Исследование устойчивости мы связываем с исследованием бифуркации в предположении о «строгом пересечении», введенном Хопфом ${ }^{1}$ ) и используемом почти во всех работах по бифуркации и устойчивости. Это предположение ограничивает исследование бифуркации двойными точками; точка возврата и особые точки высокого порядка исключаются.
1) Hopf E., Abzweigung einer periodischen Lösung von einer stationären Lösung eines Differentialsystems, Berichten der Mathematisch-Physischen Klasse der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, XCIV, 1-22 (1942). Английский перевод этой статьи, выполненный Л. Н. Ховардом и Н. Коппель, можно найти в книге Дж. Марсдена и М. Мак-Кракена (см. литературу к гл. I).

Следствие 2. Пусть $\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$ — ссобая точка и (А) $\sigma_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)
eq 0$ или (Б) $\sigma_{\mu}\left(\mu_{0}\right)
eq 0$. Тогда $\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$-двойная точка.
В случае (А) находим из (II.44), что в особой точке ( $\left.\mu\left(\varepsilon_{0}\right), \varepsilon_{0}\right)$
\[
\sigma_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)=F_{\varepsilon \varepsilon}+\mu_{\varepsilon} F_{\varepsilon \mu}=-\mu_{\varepsilon}^{2} F_{\mu \mu}-\mu_{\varepsilon} F_{\varepsilon \mu}
eq 0 .
\]

Соотношение (II.46) показывает, что для ( $\mu\left(\varepsilon_{0}\right), \varepsilon_{0}$ ) выполняется характеристическое квадратное уравнение (II.7). Поскольку существует кривая, проходящая через эту точку, то $D \geqslant 0$, и нам необходимо показать, что $D
eq 0$. Предположим, что $D=F_{\varepsilon \mu}^{2}-F_{\mu \mu} F_{\varepsilon \varepsilon}=0$, и покажем, что это предположение противоречит (II.46). Сначала отметим, что из (II.46) следует, что не все вторые производные от $F$ равны нулю в $\left(\mu\left(\varepsilon_{0}\right), \varepsilon_{0}\right)$. Если $F_{\mu \mu} F_{\varepsilon \varepsilon}
eq 0$ и $D=0$, то (II.8) принимает вид $\mu_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)=-F_{\varepsilon \mu} / F_{\mu \mu}$, а (II.46) можно записать в форме $F_{\varepsilon \varepsilon}-\left(F_{\varepsilon \mu}^{2} / F_{\mu \mu}\right)=-D / F_{\mu \mu}
eq 0$. В результате получаем $D
eq 0$. Если $F_{\mu \mu} F_{\varepsilon \varepsilon}=0$ и $D=0$, то $F_{\varepsilon \mu}=0$ и (II.66) можно записать в виде $\sigma_{\varepsilon}=F_{\varepsilon \varepsilon}=-\mu_{\varepsilon}^{2} F_{\mu \mu}
eq 0$. Поэтому в итоге $D
eq 0$.

В случае (Б) разрешим $F(\mu, \varepsilon)=0$ относительно $\varepsilon(\mu)$. В особой точке $\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right.$ ) имеет место строгая потеря устойчивости, потому что $\sigma_{\mu}=F_{\varepsilon \mu}+F_{\varepsilon \varepsilon} \varepsilon_{\mu}=F_{\varepsilon \mu}=V \bar{D} \operatorname{sgn} F_{\varepsilon \mu}$.