В одномерных задачах -скаляр, , а скалярная функция от . Например, в грубом приближении экологической логистической задачи может означать плотность комаров в Миннесоте, а -имеющийся в наличии запас пищи. Скорость возрастания плотности комаров дается нелинейной функцией . Популяция комаров возрастает, если , убывает, если , и находится в равновесии, если . Для равновесного распределения запас пищи и плотность популяции связаны соотношением . Может существовать много равновесных распределений; например,
может иметь равновесных распределений, каждое из которых соответствует равенству нулю одного из множителей: .
1) Здесь предполагается, что зависит от текущего значения функции и не зависит от ее предыстории. Относительно более общих случаев см. замечания к гл. I.
Определение равновесных распределений ничего не говорит нам о том, какой плотности комаров следует ожидать при имеющемся количестве доступной для них пищи (человеческой крови), потому что некоторые равновесные распределения неустойчивы и будут нарушены при действии возмущений. Поэтому необходимо найти не только равновесные распределения, но и исследовать их устойчивость.
В двумерных задачах -это двумерный вектор с компонентами , а — вектор-функция, компоненты которой суть нелинейные функции компонент . Такие же самые обозначения приняты для -мерных задач при ; в этом случае векторы имеют компонент.
Мы будем употреблять обычные математические обозначения и определим
-мерное пространство).
Скаляры принимают значения в , а -мерные векторы-значения в . Обычно для упрощают обозначение и не указывают верхний индекс: .
B математике также принято говорить о бесконечномерных задачах, однако, вообще говоря, это означает нечто большее и нечто иное, чем . В бесконечномерной задаче мы считаем, что -это поле в -мерной (обычно размерности ) области пространства и что — оператор с операциями над пространственными переменными , который отображает векторные поля в в векторные поля в . Этому описанию соответствуют уравнения с частными производными и интегральные уравнения. Для уравнений с частными производными необходимо добавить к (I.1) граничные условия. Например, в задачах реакции и диффузии, включающих полей (для видов) в температурном поле , определенных в области трехмерного физического пространства, эволюция -мерного векторного поля описывается уравнением
где
-матрица коэффициентов диффузии;
-заданная функция от и .
1) Здесь мы пользуемся соглашением о повторяющихся индексах. По повторяющемуся индексу производится суммирование на всем диапазоне его изменения: .
На границе области с внешней нормалью заданы некоторые линейные комбинации нормальных производных и значений компонент U:
где и -квадратные матрицы, а заданы. Эта задача бесконечномерна, потому что определена для каждого из бесконечно большого числа значений х из .
Другим примером служат уравнения Навье-Стокса для однородной несжимаемой жидкости. Здесь (I.1) можно взять в форме уравнения для вихря , где -скорость, -кинематическая вязкость и
где -заданный вынуждающий член. Решения (V, ) (I.7) вместе с налагаемыми на граничными условиями, скажем
определяют в .
Здесь уместно отметить, что во многих случаях задачи высокой размерности можно свести к одно- или двумерным задачам (см., например, гл. VI и VIII).