Теперь мы будем искать вещественные субгармонические решения (IX.3) с амплитудой $\varepsilon$, которые ответвляются от решения $\mathbf{u}=0$ в точках резонанса. Амплитуду $\varepsilon$ можно определить различными эквивалентными способами, совместными с требованием, чтобы $\mathbf{u}(t, \varepsilon) / \varepsilon$ было ограничено при $\varepsilon \rightarrow 0$. Кроме того, из таких решений всегда можно извлечь часть решения, лежащую в нуль-пространстве оператора $\sqrt{ }$, и другую часть:
\[
\mathbf{u}(t, \varepsilon)=a(\varepsilon) \mathbf{Z}(t)+a(\varepsilon) \overline{\mathbf{Z}}(t)+\mathbf{W}(t, \varepsilon),
\]

где
\[
0=\left[\mathbf{W}, \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}, \quad a(\varepsilon)=\left[\mathbf{u}, \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T} .
\]

Удобно отдельно рассмотреть два случая: (1) $n=1$ и $n=2$, когда существует только один собственный вектор $\mathbf{Z}=\overline{\mathbf{Z}}$ оператора $\sqrt{ }$, и (2) $n>2$, когда $\mathbf{Z}$ и $\overline{\mathbf{Z}}$ — независимые собственные векторы.
В случае (1) определим
\[
\varepsilon=a(\varepsilon)=\left[\mathbf{u}(t, \varepsilon), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}
\]

и, как увидим,
\[
\mathbf{W}(t, \varepsilon)=\varepsilon^{2} \mathbf{w}(t, \varepsilon),
\]
rде $\mathbf{w}(t, 0)$ ограничен. Поэтому в случае (1) разложение (IX.42) можно записать в форме
\[
\mathbf{u}(t, \varepsilon)=\varepsilon \mathbf{Z}+\varepsilon^{2} \mathbf{w}(t, \varepsilon) .
\]

В случае (2) удобно определить $\varepsilon$, потребовав, чтобы
\[
a(\varepsilon)=\varepsilon e^{i \varphi\langle\varepsilon \ell}=\left[\mathbf{u}, \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T} .
\]

Такое определение отвечает тому обстоятельству, что главная часть всякого бифуркационного решения принадлежит собственному пространству линеаризованного оператора, которое соответствует нулевому собственному значению. В случае (2) разложение (IX.42) можно записать в виде
\[
\mathbf{u}(t, \varepsilon)=\varepsilon(A(\varepsilon) \mathbf{Z}+\bar{A}(\varepsilon) \overline{\mathbf{Z}})+\varepsilon^{2} \mathbf{w}(t, \varepsilon) .
\]