Интересное явление состоит в том, что если существует $n \geqslant 5$, такое что $\lambda_{0}^{n}=1$, то мы получаем неко’торый тор, и решения на нем являются асимптотически квазипериодическими. Поэтому основные физические результаты, следующие из анализа бифуркации периодических решений, качественно не зависят от того, является ли $r$ рациональным или иррациональным числом. Однако анализ для рационального случая является более тонким, и формулы для тора и траекторией на нем получаются иными.

Предположим теперь, что $r=m / n$ есть несократимая дробь и $n \geqslant 5$. Наша цель состоит в определении приближения $\rho_{N}(\theta)$ для поперечного сечения тора. Уравнение, описывающее это приближение, можно получить, опустив $R_{1}$ и $R_{2}$ в (X.40) и (X.41):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \rho}{d t}=\rho\left[\mu \hat{\xi}+\sum_{q \geqslant 1}^{2 q+1 \leqslant N} \alpha_{q} \rho^{2 q}+\right. \\
\left.+\sum_{k>0} \sum_{q>0}^{2 q-1+k n \leqslant N}\left(\alpha_{q k} e^{i k n \theta}+\bar{\alpha}_{q k} e^{-i k n \theta}\right) \rho^{2 q-2+k n}\right] \text {, } \\
\frac{d \theta}{d t}=\mu \hat{\omega}+\sum_{q \geqslant 1}^{2 q+1 \leqslant N} \beta_{q} \rho^{2 q}+ \\
+\sum_{k>0} \sum_{a \geqslant 0}^{2 q-1+k n \leqslant N}\left(\beta_{a k} e^{i k n \theta}+\overrightarrow{\beta_{a k}} e^{-i k n \theta}\right) \rho^{2 q-2+k n}, \quad(\mathrm{X} .56)_{2} \\
\end{array}
\]

где все коэффициенты $\hat{\xi}, \hat{\omega}, \alpha_{q}, \beta_{q}, \alpha_{q k}, \beta_{q k}$ являются функциями $\mu$ и обладают желаемой степенью гладкости,
\[
\begin{aligned}
\hat{\xi}(\mu) & =\hat{\xi}_{0}+\mu \hat{\xi}_{1}+\mu^{2} \hat{\xi}_{2}+\ldots, \quad \hat{\xi}_{0}>0, \\
\hat{\omega}(\mu) & =\hat{\omega}_{n}+\mu \hat{\omega}_{1}+\mu^{2} \hat{\omega}_{2}+\ldots, \\
\alpha_{q}(\mu) & =\alpha_{q 0}+\mu \alpha_{q 1}+\mu^{2} \alpha_{q 2}+\ldots, \\
\alpha_{q k}(\mu) & =\alpha_{k q 0}+\mu \alpha_{q k 1}+\mu^{2} \alpha_{q k 2}+\ldots, \\
\beta_{q}(\mu) & =\beta_{q 0}+\mu \beta_{q 1}+\mu^{2} \beta_{q 2}+\ldots, \\
\beta_{q k}(\mu) & =\beta_{q k 0}+\mu \beta_{q k 1}+\mu^{2} \beta_{q k 2}+\ldots
\end{aligned}
\]

и где по построению
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{q}+i \beta_{k}=a_{q, 0}, \\
\alpha_{q k}=\frac{1}{2}\left(a_{q-i, k}+\bar{a}_{q,-k}\right), \quad a_{q-1, k}=0, \text { если } q=0, \\
\beta_{q k}=\frac{1}{2 i}\left(a_{q-1, k}-\bar{a}_{q,-k}\right) .
\end{array}
\]

Для решения уравнений (X.56) введем амплитуду є, определяемую как средний радиус поперечного сечения тора, как на рис. ‘X.1:
\[
\varepsilon=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \rho(\theta, \mu) d \theta=\rho .
\]

Уравнение для $\rho(\theta, \mu)$ можно вывести из соотношения
\[
\frac{d \rho}{d t}=\frac{d \rho}{d \theta} \frac{d \theta}{d t},
\]

где $d / d t$ и $d \theta / d t$ даются формулаии (X.56). Для того чтобы решить (X.59), разложим $\mu$ и $\rho$ по степеням $\varepsilon$ :
\[
\begin{array}{l}
\mu=\sum_{p=1}^{N} \mu_{p} \varepsilon^{p}+O\left(\varepsilon^{N+1}\right), \\
\rho=\sum_{p=1}^{N} \rho_{p}(\theta) \varepsilon^{p}+O\left(\varepsilon^{N+1}\right), \\
\overline{\bar{\rho}}_{1}=1, \quad \overline{\bar{\rho}}=0 \text { для } p \geqslant 2 .
\end{array}
\]

Определение коэффициента при $\varepsilon^{2}$ в (X.59) дает
\[
\hat{\xi}_{0} \mu_{1} \rho_{1}(\theta)=\mu_{1} \hat{\omega}_{0} \rho_{1}^{\prime}(\theta) .
\]

Вычисляя среднее значение на ( $0,2 \pi)$, находим, что $\hat{\xi}_{0} \mu_{1}=0$; следовательно, $\mu_{1}=0$. Определение коэффициента при $\boldsymbol{8}^{3}$ в (X.59) дает
\[
\rho_{1}(\theta)\left[\hat{\xi}_{0} \mu_{2}+\alpha_{10} \rho_{1}^{2}(\theta)\right]=\rho_{1}^{\prime}(\theta)\left[\mu_{2} \hat{\omega}_{0}+\beta_{10} \rho_{1}^{2}(\theta)\right] .
\]

Вычисляя среднее значение от (X.62) на ( $0,2 \pi$ ), находим, что
\[
\hat{\xi}_{0} \mu_{2}+\alpha_{10} \overline{\bar{\rho}}=0 .
\]

Теперь нетрудно показать из (X.62) и (X.63), что любое периодическое решение со средним значением 1 должно удовлетворять соотношению $\overline{\overline{\rho_{1}^{2+v}}}=\overline{\overline{\rho_{1}^{v}}} \overline{\rho_{1}^{3}}$ для всех целых $v \geqslant 0$. Поэтому для любого целого $p \geqslant 1$
\[
\left[\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left|\rho_{1}\right|^{2 p} d \theta\right]^{1 / p}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left|\rho_{1}\right|^{2} d \theta=\overline{\overline{\rho_{1}^{2}}},
\]

и поскольку $\rho_{1}$ – непрерывная функция, то
\[
\left[\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left|\rho_{1}\right|^{2 P} d \theta\right]^{1 / p} \underset{p \rightarrow \infty}{\rightarrow} \sup _{\theta \in[0,2 \pi)}\left|\rho_{1}(\theta)\right|^{2} .
\]

Поэтому $\overline{\overline{\rho_{1}^{2}}}=\sup \left|\rho_{1}(\theta)\right|$, т. е. $\left|\rho_{1}(\theta)\right|=1$ и
\[
\begin{array}{c}
\rho_{1}(\theta)=1, \\
\mu_{2}=-\frac{\alpha_{10}}{\xi_{0}} .
\end{array}
\]

На этом мы оставляем общий анализ. Дальнейшие результаты зависят от значения $n \geqslant 5$, для которого $\lambda_{0}^{n}=1$.