Итак, советский читатель получил умную и полезную книгу. Имена ее авторов хорошо известны специалистам, занимающимся теорией гидродинамической устойчивости. Работы Ж. Йосса и Д. Джозефа регулярно публикуются, начиная с середины шестидесятых годов. Особую популярность у советских читателей приобрела монография Д. Джозефа «Устойчивость движений жидкости», изданная в 1981 году на русском языке издательством «Мир».

Исследования Джозефа и Йосса привлекательны тем, что в них сочетаются тонкие общетеоретические построения, имеющие самостоятельный математический интерес, с вопросами прикладного характера. Функциональный анализ, топологию и другие области математики они используют ровно настолько, насколько это необходимо для того, чтобы выяснить особенности физических процессов, которые их интересуют.

Новая книга Ж. Йосса и Д. Джсзефа, которую они назвали элементарной, посвящена математической теории бифуркаций и предназначена прежде всего для учебных целей. Она является действительно прекрасным введением в изучение того инструментария, который сейчас бурно развивается в связи с особым прикладным значением, приобретаемым теорией особенностей дифференцируемых отображений.

Рождение теории бифуркаций следует отнести ко второй половине XVIII века, когда Эйлером была решена его знаменитая задача об устойчивости колонны, подверженной действию вертикальной нагрузки, которая приложена к ее верхнему торцу. В XIX веке было понято, что изучение ветвлений возможных форм стационарных (или периодических) решений при изменении параметров, характеризующих внешние воздействия, является ключом к пониманию ряда важнейших физических явлений. Возникновение волн на поверхности воды, ячеистой структуры конвекции, крупномасштабных вихрей в атмосфере и многих других природных явлений имеет одну и ту же причину, а именно смену характера устойчивости установившихся режимов при переходе некоторых параметров через их критические (бифуркационные) значения.

Пониманию подобных фактов и их роли в естествознании мы обязаны прежде всего А. Пуанкаре. Его исследования по теории ветвлений привели к оформлению теории особенностей в самостоятельную дисциплину. Работы Ляпунова и Шмидта, с именами которых связан известный метод Ляпунова – Шмидта, существенно раскрыли возможности эффективного анализа широкого класса операторных уравнений. В последние два десятилетия исследования особенностей и характера ветвлений решений операторных уравнений резко интенсифицировались. Тому было много причин.

Во-первых, определенные импульсы появились в самой математике – их породил английский геометр X. Уитни. Изучая некоторые относительно простые классы отображений, он установил, что число возможных типов особенностей невелико. Этот факт привлек внимание математиков. Несмотря на то, что многие надежды, которые были связаны с идеями Уитни, оказались иллюзорными, возникла и продолжает бурно развиваться обширная математическая дисциплина. В ней появились не только своеобразные методы, но и язык, доступный сегодня лишь относительно узкому кругу математиков.

Справедливости ради следует сказать, что эти исследования пока еще существенно не повлияли на тот инструментарий, который используют специалисты, занятые изучением содержательных свойств тех или иных моделей. Это происходит не от консерватизма физиков или математиков. Точно также мне не хотелось бы винить развивающуюся теорию и ее пока малодоступный язык. Причины здесь состоят в том, что «интенсивность эффектов» часто оказывается сравнимой с «степенью адекватности» модели. Поясним это утверждение одним примером.

Предположим, что мы изучаем резонансные явления в гамильтоновых системах. Пользуясь теоғ ией этих сүстем, мы обычно довольно легко находим главный $\mathrm{f}$ езонанс, его пеғ вые гармоники. И наблюдаемое в природе соответствует тому, что мы получили на основании теоретического анализа. Но более тонкие эффекты, связанные с резонансами высших порядков, с помощью эксперимента мы часто не можем обнаружить. Явление оказывается смазанным присутствующей диссипацией или действием случайных возмущений, которые нельзя исключить в принципе. С подобным же явлением мы сталкиваемся тогда, когда начинаем использовать численные методы. Тот «шум», который вносит электронная машина, нельзя компенсировать совершенствованием резонансных аппроксимаций. Здесь потребуются другие подходы.

Вот почему в прикладных исследованиях мы пока используем главным образом методы типа Ляпунова-Шмидта, и их дальнейшее развитие остается очень важным. И как показывает предлагаемая книга, возможности этого развитня далеко не исчерпаны.

Вторая причина всплеска интереса к теории бифуркаций связана с резким расширением фронта исследований различных стационарных (но не равновесных в термодинамическом смысле) структур. Появление работ И. Пригожина по теории диссипативных структур в химической кинетике и неравновесной термодинамике, работ $M$. Эйгена, изучавшего эволюцию биологических макромолекул, и целого ряда других исследований в этих областях показало глубокую связь между появлением диссипативных структур и теорией ветвления решений соответствующих операторных уравнений.

Сегодня стала понятной та роль, которую играют механизмы ветвления в эволюционном процессе. Механизмы эволюции, основанные на внутривидовом отборе, хорошо изучены не только биологическими методами, но также и с помощью анализа соответствующих математических моделей. Но наряду с этими механизмами можно говорить и о механизмах «бифуркационной» природы.

Предположим, что мы наблюдаем развитие некоторого процесса вследствие медленного изменения параметра $\lambda$, и пусть $x(\lambda)$ характеризует его стационарное состояние. В плоскости $(x, \lambda)$ это некоторая кривая. Однако наблюдения нам позволяют зарегистрировать не кривую $x=x(\lambda)$, а некоторую узкую полоску вокруг нее. Вследствие неизбежной стохастичности природы система всегда будет находиться в окрестности стационарного состояния. Это состояние мы обязаны считать устойчивым, так как наблюдать мы можем только его. Механизмы, являющиеся следствием законов физики и химии, а также дарвиновского естественного отбора ${ }^{1}$ ), все время стремятся вернуть систему в исходное стационарное состояние, которое само изменяется вследствие изменения параметра $\lambda$. В этом состоит естественный процесс адаптации и развития, который на языке стационарных состояний описывает обычный эволюционный процесс.

Предположим теперь, что при некотором значении параметра $\lambda=$ $=\lambda^{*}$ имеет место потеря единственности продолжения по параметру, т. е. бифуркация, и процесс $x(\lambda)$ разветвляется на процессы $x_{i}(\lambda)$ ( $i=$ $=1,2, \ldots$ ). Заметим, что это ветвление является свойством тех уравнений, которые описывают процесс, т. е. физических законов сохранения, минимума диссипации и т. д., на основе которых эти уравнения составлены.

Қакова дальнейшая судьба изучаемого эволюционного процесса? Этого мы сказать не можем, не можем в принципе! В самом деле, вследствие стохастичности мы не можем ничего сказать о том, в окрестности какого из стационарных состояний $x_{i}(\lambda)$ окажется наша система. Множество возможных путей развития предопределено законами физики, но какой конкретный путь окажется реализованным, мы заранее предвидеть не можем. Отсюда следует принципиальная непредсказуемость и необратимость эволюционного процесса. Заметим, что все дискуссии о конвергенции и дивергенции в эволюционном процессе, которые ведутся уже целое столетие, будут сняты, если мы примем во вннмание существование бифуркаций и стохастичности. Непрерывная дивергенция, непрерывный рост разнообразия – это, по-видимому, общий закон любого эволюционного процесса.

Значение теории ветвлений для изучения эволюционного процесса демонстрирует возможность новых интерпретаций его малопонятных и важных особенностей. Законы физики определяют ограничения –
1) Быть может, будущие исследования покажут, что механизм естественного отбора является следствием физико-химических законов. Кто знает?

это берега каналов возможного развития. Вдоль них происходит медленная эволюция дарвиновского типа. Пересечения каналов – это точки бифуркации. В их окрестности происходят непредсказуемые быстрые изменения.

Не поможет ли подобная интерпретация объяснить практическое отсутствие переходных форм в палеонтологическом материале? У биологов бытует фраза «первая птица вылетела из яйца ящера». А может быть, во всем виноват не ящер, а очередная бифуркация, т. е. законы физики?

Очень близка по смыслу к проблемам эволюции проблема турбулентности. Я обращал на это внимание еще около двадцати лет тому назад. Предположим, что речь идет об исследовании устойчивости ламинарного течения. Его традиционная схема такова. Уравнения гидродинамики линеаризуются в окрестности изучаемого течения, и решения полученной системы линейных уравнений разыскиваются в виде
\[
v=v^{*} e^{\mu t} .
\]

Для функции $v^{*}$ возникает некоторая задача на собственные значения, а основной параметр, от которого зависит решение – это число Рейнольдса $\lambda$. Задача состоит в нахождении такого $\lambda=\lambda^{*}$, при котором действительная часть собственного числа $\mu(\lambda)$ обратится в нуль. Решение этой задачи на собственные значения проводится обычно численно с использованием той или другой конечномерной аппроксимации.

Но можно подойти к задаче и по другому. Можно сразу заменить исходные уравнения некоторой системой обыкновенных дифференциальных уравнений (используя метод прямых, метод Галеркина и т. д.). В результате получится система уравнений вида
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{X}(\mathbf{x}, \lambda),
\]

где $\mathbf{x}$ – некоторый многомерный вектор. Исследуемое ламинарное течение в этом случае будет аппроксимировано решением уравнения $\mathbf{X}(\mathbf{x}, \lambda)=0$. Бифуркация может быть найдена из условий
\[
\left|\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \mathbf{x}}\right|=0, \quad \mathbf{X}(\mathbf{x}, \lambda)=0 .
\]

Дальнейшая схема вычислений также опирается на теорию возмущений.

Так вот, можно показать, что при надлежащем выборе аппроксимирующих схем оба способа отыскания критических значений числа Рейнольдса эквивалентны. Другими словами, переход из ламинарного состояния в турбулентное – это переход системы через точку бифуркации. Поэтому турбулентное течение мы можем рассматривать как постбифуркационное состояние системы. Остановимся на этом несколько подробнее.

Рассмотрим снова некоторое устойчивое стационарное состояние $\mathbf{x}(\lambda)$ и поставим эксперимент при некотором фиксированном значении параметра $\lambda=\lambda^{*}$. Благодаря стохастичности реального процесса, каждому опыту будет отвечать своя точка $\mathbf{x}\left(\lambda^{*}\right)$. Значит, в гиперплоскости $\lambda=\lambda^{*}$ в пространстве $(\mathbf{x}, \lambda)$ результаты измерений нам дадут некоторое множество. Меняя параметр $\lambda$ и отмечая каждый раз результаты измерений, мы получим некоторую узкую размытую трубку.

Предположим теперь, что в точке $\mathbf{x}=\mathbf{x}$ * происходит ветвление, причем возникает много близких решений, не разделенных между собой большими потенциальными барьерами. Тогда под действием случайных возмущений состояние системы все время будет переходить из одной области притяжения в другую. В результате наблюдается целая область, занятая траекторией системы. Этот качественно новый тип движения естественно назвать турбулентным. Те численные эксперименты, которые я проводил в начале шестидесятых годов (см. Н. Н. Моисеев. Математика ставит эксперимент.-М.: Наука, 1978 г.) показывают, что в гидродинамике ситуация очень походит на только что описанную.

Сказанного, наверное, достаточно, чтобы объяснить тот огромный интерес к изучению особенностей отображений, который сейчас возник во всем мире не только у математиков, но и у широкого круга специалистов, занимающихся содержательным анализом конкретных явлений – механиков, физиков, бкологов.

Приведенные примеры имеют своей целью показать читателю значение анализа не только точек бифуркации, но и необходимость создания эффективных методов постбифуркационного анализа. Важнейшим инструментом исследования зависимости структурных решений от параметра являются методы продолжения по параметру, которые опираются на численные методы решения задачи Коши. Однако эти методы перестают действовать в окрестностях точки бифуркации, поскольку в этой точке происходит нарушение единственности. Значит, постбифуркационный анализ нужно начинать с создания численного метода, позволяющего найти все действительные решения, выходящие из точки бифуркации. Но именно здесь нас подстерегает главная трудность.

Более трехсот лет тому назад Ньютон разработал метод, получивший впоследствии название «диаграммы Ньютона», который позволяет найти все решения уравнения
\[
\mathbf{X}(\mathbf{x}, \lambda)=0
\]

при условии, что $\mathbf{X}(0,0)=0$, а сама функция – аналитическая функция своих переменных. Метод диаграммы Ньютона и в настоящее время является единственным способом, позволяющим построить эффективные численные методы определения всех решений этой задачи. Численные реализации метода Ньютона хорошо отработаны лишь для скалярного случая, когда переменные $x$ и $\lambda$ – скаляры. Случай, когда размерность переменной $\mathbf{x}$ велика, приводит уже к огромным вычислительным трудностям. Если же и размерность переменной $\lambda$ больше 1 , то способы численной реализации идей Ньютона не известны. Таким образом, разработка численных методов постбифуркационного анализа – это сейчас одна из важнейших задач вычислительной математики, от решения которой будет зависеть судьба многочисленных прикладных исследований.

Предлагая советскому читателю книгу Ж. Йосса и Д. Джозефа, я хотел бы еще раз повторить мысль, высказанную вначале: эта книга служит превосходным введением в теорию, являющуюся ключом к пониманию сложнейших явлений современного естествознания.
H. H. Moucees