Устойчивость по линейному приближению бифуркационного решения, построенного в (V.5), иожно установить по знаку вещественных частей собственных значений матрицы Якоби $\mathcal{y}$, даваемой формулой (V.4). В настоящем случае при $a_{0}=c_{0}=d_{0}=y_{0}=b_{0}-1=$ $=\lambda_{0} c_{0}^{\prime}+\alpha_{2 n}=0$ имеем
\[
y=\left[\begin{array}{rr}
\varepsilon\left(\lambda_{0} a_{0}^{\prime}+2 \alpha_{10}\right) & 1+\varepsilon\left(\lambda_{0} b_{0}^{\prime}+2 \beta_{10}\right) \\
\varepsilon\left(\lambda_{0} c_{0}^{\prime}+2 \alpha_{20}\right) & \varepsilon\left(\lambda_{0} d_{0}^{\prime}+2 \beta_{20}\right)
\end{array}\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Собственные значения $y$ суть $\gamma_{1}(\varepsilon)$ и $\gamma_{2}(\varepsilon)$ и определяются уравнением $\operatorname{det}[y-\gamma I]=0$; отсюда находим
\[
\begin{array}{l}
{\left[\begin{array}{l}
\gamma_{1}(\varepsilon) \\
\gamma_{2}(\varepsilon)
\end{array}\right]=\left[-\varepsilon \lambda_{0} c_{0}^{\prime}\right]^{1 / 2}\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1
\end{array}\right]+\frac{\varepsilon}{2}\left\{\lambda_{0}\left(a_{0}^{\prime}+d_{0}^{\prime}\right)+\right.} \\
\left.+2 \alpha_{10}+2 \beta_{20}\right\}\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right]+O\left(\varepsilon^{3 / 2}\right) . \\
\end{array}
\]

Возьмем одно из значений $\sqrt{\varepsilon}$ : скажем, $\sqrt{\varepsilon}$-вещественное и положительное число, если $\varepsilon>0$; тогда $\gamma_{1}(\varepsilon)$ и $\gamma_{2}(\varepsilon)$ являются аналитическими по $\sqrt{\varepsilon}$. Если $\lambda_{0}
eq 0$, то имеем
\[
\left[\begin{array}{l}
\gamma_{i}(\varepsilon) \\
\gamma_{2}(\varepsilon)
\end{array}\right]=\left(-\mu c_{0}^{\prime}\right)^{1 / 2}\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1
\end{array}\right]+O[\mu(\varepsilon)] .
\]

Сравним эти выражения с формулой (IV.30)
\[
\left[\begin{array}{l}
\sigma_{1}(\mu) \\
\sigma_{2}(\mu)
\end{array}\right]=\left(\mu c_{0}^{\prime}\right)^{1 / 2}\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1
\end{array}\right]+O(\mu),
\]

дающей собственные значения, определяющие характер устойчивости решения $\mathbf{u}=0$. Если $\mu c_{0}^{\prime}>0$, то нулевое решение неустойчиво,

Рис. V.1. Возможные распределения устойчивости стационарных решений, ответвляющихся от $\varepsilon=0$ в двойном собственном значении с индексом 2 в случае $c_{1}^{\prime}>0$, где предполагается, что нулевое решение теряет устойчивость строго, когда $\mu$, возрастая, проходит через нуль (см. IV.30))

а устойчивость бифуркационного решения определяется собственными значениями $\gamma_{i}(\varepsilon)$, а именно членами, имеющими порядок $\mu(\varepsilon)$, или членами порядка $O(\varepsilon)$, так как величина ( $\left.-\mu c_{0}^{\prime}\right)^{1 / 2}$ чисто мнимая. Если $\mu c_{0}^{\prime}<0$, то бифуркационное решение неустойчиво, в то время как устойчивость нулевого решения определяется членами порядка $\mu$ в $\sigma_{2}(\mu)$.

Пусть $\left(a_{0}^{\prime}+d_{0}^{\prime}\right) c_{0}^{\prime}<0$ и $c_{0}^{\prime}>0$. Тогда нулевое решение устойчиво при $\mu<0$ и неустойчиво при $\mu>0$. (Обратное верно, если $c_{0}^{\prime}<0$.) В этом случае бифуркационное решение неустойчиво при $\mu<0$ и может быть устойчивым или неустойчивым при $\mu>0$ в зависимости от коэффициента при $\varepsilon$ в $\gamma_{i}(\varepsilon)$ (см. рис. V.1). Обращаем внимание читателя на то обстоятельство, что ни нулевое решение, ни бифуркационное решение не могут быть устойчивы с обеих сторон от критического значения.

Если $\lambda_{0}=0$ и $\mu_{\varepsilon \varepsilon}(0)
eq 0$, то бифуркация является односторонней и определение характера устойчивости зависит от особенностей конкретной задачи.