В одномерных задачах $U(t)$-скаляр, $-\infty<U<\infty$, а $F(t, \mu, U)$ скалярная функция от $(t, \mu, U)$. Например, в грубом приближении экологической логистической задачи $U$ может означать плотность комаров в Миннесоте, а $\mu$-имеющийся в наличии запас пищи. Скорость возрастания плотности комаров дается нелинейной функцией $F(\mu, U)$. Популяция комаров возрастает, если $F>0$, убывает, если $F<0$, и находится в равновесии, если $F(\mu, U)=0$. Для равновесного распределения запас пищи $\mu$ и плотность популяции $U$ связаны соотношением $F=0$. Может существовать много равновесных распределений; например,
\[
F(\mu, U)=\left(a_{1}(\mu)-U\right)\left(a_{2}(\mu)-U\right) \ldots\left(a_{n}(\mu)-U\right)
\]
может иметь $n$ равновесных распределений, каждое из которых соответствует равенству нулю одного из множителей: $a_{t}(\mu)=U$.
1) Здесь предполагается, что $\mathbf{F}$ зависит от текущего значения функции $\mathbf{U}(t)$ и не зависит от ее предыстории. Относительно более общих случаев см. замечания к гл. I.
Определение равновесных распределений ничего не говорит нам о том, какой плотности комаров следует ожидать при имеющемся количестве доступной для них пищи (человеческой крови), потому что некоторые равновесные распределения неустойчивы и будут нарушены при действии возмущений. Поэтому необходимо найти не только равновесные распределения, но и исследовать их устойчивость.
В двумерных задачах $\mathbf{U}(t)$-это двумерный вектор с компонентами $\left(U_{1}(t), U_{2}(t)\right)$, а $\mathbf{F}(t, \mu, \mathbf{U})$ – вектор-функция, компоненты которой $\left[F_{1}\left(t, \mu, U_{1}, U_{2}\right), F_{2}\left(t, \mu, U_{1}, U_{2}\right)\right]$ суть нелинейные функции компонент $\mathbf{U}$. Такие же самые обозначения приняты для $n$-мерных задач при $n>2$; в этом случае векторы имеют $n$ компонент.
Мы будем употреблять обычные математические обозначения и определим
\[
\left(\mathbb{R}^{\mathbf{1}}, \mathbb{R}^{\mathbf{2}}, \mathbb{R}^{n}\right)=\text { (вещественная прямая, плоскость, }
\]
$n$-мерное пространство).
Скаляры принимают значения в $\mathbb{R}^{1}$, а $n$-мерные векторы-значения в $\mathbb{R}^{n}$. Обычно для $\mathbb{R}^{1}$ упрощают обозначение и не указывают верхний индекс: $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}=\mathbb{R}$.
B математике также принято говорить о бесконечномерных задачах, однако, вообще говоря, это означает нечто большее и нечто иное, чем $n \rightarrow \infty$. В бесконечномерной задаче мы считаем, что $\mathbf{U}=\mathbf{U}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)$-это поле в $n$-мерной (обычно размерности $\leqslant 3$ ) области $\mathscr{V}$ пространства $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ и что $\mathbf{F}(t, \mu, \mathbf{U})$ – оператор с операциями над пространственными переменными $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, который отображает векторные поля в $\mathscr{V}$ в векторные поля в $\mathscr{V}$. Этому описанию соответствуют уравнения с частными производными и интегральные уравнения. Для уравнений с частными производными необходимо добавить к (I.1) граничные условия. Например, в задачах реакции и диффузии, включающих $n$ полей (для $n$ видов) $C_{i}(\mathbf{x}, t)$ в температурном поле $T(\mathbf{x}, t)$, определенных в области $\mathscr{V}$ трехмерного физического пространства, эволюция $(n+1)$-мерного векторного поля $\mathbf{U}(\mathbf{x}, t)=\left(C_{1}(\mathbf{x}, t), C_{2}(\mathbf{x}, t), \ldots, C_{n}(\mathbf{x}, t), T(\mathbf{x}, t)\right)=$ $=\left(U_{1}(\mathbf{x}, t), U_{2}(\mathbf{x}, t), \ldots, U_{n+1}(\mathbf{x}, t)\right)$ описывается уравнением
\[
\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t}=\mathbf{F}(t, \mu, \mathbf{U}), \text { т. е. } \frac{\partial U_{\alpha}}{\partial t}=F_{\alpha}(t, \mu, \mathbf{U}), \alpha=1,2, \ldots, n+1,
\]
где
\[
F_{\alpha_{\mathbf{i}}}(t, \mu, \mathbf{U})=
abla \cdot\left(D_{\alpha \beta}
abla\right) U_{\beta}+g_{\alpha}(\mu, \mathbf{U})+h_{\alpha}(\mathbf{x}, t, \mu) ;
\]
$\left(D_{\alpha \beta}\right)=(n+1) \times(n+1)$-матрица коэффициентов диффузии;
\[
g_{\alpha}(\mu, \mathbf{U}) \text { – нелинейная функция от } \mu \text { и } \mathbf{U}, g_{\alpha}(\mu, 0)=0 \text {; }
\]
$h_{\alpha}(\mathrm{x}, t, \mu)$-заданная функция от $\mu$ и $t$.
1) Здесь мы пользуемся соглашением о повторяющихся индексах. По повторяющемуся индексу производится суммирование на всем диапазоне его изменения: $D_{\alpha \beta} u_{\beta}=D_{\alpha_{1}} u_{1}+D_{\alpha_{2}} u_{2}+D_{\alpha 3} u_{3}$.
На границе $\partial \mathscr{V}$ области $\mathscr{V}$ с внешней нормалью $\mathbf{n}$ заданы некоторые линейные комбинации нормальных производных и значений компонент U:
\[
(\mathbf{n} \cdot
abla) M_{\alpha \beta}(\mathbf{x}, t, \mu) U_{\beta}+N_{\alpha \beta}(\mathbf{x}, t, \mu) U_{\beta}=P_{\alpha}(\mathbf{x}, t, \mu),
\]
где $M_{\alpha \beta}$ и $N_{\alpha \beta}$-квадратные матрицы, а $P_{\alpha}(x, t, \mu)$ заданы. Эта задача бесконечномерна, потому что определена для каждого из бесконечно большого числа значений х из $\mathscr{V}$.
Другим примером служат уравнения Навье-Стокса для однородной несжимаемой жидкости. Здесь (I.1) можно взять в форме уравнения для вихря $\boldsymbol{\omega}=\operatorname{rot} \mathbf{V}$, где $\mathbf{V}(\mathbf{x}, t)$-скорость, $v$-кинематическая вязкость и
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \omega}{\partial t}=v
abla^{2} \omega+(\omega \cdot
abla) \mathbf{V}-(\mathbf{V} \cdot
abla) \omega+p(\mathbf{x}, t, \mu), \\
\omega=\operatorname{rot} \mathbf{V}, \quad \operatorname{div} \mathbf{V}=0,
\end{array}
\]
где $\mathbf{p}(\mathbf{x}, t, \mu)$-заданный вынуждающий член. Решения (V, $\boldsymbol{\omega}$ ) (I.7) вместе с налагаемыми на $\mathbf{V}$ граничными условиями, скажем
\[
\mathbf{V}(\mathbf{x}, t)=\psi(\mathbf{x}, t, \mu) \text { для } \mathbf{x} \in \partial \mathscr{V},
\]
определяют $\mathbf{V}(\mathbf{x}, t)$ в $\mathscr{V}$.
Здесь уместно отметить, что во многих случаях задачи высокой размерности можно свести к одно- или двумерным задачам (см., например, гл. VI и VIII).
