В одномерных задачах $U(t)$-скаляр, $-\mathrm{\infty }<U<\mathrm{\infty }$, а $F(t,\mu ,U)$ скалярная функция от $(t,\mu ,U)$. Например, в грубом приближении экологической логистической задачи $U$ может означать плотность комаров в Миннесоте, а $\mu$-имеющийся в наличии запас пищи. Скорость возрастания плотности комаров дается нелинейной функцией $F(\mu ,U)$. Популяция комаров возрастает, если $F>0$, убывает, если $F<0$, и находится в равновесии, если $F(\mu ,U)=0$. Для равновесного распределения запас пищи $\mu$ и плотность популяции $U$ связаны соотношением $F=0$. Может существовать много равновесных распределений; например,
$$F(\mu ,U)=(a_1(\mu )-U)(a_2(\mu )-U)\dots (a_n(\mu )-U)$$

может иметь $n$ равновесных распределений, каждое из которых соответствует равенству нулю одного из множителей: $a_t(\mu )=U$.
1) Здесь предполагается, что $\mathbf{F}$ зависит от текущего значения функции $\mathbf{U}(t)$ и не зависит от ее предыстории. Относительно более общих случаев см. замечания к гл. I.

Определение равновесных распределений ничего не говорит нам о том, какой плотности комаров следует ожидать при имеющемся количестве доступной для них пищи (человеческой крови), потому что некоторые равновесные распределения неустойчивы и будут нарушены при действии возмущений. Поэтому необходимо найти не только равновесные распределения, но и исследовать их устойчивость.

В двумерных задачах $\mathbf{U}(t)$-это двумерный вектор с компонентами $(U_1(t),U_2(t))$, а $\mathbf{F}(t,\mu ,\mathbf{U})$ — вектор-функция, компоненты которой $[F_1(t,\mu ,U_1,U_2),F_2(t,\mu ,U_1,U_2)]$ суть нелинейные функции компонент $\mathbf{U}$. Такие же самые обозначения приняты для $n$-мерных задач при $n>2$; в этом случае векторы имеют $n$ компонент.

Мы будем употреблять обычные математические обозначения и определим
$$({\mathbb{R}}^{\mathbf{1}},{\mathbb{R}}^{\mathbf{2}},{\mathbb{R}}^n)=\text{ (вещественная прямая, плоскость, }$$
$n$-мерное пространство).
Скаляры принимают значения в ${\mathbb{R}}^1$, а $n$-мерные векторы-значения в ${\mathbb{R}}^n$. Обычно для ${\mathbb{R}}^1$ упрощают обозначение и не указывают верхний индекс: ${\mathbb{R}}^{\mathbf{1}}=\mathbb{R}$.

B математике также принято говорить о бесконечномерных задачах, однако, вообще говоря, это означает нечто большее и нечто иное, чем $n\to \mathrm{\infty }$. В бесконечномерной задаче мы считаем, что $\mathbf{U}=\mathbf{U}(x_1,\dots ,x_n,t)$-это поле в $n$-мерной (обычно размерности $⩽3$ ) области $\mathcal{V}$ пространства $(x_1,\dots ,x_n)$ и что $\mathbf{F}(t,\mu ,\mathbf{U})$ — оператор с операциями над пространственными переменными $x_1,x_2,\dots ,x_n$, который отображает векторные поля в $\mathcal{V}$ в векторные поля в $\mathcal{V}$. Этому описанию соответствуют уравнения с частными производными и интегральные уравнения. Для уравнений с частными производными необходимо добавить к (I.1) граничные условия. Например, в задачах реакции и диффузии, включающих $n$ полей (для $n$ видов) $C_i(\mathbf{x},t)$ в температурном поле $T(\mathbf{x},t)$, определенных в области $\mathcal{V}$ трехмерного физического пространства, эволюция $(n+1)$-мерного векторного поля $\mathbf{U}(\mathbf{x},t)=(C_1(\mathbf{x},t),C_2(\mathbf{x},t),\dots ,C_n(\mathbf{x},t),T(\mathbf{x},t))=$ $=(U_1(\mathbf{x},t),U_2(\mathbf{x},t),\dots ,U_{n+1}(\mathbf{x},t))$ описывается уравнением
$$\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t}=\mathbf{F}(t,\mu ,\mathbf{U}),\text{ т. е. }\frac{\partial U_{\alpha }}{\partial t}=F_{\alpha }(t,\mu ,\mathbf{U}),\alpha =1,2,\dots ,n+1,$$

где
$$F_{{\alpha }_{\mathbf{i}}}(t,\mu ,\mathbf{U})=abla\cdot \left(D_{\alpha \beta }abla\right)U_{\beta }+g_{\alpha }(\mu ,\mathbf{U})+h_{\alpha }(\mathbf{x},t,\mu );$$
$\left(D_{\alpha \beta }\right)=(n+1)\times (n+1)$-матрица коэффициентов диффузии;
$$g_{\alpha }(\mu ,\mathbf{U})\text{ — нелинейная функция от }\mu \text{ и }\mathbf{U},g_{\alpha }(\mu ,0)=0\text{; }$$
$h_{\alpha }(\mathrm{x},t,\mu )$-заданная функция от $\mu$ и $t$.
1) Здесь мы пользуемся соглашением о повторяющихся индексах. По повторяющемуся индексу производится суммирование на всем диапазоне его изменения: $D_{\alpha \beta }{u}_{\beta }=D_{{\alpha }_1}{u}_1+D_{{\alpha }_2}{u}_2+D_{\alpha 3}{u}_3$.

На границе $\partial \mathcal{V}$ области $\mathcal{V}$ с внешней нормалью $\mathbf{n}$ заданы некоторые линейные комбинации нормальных производных и значений компонент U:
$$(\mathbf{n}\cdot abla)M_{\alpha \beta }(\mathbf{x},t,\mu )U_{\beta }+N_{\alpha \beta }(\mathbf{x},t,\mu )U_{\beta }=P_{\alpha }(\mathbf{x},t,\mu ),$$

где $M_{\alpha \beta }$ и $N_{\alpha \beta }$-квадратные матрицы, а $P_{\alpha }(x,t,\mu )$ заданы. Эта задача бесконечномерна, потому что определена для каждого из бесконечно большого числа значений х из $\mathcal{V}$.

Другим примером служат уравнения Навье-Стокса для однородной несжимаемой жидкости. Здесь (I.1) можно взять в форме уравнения для вихря $\mathit{\omega }=\mathrm{rot}\mathbf{V}$, где $\mathbf{V}(\mathbf{x},t)$-скорость, $v$-кинематическая вязкость и
$$\begin{array}{c}\frac{\partial \omega }{\partial t}=vabl{a}^2\omega +(\omega \cdot abla)\mathbf{V}-(\mathbf{V}\cdot abla)\omega +p(\mathbf{x},t,\mu ),\\ \omega =\mathrm{rot}\mathbf{V},\mathrm{div}\mathbf{V}=0,\end{array}$$

где $\mathbf{p}(\mathbf{x},t,\mu )$-заданный вынуждающий член. Решения (V, $\mathit{\omega }$ ) (I.7) вместе с налагаемыми на $\mathbf{V}$ граничными условиями, скажем
$$\mathbf{V}(\mathbf{x},t)=\psi (\mathbf{x},t,\mu )\text{ для }\mathbf{x}\in \partial \mathcal{V},$$

определяют $\mathbf{V}(\mathbf{x},t)$ в $\mathcal{V}$.
Здесь уместно отметить, что во многих случаях задачи высокой размерности можно свести к одно- или двумерным задачам (см., например, гл. VI и VIII).