Теперь мы будем решать уравнение (X.1), когда отношение частот в критической точке $\omega_{0} T /(2 \pi)=m / n$ представляет собой рациональное число и $n \geqslant 5$. В § X. 11 было показано, что решения на бифуркационном торе имеют вид
\[
\begin{aligned}
\mathbf{u}(t)= & \sum_{p+q \geqslant 1} R\left(\varepsilon, t,\left[\omega_{0}+\varepsilon^{2} \Theta\left(\varepsilon^{2}\right\}\right] t\right)^{p+q} \exp \left(i ( p – q ) \left(\left[\omega_{0}+\varepsilon^{2} \Theta\left(\varepsilon^{2}\right)\right] t+\right.\right. \\
& \left.\left.+H\left(\varepsilon, t,\left[\omega_{0}+\varepsilon^{2} \Theta\left(\varepsilon^{2}\right)\right] t\right)\right)\right) \mathbf{u}_{p q}\left(t, \mu\left(\varepsilon^{2}\right)\right)
\end{aligned}
\]

с точностью до членов более высокого порядка. Здесь $R(\varepsilon, t, s)$ и $H(\varepsilon, t, s)$ представляют собой функции, $T$-периодические по $t$ и $2 \pi / n$-периодические по $s$, тогда как $\mathbf{u}_{p q} T$-периодична по $t$, а $\exp (i(p-q) s) 2 \pi$-периодична по $s$. Это решение указывает, что можно искать решения вида $\mathbf{u}(t, s)$, где $\mathbf{u}$-дважды периодическая функция, $T$-периодическая по $t$ и $2 \pi$-периодическая по $s$, при этом $s=\left(\omega_{0}+\varepsilon^{2} \Theta\left(\varepsilon^{2}\right)\right) t$. В обозначениях (X.186) имеем
\[
\begin{array}{c}
R(\varepsilon, t, s)=\varepsilon+\varepsilon^{n-3} R_{n-3}(t, s)+\ldots, \\
H(\varepsilon, t, s)=\varepsilon^{n-4} H_{n-4}(t, s)+\ldots, \\
\Theta\left(\varepsilon^{2}\right)=\Omega_{0}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\mu\left(\varepsilon^{2}\right)=\frac{\mu_{2}}{2} \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{4}\right), \\
\mathbf{u}_{10}\left[t, \mu\left(\varepsilon^{2}\right)\right]=\zeta(t)+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\mathbf{u}_{01}=\overline{\mathbf{u}}_{10} .
\end{array}
\]

Заметим, что каждую дважды периодическую функцию $\mathbf{~ и з ~} \mathbb{P}_{T, 2 \pi}$ можно записать в виде
\[
\mathbf{u}(t, s)=\tilde{\mathbf{u}}\left(t^{\prime}, s^{\prime}\right)=\mathbf{u}\left(t^{\prime}, s^{\prime}+\omega_{0} t^{\prime}\right) .
\]

Поэтому $\tilde{\mathbf{u}}$ принадлежит $\mathbb{P}_{n T}, 2 \pi$. Однако, напротив, функции из $\mathbb{P}_{n} T, \mathbf{\Omega \pi}$ не обязательно принадлежат $\mathbb{P}_{T, 2 \pi}$, даже после замены переменных. Это маленькое замечание тем не менее полезно для построения в $\mathbb{P}_{T, 2 \pi}$ альтернативы Фредгольма.

Следуя обозначениям дополнения X.2, определим оператор
\[
\mathscr{L}_{0}=-\omega_{0} \frac{\partial}{\partial s}+J_{0}
\]

в пространстве $\mathbb{P} T$, гл. В настоящем случае ядро оператора $\mathscr{L}_{0}$ бесконечномерно. Чтобы это показать, разложим $\mathbf{u}(t, s)$ в ряд Фурье по $s$,
\[
\mathbf{u}(t, s)=\sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathbf{u}_{k}(t) e^{i k s} .
\]

Тогда из уравнения $\mathscr{L}_{0} \mathbf{u}=0$ следует, что
\[
\left(J_{0}-i k \omega_{0}\right) \mathbf{u}_{k}=0,
\]

и $\mathbf{u}_{k}$ может быть отлична от нуля, только если $k= \pm 1+\ln , l \in Z$. Поэтому и имеет вид
$\mathbf{u}(t, s)=\sum_{l} u_{1+\ln } \exp \left((1+\ln ) i s-i \ln \omega_{0} t\right) \xi(t)+$
\[
+\sum_{l} u_{-i+l n} \exp \left((-1+\ln ) i s-i \ln \omega_{0} t\right) \bar{\xi}(t) \text {. }
\]

Поэтому общий вид ядра (или нуль-пространства) оператора $\mathscr{L}_{0}$ имеет вид
\[
\mathbf{u}(t, s)=e^{i s} \alpha\left(s-\omega_{0} t\right) \xi(t)+e^{-i s \beta}\left(s-\omega_{0} t\right) \bar{\xi}(t),
\]

где $\alpha$ и $\beta$ суть произвольные $2 \pi / n$-периодические функции от $s$.
Чтобы подготовить альтернативу Фредгольма для $\mathscr{L}_{0}$ в $\mathbf{P}_{T, 2 \pi}$, введем новые переменные
\[
t^{\prime}=t, \quad s^{\prime}=s-\omega_{0} t
\]

и запишем $\mathbf{u}(t, s)=\tilde{\mathbf{u}}\left(t^{\prime}, s^{\prime}\right)$, где теперь $\tilde{\mathbf{u}}$ принадлежит $\mathbb{P}_{n} T, 2 \pi$. Нам нужно решить уравнение
\[
\mathscr{L}_{0} \mathbf{u}=\mathbf{h} \in \mathbb{P}_{T, 2 \pi},
\]

которое теперь можно представить в форме
\[
\tilde{\mathrm{J}}=\tilde{\mathrm{h}} \in \mathbb{P}_{n T, 2 \pi},
\]

потому что
\[
-\frac{\partial}{\partial t^{\prime}}=-\omega_{0} \frac{\partial}{\partial s}-\frac{\partial}{\partial t} .
\]

Линейный оператор 』 совпадает с оператором, использованным в гл. IX, за исключением того, что в (X.192) $s^{\prime}$ рассматривается как параметр. Поэтому условия совместности имеют вид
\[
\left[\tilde{\mathbf{h}}\left(\cdot, s^{\prime}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=\left[\tilde{\mathbf{h}}\left(\cdot, s^{\prime}\right), \overline{\mathbf{Z}}^{*}\right]_{n T}=0,
\]

где напоминаем, что
\[
\mathbf{Z}(t)=e^{i \omega_{0} t} \zeta(t), \quad \mathbf{Z}^{*}(t)=e^{i \omega_{0} t} \zeta^{*}(t)
\]

являются нуль-векторами операторов $\mathfrak{J}$, в $\mathbb{P}_{n T}$. Нам известно, что (X.192) имеет решения $\tilde{\mathbf{u}} \in \mathbb{P}_{n r, 2 \pi}$, которые можно сделать единственными за счет наложения дополнительных условий вида
\[
\left[\tilde{\mathbf{u}}\left(\cdot, s^{\prime}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=\left[\tilde{\mathbf{u}}\left(\cdot, s^{\prime}\right), \overline{\mathbf{Z}}^{*}\right]_{n T}=0 .
\]

Из условий (X.193) следует, что коэффициенты ряда Фурье
\[
\mathbf{h}(t, s)=\sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathbf{h}_{k}(t) e^{i k s}
\]

удовлетворяют условиям ортогональности вида
\[
\begin{array}{l}
{\left[\mathrm{h}_{k}, \zeta^{*}\right]_{T}=0 \text { для } k=1+\ln , l \in \mathbb{Z},} \\
{\left[\mathrm{h}_{k}, \bar{\zeta}^{*}\right]_{T}=0 \text { для } k=-1+\ln , l \in \mathbb{Z} .}
\end{array}
\]

Теперь мы должны проверить, что решение $\tilde{\mathbf{u}}$ уравнения (X.192) таково, что $\tilde{\mathbf{u}}\left(t^{\prime}, s^{\prime}\right)=\tilde{\mathbf{u}}\left(t, s-\omega_{0} t\right)$ является $T$-периодической функцией $t$. В этом случае уравнение (X.191) будет разрешимо.

В самом деле, легко видеть, что $\tilde{\mathbf{u}}\left(t^{\prime}+T, s^{\prime}-\omega_{0} T\right)$ является решением уравнения (X.192) с той же самой функцией $\tilde{\mathrm{h}}$, потому что
\[
\mathbf{h}(t, s)=\mathbf{h}(t+T, s)=\tilde{\mathbf{h}}\left(t^{\prime}+T, s^{\prime}-\omega_{0} T\right)=\tilde{\mathbf{h}}\left(t^{\prime}, s^{\prime}\right),
\]

а оператор $\sqrt{ }$ имеет $T$-периодические коэффициенты. Кроме того, так как $\tilde{\mathbf{u}}\left(t^{\prime}+T, s^{\prime}-\omega_{0} T\right)$ является единственным решением уравнения (X.194), то
\[
\tilde{\mathbf{u}}\left(t^{\prime}+T, s^{\prime}-\omega_{0} T\right)=\tilde{\mathbf{u}}\left(t^{\prime}, s^{\prime}\right)
\]

и $\mathbf{u}\left(t, s-\omega_{0} t\right)$ принадлежит $\mathbb{P}_{T, 2 \pi}$.
Теперь ищем решение в форме
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{u}(t, s, \varepsilon)=\varepsilon \mathbf{u}_{1}(t, s)+\frac{\varepsilon^{2}}{2 !} \mathbf{u}_{2}(t, s)+\frac{\varepsilon^{8}}{3 !} \mathbf{u}_{3}(t, s)+\ldots, \\
\mu(\varepsilon)=\frac{\mu_{2}}{2 !} \varepsilon^{2}+\frac{\mu_{4}}{4 !} \varepsilon^{4}+\ldots, \\
\tilde{\omega}(\varepsilon)=\omega_{0}+\frac{\varepsilon^{2}}{2 !} \tilde{\omega}_{2}+\frac{\varepsilon^{4}}{4 !} \tilde{\omega}_{4}+\ldots,
\end{array}
\]

где $\mathbf{u}_{k} \in \mathbb{P}_{T, 2 \pi}, \mu$ и $\tilde{\omega}$ суть четные функции $\varepsilon$, а $\tilde{\omega}_{2} / 2=\Omega_{0}$ предполагается отличным от нуля для того, чтобы устранить субгармоническую бифуркацию, как в § X.13. Для упрощения записи мы предположили, что в разложениях $\mu(\varepsilon)$ и $\omega(\varepsilon)$ коэффициенты при нечетных степенях $\varepsilon$ равны нулю. Это утверждение доказывается легко. Чтобы решить уравнение (Х.1), положим $s=\tilde{\omega}(\varepsilon) t$ в $\mathbf{u}(t, s, \varepsilon)$ и получим функцию
\[
t \mapsto \mathbf{u}(t, \tilde{\omega}(\varepsilon) t, \varepsilon),
\]

представляющую собой решение уравнения (X.1) вида (X.186). Тогда приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях \& в уравнении
\[
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\tilde{\omega} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial s}=\mathbf{f}(t, \mu, \mathbf{u})
\]

приводит к уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}_{0} \mathbf{u}_{1}=0 \\
\mathscr{L}_{0} \mathbf{u}_{2}+\mathrm{f}_{u a}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right)=0 \\
\mathscr{L}_{0} \mathbf{u}_{3}-3 \tilde{\omega}_{2} \frac{\partial \mathbf{u}_{1}}{\partial s}+3 \mu_{2} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right)+3 \mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{2}\right)+\mathbf{f}_{u u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{1}\right) \\
\mathscr{L}_{0} \mathbf{u}_{4}-6 \tilde{\omega}_{2} \frac{\partial \mathbf{u}_{2}}{\partial s}+6 \mu_{2} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{2}\right)+4 \mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{3}\right)+3 \mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{2}\right| \mathbf{u}_{2}\right)+ \\
+6 \mathbf{f}_{u u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{2}\right)+6 \mu_{2} \mathbf{f}_{u u \mu}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right)=0
\end{array}
\]
\[
\mathscr{L}_{0} \mathbf{u}_{3}-3 \tilde{\omega}_{2} \frac{\partial \mathbf{u}_{1}}{\partial s}+3 \mu_{2} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right)+3 \mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{2}\right)+\mathbf{f}_{u u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{1}\right)=0,
\]

а для $p>4$
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}_{0} \mathbf{u}_{p}- & p \tilde{\omega}_{p-1} \frac{\partial \mathbf{u}_{1}}{\partial s}-\frac{p(p-1)}{2}\left[\tilde{\omega}_{2} \frac{\partial \mathbf{u}_{p-2}}{\partial s}+\tilde{\omega}_{p-2} \frac{\partial \mathbf{u}_{2}}{\partial s}\right]+ \\
& +p \mu_{p-1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right)+p \mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{p-1}\right)+ \\
& +\frac{p(p-1)}{2}\left[\mu_{2} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{p-2}\right)+\mathbf{f}_{u u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{p-2}\right)+\right. \\
& +\mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{2}\right| \mathbf{u}_{p-2}\right)+\mu_{p-2} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{2}\right)+ \\
& \left.+\mu_{p-2} \mathbf{f}_{u u \mu}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right)\right]+\mathrm{g}_{p}=0,
\end{aligned}
\]

где $\mathbf{g}_{p}$ зависит от членов более низкого порядка, чем $p-2$. Мы будем последовательно решать эту систему уравнений относительно $\tilde{\omega}_{p}, \mu_{p}, \mathbf{u}_{p} \in \mathbb{P}_{T, 2 \pi}$. Чтобы показать, как это делается, начнем с решения нескольких первых уравнений.

Условия совместности (X.193) уравнений (X.198-200) приводят к соотношениям
\[
\begin{array}{l}
{\left[\mathrm{f}_{t u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| \tilde{\mathbf{u}}_{1}\right), \mathbf{Z}^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T}=0 \text { (интегрирование по } t^{\prime} \text { ), (X.202) }} \\
3 \tilde{\omega}_{2}\left[\frac{\partial \tilde{u}_{1}}{\partial s^{\prime}}, \mathbf{Z}^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T}=3 \mu_{2}\left[\mathbf{f}_{u \mu}\left(t^{\prime} \mid \tilde{\mathbf{u}}_{1}\right), \mathbf{Z}^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T}+ \\
+\left[3 \mathfrak{f}_{u u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| \tilde{\mathbf{u}}_{2}\right)+\mathfrak{f}_{u t u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| \tilde{\mathbf{u}}_{1} \mid \tilde{\mathbf{u}}_{1}\right), \mathbf{Z}^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T}, \\
6 \tilde{\omega}_{2}\left[\frac{\partial \tilde{u}_{2}}{\partial s^{\prime}}, Z^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T}=6 \mu_{2}\left[\mathbf{f}_{\mu \mu}\left(t^{\prime} \mid \tilde{u}_{2}\right), Z^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T}+ \\
+\left[4 \mathbf{f}_{u u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| \tilde{\mathbf{u}}_{3}\right)+3 \mathbf{f}_{u u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{2}\right| \tilde{\mathbf{u}}_{2}\right)+6 \mathbf{f}_{u u u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| \tilde{\mathbf{u}}_{1} \mid \tilde{\mathbf{u}}_{2}\right), \mathrm{Z}^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T}+ \\
+6 \mu_{2}\left[\mathbf{f}_{i u \mu}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| \tilde{\mathbf{u}}_{1}\right), \mathbf{Z}^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T} . \\
\end{array}
\]

В этих уравнениях использовано обозначение
\[
\mathbf{u}(t, s)=\tilde{\mathbf{u}}\left(t^{\prime}, s^{\prime}\right),
\]

где $t=t^{\prime}, s=s^{\prime}+\omega_{0} t^{\prime}$ для любой функции и из $\mathbb{P}_{T, 2 \pi}$.
Представим $\mathbf{u}_{p} \in \mathbb{P}_{T, 2 \pi}$ в форме следующего разложения:
$\mathbf{u}(t, s, \varepsilon)=\varepsilon\left[e^{i s} \alpha\left(s-\omega_{0} t, \varepsilon\right) \xi(t)+e^{-i s} \bar{\alpha}\left(s-\omega_{0} t, \varepsilon\right) \bar{\zeta}(t)\right]+\varepsilon^{2} \mathbf{w}(t, s, \varepsilon)$, (X.205)

где $\alpha$-это $2 \pi / n$-периодическая функция по своему аргументу и где
\[
\left[\widehat{\mathbf{w}}\left(t^{\prime}, s^{\prime}, \varepsilon\right), \mathbf{Z}^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T}=0 \text { (интегрирование по } t^{\prime} \text { ). (X.206) }
\]

Отметим, что
\[
\begin{array}{r}
\overline{\mathbf{u}}\left(t^{\prime}, s^{\prime}, \varepsilon\right)=\varepsilon\left(e^{i s^{\prime}} \alpha\left(s^{\prime} \varepsilon\right) \mathbf{Z}\left(t^{\prime}\right)+e^{-i s^{\prime}} \bar{\alpha}\left(s^{\prime}, \varepsilon\right) \overline{\mathbf{Z}}\left(t^{\prime}\right)\right)+\varepsilon^{2} \tilde{\mathbf{w}}\left(t^{\prime}, \begin{array}{r}
\left.s^{\prime}, \varepsilon\right), \\
(\mathrm{X} .207)
\end{array}\right. \\
\tilde{\mathbf{u}}_{p}\left(t^{\prime}, s^{\prime}\right)=p\left[e^{i s^{\prime}} \alpha_{p-1}\left(s^{\prime}\right) \mathbf{Z}\left(t^{\prime}\right)+e^{-i s^{\prime}} \bar{\alpha}_{p-1}\left(s^{\prime}\right) \overline{\mathbf{Z}}\left(t^{\prime}\right)\right]+p(p-1) \tilde{\mathbf{w}}_{p-2}\left(t^{\prime}, s^{\prime}\right),
\end{array}
\]

где все $\alpha_{p}$ суть $2 \pi / n$-периодические функции по $s^{\prime}$.
Разложение будет единственным, если потребовать, чтобы
\[
\varepsilon=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left[\tilde{\mathbf{u}}\left(t^{\prime}, s^{\prime}, \varepsilon\right), \mathbf{Z}^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T} e^{-i s^{\prime}} d s^{\prime} .
\]

Это следует из вида ядра оператора $\mathscr{L}_{0}^{*}$. Отсюда получаем условие
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \alpha\left(s^{\prime}, \varepsilon\right) d s^{\prime}=1 .
\]

Поэтому
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \alpha_{0}\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}=1, \quad \int_{0}^{2 \pi} \alpha_{p}\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}=0, \quad p \geqslant 1 .
\]

Возвращаясь к системам (X.197-201) и (X.202-204), находим решение уравнения (X.197) в форме
\[
\tilde{\mathbf{u}}_{1}\left(t^{\prime}, s^{\prime}\right)=\alpha_{0}\left(s^{\prime}\right) e^{i s^{\prime}} \mathbf{Z}\left(t^{\prime}\right)+\overline{\alpha_{0}}\left(s^{\prime}\right) e^{-i s^{\prime}} \overline{\mathbf{Z}}\left(t^{\prime}\right),
\]

где среднее значение функции $\alpha_{0}$ равно 1 и она является $2 \pi / n$-периодической, а условие (X.202) автоматически выполняется, так как $n
eq 1,3$ (см. гл. IX). Поэтому альтернатива Фредгольма гарантирует существование решения $\mathbf{u}_{2} \in \mathbb{P}_{T}$, 2л уравнения (X.198) вплоть до членов, входящих в ядро оператора $\mathscr{L}_{0}$, т. е. функция $\mathrm{w}_{0}$ определяется. Мы нашли, что в $\mathbb{P}_{n}, 2 \pi$
\[
\begin{array}{r}
\sqrt{2} \tilde{\mathbf{w}}_{0}+\alpha_{0}^{2}\left(s^{\prime}\right) \exp \left(2 i\left(s^{\prime}+\omega_{0} t^{\prime}\right)\right) \mathbf{f}_{u a}\left(t^{\prime}\left|\zeta\left(t^{\prime}\right)\right| \zeta\left(t^{\prime}\right)\right)+ \\
+\bar{\alpha}_{0}^{2}\left(s^{\prime}\right) \exp \left(-2 i\left(s^{\prime}+\omega_{0} t^{\prime}\right)\right) \mathbf{f}_{u a}\left(t^{\prime}\left|\zeta\left(t^{\prime}\right)\right| \bar{\zeta}\left(t^{\prime}\right)\right)+ \\
+2\left|\alpha_{0}\left(s^{\prime}\right)\right|^{2} \mathbf{f}_{t u u}\left(t^{\prime}\left|\zeta\left(t^{\prime}\right)\right| \bar{\zeta}\left(t^{\prime}\right)\right)=0,
\end{array}
\]

поэтому
\[
\begin{aligned}
2 \tilde{\mathbf{w}}_{0}=\alpha_{0}^{2}\left(s^{\prime}\right) & \exp \left(2 i\left(s^{\prime}+\omega_{0} t^{\prime}\right)\right) \mathbf{w}_{01}+ \\
& +\widetilde{\alpha}_{0}^{2}\left(s^{\prime}\right) \exp \left(-2 i\left(s^{\prime}+\omega_{0} t^{\prime}\right)\right) \overline{\mathbf{w}}_{01}+\left|\alpha_{0}\left(s^{\prime}\right)\right|^{2} \mathbf{w}_{02},
\end{aligned}
\]

где $\mathbf{w}_{01}\left(t^{\prime}\right), \mathbf{w}_{02}\left(t^{\prime}\right)$ суть $T$-периодические функции,
\[
\begin{array}{c}
\sqrt{ }\left(\mathbf{w}_{01} e^{2 i \omega_{0} t^{\prime}}\right)+\mathbf{f}_{u u}\left(t^{\prime}|\zeta| \zeta\right) e^{2 i \omega_{0} t^{\prime}}=0, \\
\mathfrak{J}\left(\mathbf{w}_{02}\right)+2 \mathbf{f}_{u u}\left(t^{\prime}|\zeta| \bar{\zeta}\right)=0,
\end{array}
\]

при этом $\mathbf{w}_{01}$ и $\mathbf{w}_{02}$ в точности совпадают с $T$-периодическими функциями, которые фигурируют в (IX.79). Отметим, что $\mathbf{w}_{\theta} \in \mathbb{P}_{T}, 2 \pi$.

Теперь обратимся к условию (X.203). Для вычислений нам понадобятся следующие тождества:
\[
\begin{array}{l}
{\left[\mathbf{f}_{u u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| \tilde{\mathbf{u}}_{p}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=p(p-1)\left[\mathbf{f}_{u a}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}\right| \tilde{\mathbf{w}}_{p-2}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T} \cdot(\mathrm{X} .216)} \\
\end{array}
\]

Теперь (X.203) можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
3 \tilde{\omega}_{2}\left(\frac{d \alpha_{0}}{d s^{\prime}}+i \alpha_{0}\right)=3 \mu_{2} \sigma_{\mu}(0) & \alpha_{0}+e^{-t s^{\prime}}\left[3 \mathbf{f}_{u u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| 2 \tilde{\mathbf{w}}_{0}\right)+\right. \\
& \left.+\mathbf{f}_{u t u t}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| \tilde{\mathbf{u}}_{1} \mid \tilde{\mathbf{u}}_{1}\right), \mathbf{Z}^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T} .
\end{aligned}
\]

Имеют место также тождества:
\[
\begin{array}{l}
{\left[\mathbf{f}_{u u}\left(t^{\prime}|\beta \mathbf{Z}+\bar{\beta} \overline{\mathbf{Z}}| 2 \tilde{\mathbf{w}}_{0}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=\beta\left|\alpha_{0}\right|^{*}\left[\mathbf{f}_{u u}\left(t^{\prime}|\zeta| \tilde{\mathbf{w}}_{02}\right), \zeta^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{T}=} \\
=\bar{\beta} \alpha_{0}^{2} e^{2 i s^{\prime}}\left[\mathrm{f}_{u a}\left(t^{\prime}|\bar{\zeta}| \mathbf{w}_{01}\right), \xi^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{T} \text {, } \\
{\left[\mathbf{f}_{u u u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| \tilde{\mathbf{u}}_{1} \mid \beta \mathbf{Z}+\bar{\beta} \overline{\mathbf{Z}}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{T}=} \\
=\left(2 \beta\left|\alpha_{0}\right|^{2}+\bar{\beta} \alpha_{0}^{2} e^{2 i s^{\prime}}\right)\left[\mathrm{f}_{u u u}\left(t^{\prime}|\zeta| \zeta \mid \bar{\zeta}\right), \zeta^{*}\right]_{T}, \\
\end{array}
\]

и (X.217) приводит к соотношению
\[
\tilde{\omega}_{2}\left(\frac{d \alpha_{0}}{d s^{\prime}}+i \alpha_{0}\right)=\mu_{2} \sigma_{\mu}(0) \alpha_{0}+\Lambda_{2} \alpha_{0}\left|\alpha_{0}\right|^{2},
\]

где $\Lambda_{2}$ – величина, содержащая скалярные произведения в $\mathbb{P}_{T}$ и определенная формулой (IX.80). Единственным возможным периодическим решением уравнения ( $\mathrm{X} .220$ ) со средним значением 1 является
\[
\alpha_{0}=1
\]

и оно приводит к соотношению
\[
i \tilde{\omega}_{2}=\mu_{2} \sigma_{1}(0)+\Lambda_{2},
\]

которое в точности совпадает с условием (X.157) и определяет $\mu_{2}$ $u \tilde{\omega}_{2}$.
Упражнение
Х.3. Умножая (Х.220) на $\bar{\alpha}_{0}$ и складывая его с комплексно-сопряженным уравнением, докажите, что $\left|\alpha_{0}\right|^{2}=$ const. Затем проинтегрируйте (X.220) в пределах периода, чтобы найти соотношение между коэффициентами, необходимое для получения отличного от нуля периодического решения. После этого придиге к заключению, что $\alpha_{0}=1$ есть единственное решение со средним значением, равным единице.

Отметим, что если положить $\tilde{\omega}_{2}=0$, то уравнение (X.222), вообще говоря, неразрешимо. В (IX.101) это обстоятельство было использовано для того, чтобы показать, что бифуркация в субгармонические решения в рациональных точках ( $n \geqslant 5$ ) возможна лишь при исключительных обстоятельствах.
При выполнении условия (X.203) имеем
\[
\begin{array}{l}
\tilde{\mathbf{u}}_{\mathbf{1}}\left(t^{\prime}, s^{\prime}\right)=e^{i s^{\prime}} \mathbf{Z}\left(t^{\prime}\right)+e^{-i s^{\prime}} \overline{\mathbf{Z}}\left(t^{\prime}\right), \\
\tilde{\mathbf{u}}_{2}\left(t^{\prime}, s^{\prime}\right)=2\left[e^{i s^{\prime}} \alpha_{1}\left(s^{\prime}\right) \mathbf{Z}\left(t^{\prime}\right)+e^{-i s^{\prime}} \bar{\alpha}_{1}\left(s^{\prime}\right) \overline{\mathbf{Z}}\left(t^{\prime}\right)\right]+2 \tilde{\mathbf{w}}_{0}\left(t^{\prime}, s^{\prime}\right), \\
2 \tilde{\mathbf{w}}_{0}=\exp \left(2 i\left(s^{\prime}+\omega_{0} t^{\prime}\right)\right) \mathbf{w}_{01}\left(t^{\prime}\right)+ \\
+\exp \left(-2 i\left(s^{\prime}+\omega_{0} t^{\prime}\right)\right) \overrightarrow{\mathbf{w}}_{01}\left(t^{\prime}\right)+\mathbf{w}_{02}\left(t^{\prime}\right), \\
\end{array}
\]

где $\mu_{2}, \tilde{\omega}_{2}$ – известные постоянные, а $\mathbf{w}_{0 j}$ – известные $T$-периодические функции; $\alpha_{1}$ есть подлежащая определению $2 \pi / n$-периодическая функция, среднее значение которой равно нулю. Обращаясь к уравнению (X.199), получаем
\[
\sqrt{ } 6 \tilde{\mathbf{w}}_{1}+6 \mathbf{f}_{u a}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| e^{i s^{\prime}} \alpha_{1}\left(s^{\prime}\right) \mathbf{Z}\left(t^{\prime}\right)+e^{-i s^{\prime}} \bar{\alpha}_{1}\left(s^{\prime}\right) \overline{\mathbf{Z}}\left(t^{\prime}\right)\right)+\mathbf{R}=0,
\]

где
\[
\mathbf{R}=3 \mu_{2} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t^{\prime} \mid \tilde{\mathbf{u}}_{1}\right)+3 \tilde{\omega}_{2} \frac{\partial \tilde{\mathbf{u}}_{1}}{\partial s^{\prime}}+3 \mathbf{f}_{u u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| 2 \tilde{\mathbf{w}}_{0}\right)+\mathbf{f}_{u u u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| \tilde{\mathbf{u}}_{1} \mid \tilde{\mathbf{u}}_{1}\right) .
\]

Поэтому
\[
\begin{array}{l}
6 \tilde{\mathbf{w}}_{1}=6 \alpha_{1}\left(s^{\prime}\right) \exp \left(2 i\left(s^{\prime}+\omega_{0} t^{\prime}\right)\right) \mathbf{w}_{00}\left(t^{\prime}\right)+ \\
\quad+6 \bar{\alpha}_{1}\left(s^{\prime}\right) \exp \left(-2 i\left(s^{\prime}+\omega_{0} t^{\prime}\right)\right) \overline{\mathbf{w}}_{01}\left(t^{\prime}\right)+ \\
\quad+3\left[\alpha_{1}\left(s^{\prime}\right)+\bar{\alpha}_{1}\left(s^{\prime}\right)\right] \mathbf{w}_{02}\left(t^{\prime}\right)-J^{-1} \mathbf{R} .
\end{array}
\]

Теперь условие совместности (X.204) позволяет нам определить $\alpha_{1}\left(s^{\prime}\right)$. Для нахождения $\alpha_{1}$ используем тождества
\[
\begin{array}{l}
+12\left[\mathbf{f}_{u t}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{w}}_{0}\right| \tilde{\mathbf{w}}_{0}\right)+\mathrm{f}_{u t u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| \tilde{\mathbf{u}}_{1} \mid \tilde{\mathbf{w}}_{0}\right), \mathbf{Z}^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T} \text {. } \\
\end{array}
\]

Тогда условие (X.204) приводит к соотношению
\[
\tilde{\omega}_{\mathrm{i}}\left(\frac{d \alpha_{1}}{d s^{\prime}}+i \alpha_{1}\right)=\mu_{2} \sigma_{\mu}(0) \alpha_{1}+\Lambda_{2}\left(2 \alpha_{1}+\bar{\alpha}_{1}\right)+P\left(s^{\prime}\right),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
P\left(s^{\prime}\right)=e^{-i s^{\prime}}\left[\mathbf{f}_{n u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{w}}_{0}\right| \tilde{\mathbf{w}}_{0}\right)+\mathbf{f}_{a u a}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| \tilde{\mathbf{u}}_{1} \mid \tilde{\mathbf{w}}_{0}\right), Z^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T}- \\
-\frac{1}{3} e^{-i s^{\prime}}\left[\mathbf{f}_{u u}\left(t^{\prime}\left|\tilde{\mathbf{u}}_{1}\right| \mathbb{D}^{-1} \mathbf{R}\right), \mathbf{Z}^{*}\left(t^{\prime}\right)\right]_{n T} . \\
\end{array}
\]

Тщательное исследование функции $P\left(s^{\prime}\right)$ с использованием (Х. 223 225) показывает, что
\[
P\left(s^{\prime}\right)\left\{\begin{array}{ll}
=P_{5} e^{-5 i s^{\prime}}, & \text { если } n=5, \\
\equiv 0, & \text { если } n>5,
\end{array}\right.
\]
т. е. функция $P$ является $2 \pi / n$-периодической с нулевым средним значением. Теперь соотношение (X.222) позволяет упростить уравнение (X.228) и представить его в форме
\[
\tilde{\omega}_{2} \frac{d \alpha_{1}}{d s^{\prime}}=\Lambda_{2}\left(\alpha_{1}+\bar{\alpha}_{1}\right)+P\left(s^{\prime}\right) .
\]

Упражнения
X.4. Покажите, что уравнение (X.230) имеет единственное ( $2 \pi / n$ )-периодическое по $s^{\prime}$ решение с нулевым средним значением. (Указание: см. дополнение X.I. Выведите, что $\mathbf{u}_{2}$ и $\mathbf{w}_{1}$ поэтому полностью и единственным образом определяются и принадлежат $\mathbb{P}_{T \text {, 2л }}$. (Указание: см. (X.225).) Докажите, что на каждом шаге последовательного вычисления $\mathbf{u}_{p}, \mu_{p}$, $\tilde{\omega}_{p}$ необходимо решать некоторое дифференциальное уравнение вида ( $\mathrm{X} .230$ ) относисельно $\alpha_{p}, p \geqslant 1$, правая часть которого является $2 \pi / n$-периодической и имеет среднее значение, равное нулю.
Х.5. Пусть $r=\omega_{0} T /(2 \pi)=m / n$ – рациональное число. Покажите, что
\[
\left|\gamma_{p q l}(0)\right| \leqslant \frac{n T\left|b_{p q l}(0)\right|}{2 \pi} .
\]

Предположим теперь, что $r$-иррациональное число. Покажите, что не существует числа $C$, не зависящего от $p, q$ и $l, p
eq q+1$, такого, что
\[
\left|\gamma_{p q l}(0)\right| \leqslant C\left|b_{p q l}(0)\right| .
\]

Отсюда выведите заключение о том, что в иррациональном случае существуют большие коэффициенты $\left|\gamma_{p q l}(0)\right|$ (малые знаменатели).

Замечания

Установленные в настоящей главе результаты описывают динамику задач в $\mathbb{R} n$, и многие наблюдаемые особенности поведения континуума решений в бесконечномерных пространствах (пространствах Банаха), которые таковы, что на самом деле динамика происходит в двумерных пространствах, получаемых в результате проектирования. (Здесь, в сущности, мы имеем дело с трехмерным пространством, третьим измерением которого служит время $t$.) Такие задачи возникают, например, в динамике жидкости для малых систем, где понятие «малые» используется для разделения собственных значений спектра линейного оператора задачи. Обзор некоторых таких задач приведен в книге под редакцией Суинни и Голлуба (H. Swinney, J. Gollub, Hydrodynamic instabilities and the transition to turbulence, Topics in Current Physics, New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1980), посвященной механике жидкости. Вообще говоря, мы получаем последовательности бифуркаций в стационарные симметрично-распадающиеся решения, в периодические по времени решения и в субгармонические и асимптотические квазипериодические решения на торе. Синхронизация (захват) частоты также наблюдается в некоторых экспериментах, связанных с движениями жидкости, и в классических экспериментах с камертонами и электрическими контурами.
Мы признательны А. Ченсинеру за ценные обсуждения природы потока на $T^{2}$.
Историческое вначение. По-видимому, Ю. Неймарк впервые сформулировал теорему об инвариантных торах, которые ответвляются от периодического решения (или инвариантных циклах, которые ответвляется от неподвижных точек отображений, таких как отображение Пуанкаре). Он не привел доказательства своего результата и не указал ни одного результата о периодических решениях в точках сильного резонанса. Он исключил точки $n=1,2,3,4$ сильного резонанса $\left(\lambda_{0}^{n}=1\right.$ ), введя предположение о слабом притяжении нулевого решения в критической точке. P. Дж. Сейкер дал первое доказательство существования инвариантиых торов при условиях, исключающих точки сильного резонанса. Он также сделал некоторые частные замечания о том, что в таких резонансных точках могут появляться субгармонические решения. Результаты Сейкера вновь были получены Д. Рюэлем и $\Phi$. Такенсом, которые ошибочно включили $n=5$ в исключительное множество точек сильного резонанса. В статье Рюэля и Такенса наиболее четко высказана основная идея о том, что «турулентность» представляет собой свойство притягивающи множеств, которым могут обладать даже гипичные уравнения в $\mathbb{R}^{m}$ с небольшим $m$; в их работе $m=4$. Эта идея очень важна, потому что она означает, что даже после нескольких бифуркаций может иметь место хаотическое движение. Основные результагы о бифуркационных субгармонических решениях в точках сильного резонанса в формулировке гл. IX были доказаны Йоссом и Джозефом (1977), см. цитированную выше работу. Пуанкаре исследовал случай субгармонической бифуркации с $n=1$. Уэйн (Y. H. Wan) доказал, что тор ответвляется, когда $\lambda_{0}^{4}=1$ и отсутствует $4 T$-периодическая бифуркация. Оригинальный метод исследования всех резонансных случаев предложен В. И. Арнольдом. Арнольд вводит два параметра и развивает некоторые предположения, основанные на двухпараметрическом анализе, чтобы объяснить синхронизацию (захват) частоты.