Пусть выполняется одно из предположений о спектре ((1) или (II)) $\S$ XI. 3 с $\eta_{0} / \omega_{0}=m / n$ вместе с условиями строгого пересечения $\S \S \times 1.5-7$.
1. Если $n=1$, то по обе стороны от критической точки ответвляется единственное однопараметрическое ( $\varepsilon$ ) семейство ( $2 \pi / \Omega(\varepsilon)$ )периодических решений уравнения (XI.2). Если $n=2$, то с одной стороны от критической точки ответвляется единственное однопараметрическое ( $\varepsilon$ ) семейство ( $4 \pi / \Omega(\varepsilon)$ )-периодических решений уравнения (XI.2). Суперкритические ( $\mu(\varepsilon)>0$ ) бифуркационные решения устойчивы; субкритические бифуркационные решения неустойчивы.
2. Если $n=3$, то ответвляется единственное однопараметрическое семейство $(6 \pi / \Omega(\varepsilon)$ )-периодических решений уравнения (XI.2) и они неустойчивы по обе стороны от критической точки.
3. Если $n=4, \quad\left|\lambda_{3}\right|>\mid \gamma_{1}-(1 / 4)$ im $\hat{\omega}_{1}|| \operatorname{Im}\left(\lambda_{2} /\left(\gamma_{1}-(1 / 4)\right.\right.$ im $\left.\left.\hat{\omega}_{1}\right)\right) \mid$, $\lambda_{2}$ и $\lambda_{3}$ определяются по формулам, указанным после (XI.87), $m=1$ или 3, $\gamma_{1}$-(1/4) im $\hat{\omega}_{i}$ удовлетворяют уравнению (XI.19), то ответвляются два семейства однопараметрических ( $\varepsilon$ ( $8 \pi / \Omega(\varepsilon)$ )-периодических решений уравнения (XI.2). Если $\left|\lambda_{2}\right|<\left|\lambda_{3}\right|$, то одно из двух
бифуркационных решєний ответвляется с субкритической стороны $(\mu<0)$, а другое – с суперкритической стороны ( $\mu>0$ ), и оба решения неустойчивы. Если $\left|\lambda_{2}\right|>\left|\lambda_{3}\right|$, то два решения ответвляются с одной и той же стороны от критической точки и по крайней мере одно из них неустойчиво. Устойчивость решения зависит от конкретных условий рассматриваемой задачи.
4. Если $n \geqslant 5, \operatorname{Im}\left(\lambda_{2} /\left(\gamma_{1}-(\mathrm{lm} / n) \hat{\omega}_{1}\right)\right)
eq 0, \lambda_{2}$ определяется по формуле, приведенной после (XI.87), или, если $n=4$ и неравенства пункта 3 не выполняются, то, вообще говоря, вблизи критической точки не существует малых по амплитуде ( $2 \pi n / \Omega(\varepsilon)$ )-периодических решений уравнения (XI.2). Во всех случаях функция $\Omega(\varepsilon)$ такова, что $\Omega(0)=\omega_{0}$, и поэтому бифуркационные решения имеют периоды, близкие к кратным значениям величины $2 \pi / \hat{\omega}(\mu)$.