Главная > ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИОСТИ И БИФУРКАЦИЙ (Ж.Йосс, Д. Джозеф)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В одномерных задачах U(t)-скаляр, <U<, а F(t,μ,U) скалярная функция от (t,μ,U). Например, в грубом приближении экологической логистической задачи U может означать плотность комаров в Миннесоте, а μ-имеющийся в наличии запас пищи. Скорость возрастания плотности комаров дается нелинейной функцией F(μ,U). Популяция комаров возрастает, если F>0, убывает, если F<0, и находится в равновесии, если F(μ,U)=0. Для равновесного распределения запас пищи μ и плотность популяции U связаны соотношением F=0. Может существовать много равновесных распределений; например,
F(μ,U)=(a1(μ)U)(a2(μ)U)(an(μ)U)

может иметь n равновесных распределений, каждое из которых соответствует равенству нулю одного из множителей: at(μ)=U.
1) Здесь предполагается, что F зависит от текущего значения функции U(t) и не зависит от ее предыстории. Относительно более общих случаев см. замечания к гл. I.

Определение равновесных распределений ничего не говорит нам о том, какой плотности комаров следует ожидать при имеющемся количестве доступной для них пищи (человеческой крови), потому что некоторые равновесные распределения неустойчивы и будут нарушены при действии возмущений. Поэтому необходимо найти не только равновесные распределения, но и исследовать их устойчивость.

В двумерных задачах U(t)-это двумерный вектор с компонентами (U1(t),U2(t)), а F(t,μ,U) — вектор-функция, компоненты которой [F1(t,μ,U1,U2),F2(t,μ,U1,U2)] суть нелинейные функции компонент U. Такие же самые обозначения приняты для n-мерных задач при n>2; в этом случае векторы имеют n компонент.

Мы будем употреблять обычные математические обозначения и определим
(R1,R2,Rn)= (вещественная прямая, плоскость, 
n-мерное пространство).
Скаляры принимают значения в R1, а n-мерные векторы-значения в Rn. Обычно для R1 упрощают обозначение и не указывают верхний индекс: R1=R.

B математике также принято говорить о бесконечномерных задачах, однако, вообще говоря, это означает нечто большее и нечто иное, чем n. В бесконечномерной задаче мы считаем, что U=U(x1,,xn,t)-это поле в n-мерной (обычно размерности 3 ) области V пространства (x1,,xn) и что F(t,μ,U) — оператор с операциями над пространственными переменными x1,x2,,xn, который отображает векторные поля в V в векторные поля в V. Этому описанию соответствуют уравнения с частными производными и интегральные уравнения. Для уравнений с частными производными необходимо добавить к (I.1) граничные условия. Например, в задачах реакции и диффузии, включающих n полей (для n видов) Ci(x,t) в температурном поле T(x,t), определенных в области V трехмерного физического пространства, эволюция (n+1)-мерного векторного поля U(x,t)=(C1(x,t),C2(x,t),,Cn(x,t),T(x,t))= =(U1(x,t),U2(x,t),,Un+1(x,t)) описывается уравнением
Ut=F(t,μ,U), т. е. Uαt=Fα(t,μ,U),α=1,2,,n+1,

где
Fαi(t,μ,U)=abla(Dαβabla)Uβ+gα(μ,U)+hα(x,t,μ);
(Dαβ)=(n+1)×(n+1)-матрица коэффициентов диффузии;
gα(μ,U) — нелинейная функция от μ и U,gα(μ,0)=0
hα(x,t,μ)-заданная функция от μ и t.
1) Здесь мы пользуемся соглашением о повторяющихся индексах. По повторяющемуся индексу производится суммирование на всем диапазоне его изменения: Dαβuβ=Dα1u1+Dα2u2+Dα3u3.

На границе V области V с внешней нормалью n заданы некоторые линейные комбинации нормальных производных и значений компонент U:
(nabla)Mαβ(x,t,μ)Uβ+Nαβ(x,t,μ)Uβ=Pα(x,t,μ),

где Mαβ и Nαβ-квадратные матрицы, а Pα(x,t,μ) заданы. Эта задача бесконечномерна, потому что определена для каждого из бесконечно большого числа значений х из V.

Другим примером служат уравнения Навье-Стокса для однородной несжимаемой жидкости. Здесь (I.1) можно взять в форме уравнения для вихря ω=rotV, где V(x,t)-скорость, v-кинематическая вязкость и
ωt=vabla2ω+(ωabla)V(Vabla)ω+p(x,t,μ),ω=rotV,divV=0,

где p(x,t,μ)-заданный вынуждающий член. Решения (V, ω ) (I.7) вместе с налагаемыми на V граничными условиями, скажем
V(x,t)=ψ(x,t,μ) для xV,

определяют V(x,t) в V.
Здесь уместно отметить, что во многих случаях задачи высокой размерности можно свести к одно- или двумерным задачам (см., например, гл. VI и VIII).

1
Оглавление
email@scask.ru