Лучшего понимания эволюции линеаризованной задачи с начальным значением
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{f}_{a}(\mu \mid \mathbf{v}), \quad \mathbf{v}(0)=\mathbf{v}_{0}
\]

можно достичь на основе методов преобразования Лапласа. Сначала определим преобразование
\[
\mathbf{V}(\lambda)=\int_{0}^{\infty} \mathbf{v}(t) e^{-\lambda t} d t
\]

и формулу Меллина для обратного преобразования
\[
\mathbf{v}(t)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\hat{\xi}-i \infty}^{\hat{\xi}+i \infty} \mathbf{V}(\lambda) e^{\lambda t} d \lambda,
\]

где $\lambda=\hat{\xi}+\hat{i \eta}$. Теперь будем считать, что $\hat{\xi}$ достаточно велико, так что при $t \rightarrow \infty$
\[
\mathbf{v}(t) e^{-\xi t} \rightarrow 0,
\]

где $\mathbf{v}(t)$ удовлетворяет (VI.50). Покажем, что (VI.53) выполняется, если $\hat{\xi}>\xi_{1}(\mu)$, где $\xi_{1}(\mu)$ – наибольшая вещественная часть среди собственных значений $\mathrm{f}_{u}(\mu \mid \cdot)$.

Применяя преобразование Лапласа к (VI.50), находим, что
\[
\mathbf{v}_{0}=\lambda \mathbf{V}-\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{V}) .
\]

Спектр оператора $f_{n}(\mu \mid \cdot)$ теперь можно определить как множество значений $\lambda$, для которых (VI.54) нельзя разрешить относительно V. Все собственные значения принадлежат этому особому множеству.

Рис. VI.2. Полюсы резольвенты $\mathrm{R}(\lambda, \mu)$ на комплексной $\lambda$-плоскости являются собственными значениями $\sigma$ оператора $\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \cdot)$. Полюсы вместе с другими особыми точками $\mathrm{R}(\cdot \mid \mu)$ определяют полный спектр $\mathrm{f}_{u}(\mu \mid \cdot)$.

Говорят, что значения $\lambda$, которые не входят в спектр, принадлежат резольвентному множеству. Для этих значений (VI.54) можно обратить:
\[
\mathbf{V}(\lambda, \mu)=\mathbf{R}(\lambda, \mu) \cdot \mathbf{v}_{0},
\]

где $\mathbf{R}(\lambda, \mu)$-резольвентный оператор, представляющий собой обратный оператор по отношению к линейному оператору $\lambda \mathbf{I}-\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \cdot)$. Для широкого класса дифференциальных уравнений с частными производнымн $\mathbf{R}(\lambda, \mu)$ имеет форму интегрального оператора Грина.
Объединяя (VI.55) и (VI.52), находим, что
\[
\mathbf{v}(t, \mu)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\hat{\xi}-i \infty}^{\hat{\xi}+i \infty} e^{\lambda t} \mathbf{R}(\lambda, \mu) \cdot \mathbf{v}_{0} d \lambda .
\]

Выберем $\hat{\xi}$ столь большим, чтобы все особые точки $R(\cdot, \mu)$ находились слева от прямой $\hat{\xi}=$ const (см. рис. VI.2). Эти особые точки представляют собой не что иное, как спектр $\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \cdot)$; собственные значения $\sigma$ оператора $\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \cdot)$ являются полюсами $\mathbf{R}(\lambda, \mu)$. Простые собственные значения являются простыми полюсами $\mathbf{R}(\lambda, \mu)$.

Поучительно рассмотреть случай, когда одна_комплексно-сопряженная пара простых собственных значений $\sigma_{1}$ и $\bar{\sigma}_{1}$ имеет вещественные части болльшие, чем вещественные части любых других собственных значений в спектре $\mathrm{f}_{z}(\mu \mid \cdot)$.

Нетрудно показать, что
\[
\left\langle\mathbf{v}(t), \zeta_{1}^{*}\right\rangle=\left\langle\mathbf{v}_{0}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle e^{\sigma_{1} t} .
\]

Для доказательства сначала спроектируем (VI.52) на бі и найдем, что
\[
\left\langle\mathbf{v}(t), \zeta_{1}^{*}\right\rangle=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\hat{\xi}-i \infty}^{\hat{\xi}+i \infty}\left\langle\mathbf{V}(\lambda, \mu), \zeta_{1}^{*}\right\rangle e^{\lambda t} d \lambda .
\]

Затем, проектируя (VI.54), получаем
\[
\begin{aligned}
\left\langle\mathbf{v}_{0}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle & =\lambda\left\langle\mathbf{V}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle-\left\langle\mathbf{f}_{a}(\mu \mid \mathbf{V}), \zeta_{1}^{*}\right\rangle= \\
& =\lambda\left\langle\mathbf{V}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle-\left\langle\mathbf{V}, \mathbf{f}_{u}^{*}\left(\mu \mid \zeta_{1}^{*}\right)\right\rangle= \\
& =\left(\lambda-\sigma_{1}\right)\left\langle\mathbf{V}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle .
\end{aligned}
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
\left\langle\mathbf{v}(t), \zeta_{1}^{*}\right\rangle & =\frac{\left\langle\mathbf{v}_{0}, \xi_{1}^{*}\right\rangle}{2 \pi i} \int_{\hat{\xi}-i \infty}^{\hat{\xi}+i \infty} \frac{e^{\lambda t}}{\lambda-\sigma_{1}} d \lambda= \\
& =\left\langle\mathbf{v}_{0}, \xi_{1}^{*}\right\rangle e^{\sigma_{1} t} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, метод вычетов (VI.56), использованный в настоящем случае (и подавляющий зависимость $\mathbf{v}$ от $\mu$ ), приводит нас к интегральному представлению вычета
\[
\mathbf{v}(t)-\left\langle\mathbf{v}_{0}, \quad \zeta_{1}^{*}\right\rangle e^{\sigma_{1} t} \zeta_{1}-\left\langle\mathbf{v}_{0}, \bar{\zeta}_{1}^{*}\right\rangle e^{\vec{\sigma}_{1}} \bar{\zeta}_{1}=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\hat{\xi}-i \infty}^{\hat{\xi}+i \infty} e^{\lambda t} \mathbf{V}(\lambda) d \lambda,
\]

где $\hat{\xi}_{1}<\operatorname{Re} \sigma_{1}<\hat{\xi}$ (см. рис. VI.2) и интеграл в правой части (VI.57) ортогонален $\zeta_{1}^{*}$ и $\bar{\zeta}_{1}^{*}$. Если $t$ велико, то (VI.57) показывает, что
\[
\mathbf{v}(t) \sim e^{\xi_{1} t}\left(e^{i \eta_{1} t}\left\langle\mathbf{v}_{0}, \zeta_{1}^{*}\right\rangle \zeta_{1}+e^{-i \eta_{1} t}\left\langle\mathbf{v}_{0}, \bar{\zeta}_{1}^{*}\right\rangle \bar{\zeta}_{1}^{*}\right) .
\]

Более обще, если собственное значение $\sigma_{i}$ кратное, то $\bar{\sigma}_{1}$-также кратное собственное значение, так как оператор $\mathrm{f}_{u}(\mu / \cdot)$ – вещественный, и метод вычетов можно применить для вывода нового представления (VI.56):
\[
\mathbf{v}(t)=e^{\sigma_{1}} \mathbf{P}(t)+e^{\bar{\sigma}_{1} t} \overline{\mathbf{P}}(t)+\frac{1}{2 \pi i} \int_{\hat{\xi}_{1}-i \infty}^{\hat{\xi}_{1}+i \infty} e^{\lambda t} \mathbf{R}(\lambda, \mu) \cdot \mathbf{v}_{0} d \lambda,
\]

где $\mathbf{R}(\lambda, \mu)=\left(\lambda \mathbf{I}-\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \cdot)\right)^{-1}$, а $\mathbf{P}(t)$ – полином относительно $t$ степени $v-1$ с коэффициентами, зависящими от $v_{0}$, при этом $v$-индекс Риса собственного значения $\sigma_{1}$.

Для интеграла в (VI.58) можно получить оценку следующего типа:
\[
\left\|\mathbf{v}(t)-2 \operatorname{Re}\left(e^{\sigma_{1} t} \mathbf{P}(t)\right)\right\| \leqslant k e^{\xi_{1} t}\left\|\mathbf{v}_{0}\right\| .
\]

Поскольку $\xi_{1}=\operatorname{Re} \sigma_{1}>\hat{\xi_{1}}$, то первые два члена в правой части (VI.58) доминируют в определении характера поведения $\mathbf{v}(t)$ при $t \rightarrow \infty$.

В заключение этого раздела заметим, что формула (VI.56) представляет собой обобщение матричной экспоненты. Если $H=\mathbb{R}^{n}$, то
\[
\mathbf{v}(t, \mu)=e^{\mathbf{A}(\mu) t} \cdot \mathbf{v}_{0},
\]

где экспонента определена для $t \geqslant 0$ и $t<0$. В более общих случаях, например в эволюционных задачах, для которых $H
eq \mathbb{R}^{n}$, можно определить (VI.56) только для $t>0$, потому что вместо свойства группы
\[
e^{\mathbf{A}\left(t_{1}+t_{2}\right)}=e^{\mathbf{A} t_{1}} e^{\mathbf{A} t_{2}},
\]

где $-\infty<t_{j}<\infty, j=1,2$, мы имеем свойство полугруппы, так как требуем, чтобы $t_{1}$ и $t_{2} \geqslant 0$.