^{n}\right)= \\
=\varepsilon+\sum_{k=1}^{k \leqslant 4-n} \varepsilon^{n-4+k} \sum_{q=0}^{N-2 q}\left[g_{k q} \exp (n(k-2 q) i \theta)+\right. \\
\left.+\bar{g}_{k q} \exp (-n(k-2 q) i \theta)\right]+O\left(\varepsilon^{N+1}\right) . \quad \text { (X.105) }
\end{array}
\]

Если $n=2 v$ четное, то имеем
\[
\begin{array}{l}
\rho(\theta, \varepsilon)=\varepsilon+\varepsilon^{2 v-3}\left(g_{00} e^{2 v i \theta}+\bar{g}_{00} e^{-2 v i \theta}\right)+ \\
+\varepsilon^{2 v-1}\left(g_{11} e^{2 v i \theta}+\bar{g}_{11} e^{-2 v i \theta}+g_{10} e^{4 v i \theta}+\bar{g}_{i 0} e^{-4 v i \theta}\right)+ \\
+\varepsilon^{2 v+1}\left(g_{22} e^{2 v i \theta}+\bar{g}_{22} e^{-2 v i \theta}+g_{21} e^{4 v i \theta}+\bar{g}_{21} e^{-4 v i \theta}+\right. \\
\left.+g_{20} e^{6 v i \theta}+\bar{g}_{20} e^{-6 v i \theta}\right)+O\left(e^{2 v+3}\right)= \\
=\varepsilon+\sum_{k=0}^{2(k+v) \leqslant N+3} \varepsilon^{2 v-3+2 k} \sum_{q=0}^{k}\left(g_{k q} \exp (2 v(k+1-q) i \theta)+\right. \\
\left.+\bar{g}_{k q} \exp (-2 v(k+1-q) i \theta)\right)+O\left(\varepsilon^{N+1}\right) .
\end{array}
\]

Проверку формул (Х.105) и (Х.106) предоставляем читателю в качестве упражнения.