Теперь мы укажем смысл, в котором существенно двумерная задача является строго двумерной. Сначала представим бифуркационное решение и в виде вещественной суммы
\[
\mathbf{u}(t)=a(t) \xi+\bar{a}(t) \bar{\xi}+\mathbf{w}(t),
\]
где
\[
\left\langle\mathbf{w}, \zeta^{*}\right\rangle=\left\langle\bar{\zeta}, \zeta^{*}\right\rangle=\left\langle\zeta, \zeta^{*}\right\rangle-1=0 .
\]
Подставляя (VIII.7) в (VIII.1) и используя (VIII.2), находим
\[
[\dot{a}-\sigma(\mu) a] \xi+[\dot{\bar{a}}-\bar{\sigma}(\mu) \bar{a}] \bar{\zeta}+\frac{d \mathbf{w}}{d t}=\mathbf{f}_{a}(\mu \mid \mathbf{w})+\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}) .
\]
Проектирование уравнения (VIII.9) на ६* приводит нас к эволюционной задаче для «малой части» w на пространстве, дополнительном к натянутому на векторы $\boldsymbol{\zeta}$ и $\bar{\xi}$ :
\[
\frac{d \mathbf{w}}{d t}=\mathbf{f}_{a}(\mu \mid \mathbf{w})+\left(\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u})-\left\langle\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}), \zeta^{*}\right\rangle \xi-\left\langle\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}), \bar{\zeta}^{*}\right\rangle \bar{\zeta}\right),
\]
и к эволюционному уравнению для проектируемой части
\[
\dot{a}-\sigma(\mu) a=\left\langle\mathbf{N}(\mu, \mathfrak{u}), \zeta^{*}\right\rangle .
\]
При выводе уравнения (VII.11) были использованы соотношения
\[
\begin{array}{c}
\left\langle\frac{d \mathbf{w}}{d t}, \zeta^{*}\right\rangle=\frac{d}{d t}\left\langle\mathbf{w}, \zeta^{*}\right\rangle=0, \\
\left.\left.\left\langle\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{w}), \zeta^{*}\right\rangle=\left\langle\mathbf{w}, \mathbf{f}_{u}^{*} ! \mu\right| \zeta^{*}\right)\right\rangle=\sigma\left\langle\mathbf{w}, \zeta^{*}\right\rangle=0 .
\end{array}
\]
Уравнение (VIII.10) теперь легко следует из (VIII.9) и (VIII.11).
Итак, уравнение (VIII.11) описывает эволюцию проекции решения u на подпространство, соответствующее собственному значению $\sigma_{1}(\mu)=\sigma(\mu)$, а уравнение (VIII.10) описывает эволюцию части решения, которая ортогональна подпространству, натянутому на векторы $\zeta^{*}$ и $\bar{\zeta}^{*}$.
В бифуркационных задачах дополнительная проекция $\mathbf{w}$ играет меньшую роль; от нее зависит только порождаемая нелинейной связью реакция на компоненту решения, натянутую на $\zeta$ и $\bar{\xi}$. Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\mathbf{N}(\mu, \mathbf{u}), \zeta^{*}\right\rangle=\frac{1}{2}\left\langle\left(\mathbf{f}_{u t}(\mu|\mathbf{u}| \mathbf{u})+O\left(\|\mathbf{u}\|^{3}\right)\right), \zeta^{*}\right\rangle, \\
\frac{1}{2}\left\langle\mathbf{f}_{u u}(\mu|\mathbf{u}| \mathbf{u}), \zeta^{*}\right\rangle=\alpha(\mu) a^{2}+2 \beta(\mu)|a|^{2}+\gamma(\mu) \bar{a}^{2}+ \\
+2 a\left\langle\mathbf{f}_{u t}(\mu|\xi| \mathbf{w}), \zeta^{*}\right\rangle+2 \bar{a}\left\langle\mathbf{f}_{u a}(\mu|\bar{\xi}| \mathbf{w}), \zeta^{*}\right\rangle+ \\
+\left\langle\mathbf{f}_{u a}(\mu|\mathbf{w}| \mathbf{w}), \zeta^{*}\right\rangle \text {, } \\
\alpha(\mu)=\frac{1}{2}\left\langle\mathbf{f}_{u u}(\mu|\xi| \xi), \xi^{*}\right\rangle, \\
\beta(\mu)=\frac{1}{2}\left\langle f_{t a}(\mu|\zeta| \bar{\zeta}), \zeta^{*}\right\rangle \\
\gamma(\mu)=\frac{1}{2}\left\langle\mathrm{f}_{t_{u}}(\mu|\bar{\zeta}| \bar{\zeta}), \zeta^{*}\right\rangle . \\
\end{array}
\]
Отсюда следует, что амплитудное уравнение (VIII.11) может быть представлено в виде
\[
\begin{aligned}
\dot{a}-\sigma(\mu) a=\alpha(\mu) a^{2}+2 \beta(\mu)|a|^{2} & +\gamma(\mu) \bar{a}^{2}+ \\
& +O\left(|a|^{3}+|a|\|\mathbf{w}\|+\|\mathbf{w}\|^{2}\right) .
\end{aligned}
\]
Возвращаясь теперь к уравнению (VIII.10) и принимая во внимание (VIII.12), находим, что по истечении достаточно большого промежутка времени будем иметь $w=O\left(|a|^{2}\right)$, и получаем двумерную структуру бифуркации Хопфа в общем случае в результате сравнения (VIII.13) с уравнением (VII.5), которое описывает устойчивость строго двумерной задачи.
